高中数学必修1教案第一章 章末复习提升

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高中数学必修1教案第一章 章末复习提升

‎1.集合的“三性”‎ 正确理解集合元素的三性,即确定性、互异性和无序性.在集合运算中,常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确,因互异性易被忽略,在解决含参数集合问题时应格外注意.‎ ‎2.集合与集合之间的关系 集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等.判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系,包含关系的传递性是推理的重要依据.空集比较特殊,它不包含任何元素,是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集.解题时,已知条件中出现A⊆B时,不要遗漏A=∅.‎ ‎3.集合与集合之间的运算 并、交、补是集合间的基本运算,Venn图与数轴是集合运算的重要工具.注意集合之间的运算与集合之间关系的转化,如A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.‎ ‎4.函数的单调性 函数的单调性是在定义域内讨论的,若要证明f(x)在区间[a,b]上是增函数或减函数,必须证 明对[a,b]上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)成立;若要证明f(x)在区间[a,b]上不是单调函数,只要举出反例,即只要找到两个特殊的x1,x2,不满足定义即可.单调函数具有下面性质:设函数f(x)定义在区间I上,且x1,x2∈I,则 ‎(1)若函数f(x)在区间I上是单调函数,则x1=x2⇔f(x1)=f(x2).‎ ‎(2)若函数f(x)在区间I上是单调函数,则方程f(x)=0在区间I上至多有一个实数根.‎ ‎(3)若函数f(x)与g(x)在同一区间的单调性相同,则在此区间内,函数f(x)+g(x)亦与它们的单调性相同.‎ 函数单调性的判断方法:①定义法;②图象法.‎ ‎5.函数的奇偶性 判定函数奇偶性,一是用其定义判断,即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称,再检验f(-x)与f(x)的关系;二是用其图象判断,考察函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断,但必须注意它是函数这一大前提.‎ 题型一 集合的运算 集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算,在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误,不等式解集之间的包含关系通常用数轴法,而用列举法表示的集合运算常用Venn图法,运算时特别注意对∅的讨论,不要遗漏.‎ 例1 已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}.‎ ‎(1)若(∁RA)∪B=R,求a的取值范围.‎ ‎(2)是否存在a,使(∁RA)∪B=R且A∩B=∅?‎ 解 (1)A={x|0≤x≤2},‎ ‎∴∁RA={x|x<0,或x>2}.‎ ‎∵(∁RA)∪B=R.‎ ‎∴∴-1≤a≤0.‎ ‎(2)由(1)知(∁RA)∪B=R时,‎ ‎-1≤a≤0,而a+3∈[2,3],‎ ‎∴A⊆B,这与A∩B=∅矛盾.即这样的a不存在.‎ 跟踪演练1 (1)已知集合U={2,3,6,8},A={2,3},B={2,6,8},则(∁UA)∩B=________.‎ ‎(2)已知集合A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则A∩B等于(  )‎ A.(-∞,2] B.[1,2] C.[-2,2] D.[-2,1]‎ 答案 (1){6,8} (2)D 解析 (1)∵U={2,3,6,8},A={2,3},∴∁UA={6,8}.‎ ‎∴(∁UA)∩B={6,8}∩{2,6,8}={6,8}.‎ ‎(2)A={x∈R||x|≤2}={x∈R|-2≤x≤2},‎ ‎∴A∩B={x∈R|-2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}‎ ‎={x∈R|-2≤x≤1}.‎ 题型二 函数的概念与性质 研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手,分析函数的图象及其变化趋势,从近几年的高考形式来看,对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征,做题时应注重上述性质知识间的融合.‎ 例2  已知函数f(x)=是奇函数,且f(2)=.‎ ‎(1)求实数m和n的值;‎ ‎(2)求函数f(x)在区间[-2,-1]上的最值.‎ 解 (1)∵f(x)是奇函数,‎ ‎∴f(-x)=-f(x),‎ ‎∴=-=.‎ 比较得n=-n,n=0.‎ 又f(2)=,∴=,解得m=2.‎ 因此,实数m和n的值分别是2和0.‎ ‎(2)由(1)知f(x)==+.‎ 任取x1,x2∈[-2,-1],且x1<x2,‎ 则f(x1)-f(x2)=(x1-x2) ‎=(x1-x2)·.‎ ‎∵-2≤x1<x2≤-1时,‎ ‎∴x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0,‎ ‎∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).‎ ‎∴函数f(x)在[-2,-1]上为增函数,‎ 因此f(x)max=f(-1)=-,f(x)min=f(-2)=-.‎ 跟踪演练2 (1)函数y=的定义域为(  )‎ A.(-∞,1) B.(-∞,0)∪(0,1]‎ C.(-∞,0)∪(0,1) D.[1,+∞)‎ ‎(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0时,f(x)=________.‎ 答案 (1)B (2)- 解析 (1)要使函数有意义,则 即x≤1且x≠0.‎ ‎(2)设-1≤x≤0,则0≤x+1≤1,‎ 所以f(x+1)=(x+1)[1-(x+1)]=-x(x+1).‎ 又因为f(x+1)=2f(x),‎ 所以f(x)==-. ‎ 题型三 函数图象及其应用 函数的图象是函数的重要表示方法,它具有明显的直观性,通过函数的图象能够掌握函数重要的性质,如单调性、奇偶性等.反之,掌握好函数的性质,有助于图象正确的画出.函数图象广泛应用于解题过程中,利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点.‎ 例3 对于函数f(x)=x2-2|x|.‎ ‎(1)判断其奇偶性,并指出图象的对称性;‎ ‎(2)画此函数的图象,并指出单调区间和最小值.‎ 解 (1)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|.‎ 则f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.‎ 图象关于y轴对称.‎ ‎(2)f(x)=x2-2|x|= 画出图象如图所示,‎ 根据图象知,函数f(x)的最小值是-1.‎ 单调增区间是[-1,0],[1,+∞);减区间是(-∞,-1],[0,1].‎ 跟踪演练3 对于任意x∈R,函数f(x)表示-x+3,x+,x2-4x+3中的较大者,则f(x)的最小值是________.‎ 答案 2‎ 解析 首先应理解题意,“函数f(x)表示-x+3,x+,x2-4x+3中的较大者”是指对某个区间而言,函数f(x)表示-x+3,x+,x2-4x+3中最大的一个.‎ 如图,分别画出三个函数的图象,得到三个交点A(0,3),B(1,2),C(5,8).‎ 从图象观察可得函数f(x)的表达式:‎ f(x)= f(x)的图象是图中的实线部分,图象的最低点是点B(1,2),所以f(x)的最小值是2.‎ 题型四 分类讨论思想 分类讨论思想的实质是:把整体问题化为部分来解决,化成部分后,从而增加题设条件,在解决含有字母参数的问题时,常用到分类讨论思想,分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨论,分类的标准是什么,分类时要做到不重不漏.本章中涉及到分类讨论的知识点为:集合运算中对∅的讨论,二次函数在闭区间上的最值问题、函数性质中求参数的取值范围问题等.‎ 例4 设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数f(x)的最小值.‎ 解 f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,对称轴为x=1.‎ 当t+1<1,即t<0时,函数图象如图(1),函数f(x)在区间[t,t+1]上为减函数,所以最小值为f(t+1)=t2+1;‎ 当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,函数图象如图(2),最小值为f(1)=1;‎ 当t>1时,函数图象如图(3),函数f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,所以最小值为f(t)=t2-2t+2.‎ 综上所述f(x)min= 跟踪演练4 已知A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},且A∪B=A,求实数a组成的集合C.‎ 解 ∵A∪B=A,∴B⊆A.‎ ‎(1)当B≠∅时,由x2-3x+2=0,得x=1或2.当x=1时,a=2;当x=2时,a=1.‎ ‎(2)当B=∅时,即当a=0时,B=∅,符合题意.‎ 故实数a组成的集合C={0,1,2}.‎ ‎1. 函数单调性的判定方法 ‎(1)定义法.‎ ‎(2)直接法:运用已知的结论,直接判断函数的单调性,如一次函数,二次函数,反比例函数;还可以根据f(x),g(x)的单调性判断-f(x),,f(x)+g(x)的单调性等.‎ ‎(3)图象法:根据函数的图象判断函数的单调性.‎ ‎2. 二次函数在闭区间上的最值 对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上最值问题,有以下结论:‎ ‎(1)若h∈[m,n],则ymin=f(h)=k,‎ ymax=max{f(m),f(n)};‎ ‎(2)若h∉[m,n],则ymin=min{f(m),f(n)},‎ ymax=max{f(m),f(n)}(a<0时可仿此讨论).‎ ‎3. 函数奇偶性与单调性的差异 函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的,这一点与研究函数的单调性不同,从这个意义上说,函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对函数定义域内的每一个x值,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),才能说f(x)是奇函数(或偶函数).‎
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