中考数学一模试卷含解析11

中考数学一模试卷含解析11

‎2016年山东省德州市武城县育才实验学校中考数学一模试卷 一、选择题（每小题3分，共36分）‎ ‎1．在平行四边形、等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎2．分式方程=有增根，则m的值为（　　）‎ A．0和3 B．1 C．1和﹣2 D．3‎ ‎3．若﹣2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项，则mn的值是（　　）‎ A．2 B．0 C．﹣1 D．1‎ ‎4．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2‎ ‎5．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：‎ ‎①四边形CFHE是菱形；‎ ‎②EC平分∠DCH；‎ ‎③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；‎ ‎④当点H与点A重合时，EF=2．‎ 以上结论中，你认为正确的有（　　）个．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6．如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（　　）‎ A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a，﹣b﹣1） C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b+2）‎ ‎7．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（　　）‎ A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b ‎9．已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（　　）‎ A．（1，2） B．（2，9） C．（5，3） D．（﹣9，﹣4）‎ ‎10．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②•=1，③÷=﹣b，其中正确的是（　　）‎ A．①② B．②③ C．①③ D．①②③‎ ‎11．当x=1时，代数式ax3﹣3bx+4的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是（　　）‎ A．7 B．3 C．1 D．﹣7‎ ‎12．如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C为（　　）‎ A．30° B．60° C．80° D．120°‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题4分，共20分）‎ ‎13．已知是二元一次方程组的解，则a﹣b=　　　　　　．‎ ‎14．方程x2+2kx+k2﹣2k+1=0的两个实数根x1，x2满足x12+x22=4，则k的值为　　　　　　．‎ ‎15．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为　　　　　　．‎ ‎16．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为　　　　　　．‎ ‎17．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（7个题，共64分）‎ ‎18．计算：‎ ‎（1）解方程：（x+1）（x﹣1）+2（x+3）=8；‎ ‎（2）化简下式，再求值：（﹣x2+3﹣7x）+（5x﹣7+2x2），其中x=+1．‎ ‎19．为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准见表：‎ 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时）‎ 不超过160千瓦时的部分 x 超过160千瓦时的部分 x+0.15‎ 某居民五月份用电190千瓦时，缴纳电费90元．‎ ‎（1）求x和超出部分电费单价；‎ ‎（2）若该户居民六月份所缴电费不低于75元且不超过84元，求该户居民六月份的用电量范围．‎ ‎20．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．‎ ‎（1）求证：△COM∽△CBA；‎ ‎（2）求线段OM的长度．‎ ‎21．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．‎ ‎（1）求证：△ABF∽△DFE；‎ ‎（2）若sin∠DFE=，求tan∠EBC的值．‎ ‎22．如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量：‎ AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=32cm．‎ ‎（1）求证：AC∥BD；‎ ‎（2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°）；‎ ‎（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．‎ ‎（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈0.553；可使用科学计算器）‎ ‎23．如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，弦AC∥OP，PC交BA的延长线于点D，求证：PD是⊙O的切线．‎ ‎24．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．‎ ‎　‎ ‎2016年山东省德州市武城县育才实验学校中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共36分）‎ ‎1．在平行四边形、等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】中心对称图形；轴对称图形．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合几何图形的特点进行判断．‎ ‎【解答】解：矩形、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；‎ 等腰三角形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；‎ 平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．‎ 故既是轴对称图形又是中心对称图形的是：矩形、菱形．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．分式方程=有增根，则m的值为（　　）‎ A．0和3 B．1 C．1和﹣2 D．3‎ ‎【考点】分式方程的增根；解一元一次方程．‎ ‎【分析】根据分式方程有增根，得出x﹣1=0，x+2=0，求出即可．‎ ‎【解答】解：∵分式方程=有增根，‎ ‎∴x﹣1=0，x+2=0，‎ ‎∴x1=1，x2=﹣2．‎ 两边同时乘以（x﹣1）（x+2），原方程可化为x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m，‎ 整理得，m=x+2，‎ 当x=1时，m=1+2=3，‎ 当x=﹣2时，m=﹣2+2=0，‎ 当m=0时，分式方程无解，并没有产生增根，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．若﹣2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项，则mn的值是（　　）‎ A．2 B．0 C．﹣1 D．1‎ ‎【考点】合并同类项．‎ ‎【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值，根据乘方，可得答案．‎ ‎【解答】解：若﹣2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项，‎ ‎，‎ 解得，‎ mn=20=1，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2‎ ‎【考点】一元二次方程的解．‎ ‎【分析】由于关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，那么代入方程中即可得到b2﹣ab+b=0，再将方程两边同时除以b即可求解．‎ ‎【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，‎ ‎∴b2﹣ab+b=0，‎ ‎∵﹣b≠0，‎ ‎∴b≠0，‎ 方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，‎ ‎∴a﹣b=1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：‎ ‎①四边形CFHE是菱形；‎ ‎②EC平分∠DCH；‎ ‎③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；‎ ‎④当点H与点A重合时，EF=2．‎ 以上结论中，你认为正确的有（　　）个．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理的应用；菱形的判定与性质．‎ ‎【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；‎ 根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；‎ 点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；‎ 过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．‎ ‎【解答】解：∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，‎ ‎∴FH∥CG，EH∥CF，‎ ‎∴四边形CFHE是平行四边形，‎ 由翻折的性质得，CF=FH，‎ ‎∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；‎ ‎∴∠BCH=∠ECH，‎ ‎∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；‎ 点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8﹣x，‎ 在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，‎ 即42+x2=（8﹣x）2，‎ 解得x=3，‎ 点G与点D重合时，CF=CD=4，‎ ‎∴BF=4，‎ ‎∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；‎ 过点F作FM⊥AD于M，‎ 则ME=（8﹣3）﹣3=2，‎ 由勾股定理得，‎ EF===2，（故④正确）；‎ 综上所述，结论正确的有①③④共3个．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（　　）‎ A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a，﹣b﹣1） C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b+2）‎ ‎【考点】坐标与图形变化-旋转．‎ ‎【分析】设点A′的坐标是（x，y），根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可．‎ ‎【解答】解：根据题意，点A、A′关于点C对称，‎ 设点A′的坐标是（x，y），‎ 则=0， =1，‎ 解得x=﹣a，y=﹣b+2，‎ ‎∴点A′的坐标是（﹣a，﹣b+2）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】列举出所有情况，看恰为一男一女的情况占总情况的多少即可．‎ ‎【解答】解：‎ 男1‎ 男2‎ 男3‎ 女1‎ 女2‎ 男1‎ 一 一 ‎√‎ ‎√‎ 男2‎ 一 一 ‎√‎ ‎√‎ 男3‎ 一 一 ‎√‎ ‎√‎ 女1‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ 一 女2‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ 一 ‎∴共有20种等可能的结果，P（一男一女）=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（　　）‎ A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b ‎【考点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义．‎ ‎【分析】由于a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项．‎ ‎【解答】解：∵a2+b2=c2，‎ ‎∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°．‎ A、sinA=，则csinA=a．故本选项正确；‎ B、cosB=，则cosBc=a．故本选项错误；‎ C、tanA=，则=b．故本选项错误；‎ D、tanB=，则atanB=b．故本选项错误．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（　　）‎ A．（1，2） B．（2，9） C．（5，3） D．（﹣9，﹣4）‎ ‎【考点】坐标与图形变化-平移．‎ ‎【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再求出点D的坐标即可．‎ ‎【解答】解：∵点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），‎ ‎∴平移规律为向右5个单位，向上3个单位，‎ ‎∵点B（﹣4，﹣1），‎ ‎∴点D的坐标为（1，2）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②•=1，③÷=﹣b，其中正确的是（　　）‎ A．①② B．②③ C．①③ D．①②③‎ ‎【考点】二次根式的乘除法．‎ ‎【分析】由ab＞0，a+b＜0先求出a＜0，b＜0，再进行根号内的运算．‎ ‎【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，‎ ‎∴a＜0，b＜0‎ ‎①=，被开方数应≥0，a，b不能做被开方数，（故①错误），‎ ‎②•=1， •===1，（故②正确），‎ ‎③÷=﹣b，÷=÷=×=﹣b，（故③正确）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．当x=1时，代数式ax3﹣3bx+4的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是（　　）‎ A．7 B．3 C．1 D．﹣7‎ ‎【考点】代数式求值．‎ ‎【分析】把x=1代入代数式求出a、b的关系式，再把x=﹣1代入进行计算即可得解．‎ ‎【解答】解：x=1时， ax3﹣3bx+4=a﹣3b+4=7，‎ 解得a﹣3b=3，‎ 当x=﹣1时， ax3﹣3bx+4=﹣a+3b+4=﹣3+4=1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C为（　　）‎ A．30° B．60° C．80° D．120°‎ ‎【考点】平行线的性质；角平分线的性质．‎ ‎【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠EAD=∠B，再根据角平分线的定义求出∠EAC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：∵AD∥BC，∠B=30°，‎ ‎∴∠EAD=∠B=30°，‎ ‎∵AD是∠EAC的平分线，‎ ‎∴∠EAC=2∠EAD=2×30°=60°，‎ ‎∴∠C=∠EAC﹣∠B=60°﹣30°=30°．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题4分，共20分）‎ ‎13．已知是二元一次方程组的解，则a﹣b=　﹣1　．‎ ‎【考点】二元一次方程组的解．‎ ‎【分析】把代入二元一次方程组，可以得到a，b的值．再求a﹣b的值．‎ ‎【解答】解：把代入二元一次方程组得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴a﹣b=2﹣3=﹣1，‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎14．方程x2+2kx+k2﹣2k+1=0的两个实数根x1，x2满足x12+x22=4，则k的值为　1　．‎ ‎【考点】根与系数的关系．‎ ‎【分析】由x12+x22=x12+2x1•x2+x22﹣2x1•x2=（x1+x2）2﹣2x1•x2=4，然后根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．‎ ‎【解答】解：∵方程x2+2kx+k2﹣2k+1=0的两个实数根，‎ ‎∴△=4k2﹣4（k2﹣2k+1）≥0，‎ 解得 k≥．‎ ‎∵x12+x22=4，‎ ‎∴x12+x22=x12+2x1•x2+x22﹣2x1•x2=（x1+x2）2﹣2x1•x2=4，‎ 又∵x1+x2=﹣2k，x1•x2=k2﹣2k+1，‎ 代入上式有4k2﹣2（k2﹣2k+1）=4，‎ 解得k=1或k=﹣3（不合题意，舍去）．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎15．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为　8或2　．‎ ‎【考点】垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．‎ ‎【分析】分为两种情况：①当圆心在三角形的内部时，②当圆心在三角形的外部时从圆心向BC引垂线，交点为D，则根据垂径定理和勾股定理可求出OD的长，即可求出高AD．‎ ‎【解答】解：分为两种情况：①如图1，当圆心在三角形的内部时，‎ 连接AO并延长交BC于D点，连接OB，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴=，‎ 根据垂径定理得AD⊥BC，‎ 则BD=4，‎ 在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2，‎ ‎∵OB=5，BD=4，‎ ‎∴OD=3，‎ ‎∴高AD=5+3=8；‎ ‎②当圆心在三角形的外部时，如图2，‎ 三角形底边BC上的高AD=5﹣3=2．‎ 所以BC边上的高是8或2，‎ 故答案为：8或2．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为　10070　．‎ ‎【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化-旋转．‎ ‎【分析】首先利用勾股定理得出AB的长，进而得出三角形的周长，进而求出B2，B4的横坐标，进而得出变化规律，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得：∵AO=，BO=4，‎ ‎∴AB=，‎ ‎∴OA+AB1+B1C2=++4=6+4=10，‎ ‎∴B2的横坐标为：10，B4的横坐标为：2×10=20，‎ ‎∴点B2014的横坐标为：×10=10070．‎ 故答案为：10070．‎ ‎　‎ ‎17．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是　y=﹣（x+6）2+4　．‎ ‎【考点】二次函数的应用．‎ ‎【分析】根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．‎ ‎【解答】解：由题意可得出：y=a（x+6）2+4，‎ 将（﹣12，0）代入得出，0=a（﹣12+6）2+4，‎ 解得：a=﹣，‎ ‎∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y=﹣（x+6）2+4．‎ 故答案为：y=﹣（x+6）2+4．‎ ‎　‎ 三、解答题（7个题，共64分）‎ ‎18．计算：‎ ‎（1）解方程：（x+1）（x﹣1）+2（x+3）=8；‎ ‎（2）化简下式，再求值：（﹣x2+3﹣7x）+（5x﹣7+2x2），其中x=+1．‎ ‎【考点】整式的加减—化简求值．‎ ‎【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；‎ ‎（2）原式去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：（1）原方程可化为 x2+2x﹣3=0，‎ 整理得：（x+3）（x﹣1）=0，‎ 解得：x1=﹣3，x2=1；‎ ‎（2）原式=﹣x2+3﹣7x+5x﹣7+2x2=x2﹣2x﹣4=（x﹣1）2﹣5，‎ 把x=+1代入得：原式=（+1﹣1）2﹣5=2﹣5=﹣3．‎ ‎　‎ ‎19．为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准见表：‎ 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时）‎ 不超过160千瓦时的部分 x 超过160千瓦时的部分 x+0.15‎ 某居民五月份用电190千瓦时，缴纳电费90元．‎ ‎（1）求x和超出部分电费单价；‎ ‎（2）若该户居民六月份所缴电费不低于75元且不超过84元，求该户居民六月份的用电量范围．‎ ‎【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．‎ ‎【分析】（1）等量关系为：不超过160千瓦时电费+超过160千瓦时电费=90；‎ ‎（2）设该户居民六月份的用电量是a千瓦时．则依据收费标准列出不等式75≤160×0.45+0.6（a﹣160）≤84．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，得 ‎160x+（x+0.15）=90，‎ 解得 x=0.45；‎ 则超出部分的电费单价是x+0.15=0.6（元/千瓦时）．‎ 答：x和超出部分电费单价分别是0.45和0.6元/千瓦时；‎ ‎（2）设该户居民六月份的用电量是a千瓦时．则 ‎75≤160×0.45+0.6（a﹣160）≤84，‎ 解得 165≤a≤180．‎ 答：该户居民六月份的用电量范围是165度到180度．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．‎ ‎（1）求证：△COM∽△CBA；‎ ‎（2）求线段OM的长度．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质．‎ ‎【分析】（1）根据A与C关于直线MN对称得到AC⊥MN，进一步得到∠COM=90°，从而得到在矩形ABCD中∠COM=∠B，最后证得△COM∽△CBA；‎ ‎（2）利用上题证得的相似三角形的对应边成比例得到比例式后即可求得OM的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵沿直线MN对折，使A、C重合 ‎∴A与C关于直线MN对称，‎ ‎∴AC⊥MN，‎ ‎∴∠COM=90°．‎ 在矩形ABCD中，∠B=90°，‎ ‎∴∠COM=∠B，‎ 又∵∠ACB=∠ACB，‎ ‎∴△COM∽△CBA；‎ ‎（2）解：∵在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，‎ ‎∴AC=10，‎ ‎∴OC=5，‎ ‎∵△COM∽△CBA，‎ ‎∴，‎ ‎∴OM=．‎ ‎　‎ ‎21．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．‎ ‎（1）求证：△ABF∽△DFE；‎ ‎（2）若sin∠DFE=，求tan∠EBC的值．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．‎ ‎【分析】（1）根据矩形的性质可知∠A=∠D=∠C=90°，△BCE沿BE折叠为△BFE，得出∠BFE=∠C=90°，再根据三角形的内角和为180°，可知∠AFB+∠ABF=90°，得出∠ABF=∠DFE，即可证明△ABF∽△DFE，‎ ‎（2）已知sin∠DFE=，设DE=a，EF=3a，DF==2a，可得出CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF，由（1）中△ABF∽△DFE，可得tan∠EBC=tan∠EBF==．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形 ‎∴∠A=∠D=∠C=90°，‎ ‎∵△BCE沿BE折叠为△BFE，‎ ‎∴∠BFE=∠C=90°，‎ ‎∴∠AFB+∠DFE=180°﹣∠BFE=90°，‎ 又∵∠AFB+∠ABF=90°，‎ ‎∴∠ABF=∠DFE，‎ ‎∴△ABF∽△DFE，‎ ‎（2）解：在Rt△DEF中，sin∠DFE==，‎ ‎∴设DE=a，EF=3a，DF==2a，‎ ‎∵△BCE沿BE折叠为△BFE，‎ ‎∴CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF，‎ 又由（1）△ABF∽△DFE，‎ ‎∴===，‎ ‎∴tan∠EBF==，‎ tan∠EBC=tan∠EBF=．‎ ‎　‎ ‎22．如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量：‎ AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=32cm．‎ ‎（1）求证：AC∥BD；‎ ‎（2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°）；‎ ‎（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．‎ ‎（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈0.553；可使用科学计算器）‎ ‎【考点】相似三角形的应用；解直角三角形的应用．‎ ‎【分析】（1）根据等角对等边得出∠OAC=∠OCA=和∠OBD=∠ODB=，进而利用平行线的判定得出即可；‎ ‎（2）首先过点O作OM⊥EF于点M，则EM=16cm，利用cos∠OEF=0.471，即可得出∠OEF的度数；‎ ‎（3）首先证明Rt△OEM∽Rt△ABH，进而得出AH的长即可．‎ ‎【解答】（1）证明：证法一：∵AB、CD相交于点O，‎ ‎∴∠AOC=∠BOD ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠OAC=∠OCA=，‎ 同理可证：∠OBD=∠ODB=，‎ ‎∴∠OAC=∠OBD，‎ ‎∴AC∥BD，…3分 ‎ 证法二：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，‎ ‎∴OB=OD=85cm，‎ ‎∴‎ 又∵∠AOC=∠BOD ‎∴△AOC∽△BOD，‎ ‎∴∠OAC=∠OBD；‎ ‎∴AC∥BD；‎ ‎（2）解：在△OEF中，OE=OF=34cm，EF=32cm；‎ 过点O作OM⊥EF于点M，则EM=16cm；‎ ‎∴cos∠OEF=0.471，‎ 用科学计算器求得∠OEF=61.9°；‎ ‎（3）解法一：小红的连衣裙会拖落到地面；‎ 在Rt△OEM中， =30cm，‎ 过点A作AH⊥BD于点H，‎ 同（1）可证：EF∥BD，‎ ‎∴∠ABH=∠OEM，则Rt△OEM∽Rt△ABH，‎ ‎∴‎ 所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm＞晒衣架的高度AH=120cm．小红的连衣裙会拖落到地面．‎ 解法二：小红的连衣裙会拖落到地面；‎ 同（1）可证：EF∥BD，∴∠ABD=∠OEF=61.9°；‎ 过点A作AH⊥BD于点H，在Rt△ABH中 ‎，‎ AH=AB×sin∠ABD=136×sin61.9°=136×0.882≈120.0cm 所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm＞晒衣架的高度AH=120cm．小红的连衣裙会拖落到地面．‎ ‎　‎ ‎23．如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，弦AC∥OP，PC交BA的延长线于点D，求证：PD是⊙O的切线．‎ ‎【考点】切线的判定．‎ ‎【分析】如图，连接OC．易证△POC≌△POB，则对应角∠PCO=∠PBO=90°，所以PD是⊙O的切线．‎ ‎【解答】证明：如图，连接OC．‎ ‎∵AC∥OP，‎ ‎∴∠1=∠2，∠3=∠4．‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠1=∠3．‎ ‎∴∠2=∠4．‎ ‎∵在△POC与△POB中，‎ ‎，‎ ‎∴△POC≌△POB（SAS），‎ ‎∴∠PCO=∠PBO．‎ ‎∵PB切⊙O于点B，AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠PBO=90°，‎ ‎∴∠PCO=90°，‎ ‎∴PC与⊙O相切．‎ ‎　‎ ‎24．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．‎ ‎（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．‎ ‎（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．‎ ‎【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，‎ ‎∴m=4+2=6，‎ ‎∴B（4，6），‎ ‎∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．‎ ‎（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），‎ ‎∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），‎ ‎=﹣2n2+9n﹣4，‎ ‎=﹣2（n﹣）2+，‎ ‎∵PC＞0，‎ ‎∴当n=时，线段PC最大且为．‎ ‎（3）∵△PAC为直角三角形，‎ i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．‎ 由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；‎ ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．‎ 如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．‎ 过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，‎ ‎∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，‎ ‎∴M（3，0）．‎ 设直线AM的解析式为：y=kx+b，‎ 则：，解得，‎ ‎∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①‎ 又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②‎ 联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）‎ ‎∴C（3，0），即点C、M点重合．‎ 当x=3时，y=x+2=5，‎ ‎∴P1（3，5）；‎ iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．‎ ‎∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=2．‎ 如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，‎ 则点C在抛物线上，且C（，）．‎ 当x=时，y=x+2=．‎ ‎∴P2（，）．‎ ‎∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，‎ ‎∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．‎