2018-2019学年重庆市江津中学、合川中学等七校高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年重庆市江津中学、合川中学等七校高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年重庆市江津中学、合川中学等七校高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由集合的交集定义直接求解即可.‎ ‎【详解】‎ 集合，，‎ 所以.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.‎ ‎2．函数的定义域为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由函数的解析式可得，Lgx-1≠0, x＞0，即 0＜x＜10或10＜x，故函数定义域为,故选D．‎ ‎【考点】函数定义域.‎ ‎3．已知角的终边经过点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由任意角的三角函数定义列式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由角的终边经过点，可得.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了任意角三角函数的定义，属于基础题.‎ ‎4．已知向量，，若，则实数的值为（ ）‎ A．或 B． C． D．或3‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求的坐标，再由向量垂直数量积为0，利用坐标运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由向量，，知.‎ 若，则，解得或-3.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.‎ ‎5．下列函数中，既是奇函数又存在零点的函数是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为是偶函数，故B错误；是非奇非偶函数，故C错误；是非奇非偶函数，故D错误；故选项为A.‎ ‎【考点】（1）函数的奇偶性；（2）函数的零点.‎ ‎6．如图，，下列等式中成立的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题首先可结合向量减法的三角形法则对已知条件中的进行化简，化简为然后化简并代入即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，即，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是平面向量的基本定理，考查向量减法的三角形法则，考查数形结合思想与化归思想，是简单题。‎ ‎7．根据表格中的数据可以判定方程的一个根所在的区间为（ ）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎0.693‎ ‎1.099‎ ‎1.386‎ ‎1.609‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】令，由表中数据结合零点存在性定理即可得解.‎ ‎【详解】‎ 令，‎ 由表格数据可得.‎ 由零点存在性定理可知，在区间内必有零点.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了零点存在性定理，属于基础题.‎ ‎8．将函数图象向左平移个单位，所得函数图象的一个对称中心是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先由函数平移得解析式，再令令，结合选项即可得解.‎ ‎【详解】‎ 将函数图象向左平移个单位，‎ 可得.‎ 令，解得.‎ 当时，有对称中心.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的图像平移及正弦型三角函数的对称中心的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题.‎ ‎9．设定义在R上的函数满足，且，当时， ，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】结合函数的周期性和奇偶性可得，代入解析式即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由，可得.‎ ‎，所以.‎ 由，可得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的周期性和奇偶性，着重考查了学生的转化和运算能力，属于中档题.‎ ‎10．已知函数.若，，，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数的奇偶性结合单调性即可比较大小.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，f（x）＝x2﹣2|x|+2019＝ f（﹣x），则函数f（x）为偶函数，‎ 则a＝f（﹣log25）＝f（log25），‎ 当x≥0，f（x）＝x2﹣2x+2019＝（x﹣1）2+2018，在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数；‎ 又由1＜20.8＜2＜log25，则.‎ 则有b＜a＜c；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及性质的应用，属于基础题.‎ ‎11．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ 设g（x）＝x2﹣ax+1，‎ 则要使f（x）＝ln（x2﹣ax+1）在区间（2，+∞）上单调递增，‎ 由复合函数单调性可得：‎ 满足，即，‎ 得a，‎ 即实数a的取值范围是，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合函数单调性的应用，结合二次函数的单调性是解决本题的关键，注意真数大于0的条件的应用，属于易错题型.．‎ ‎12．已知，方程有三个实根，若，则实数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】判断f（x）与2 的大小，化简方程求出x1、x2、x3的值，根据得x3﹣x2＝2（x2﹣x1）得出a的值．‎ ‎【详解】‎ 由1﹣x2≥0得x2≤1，则﹣1≤x≤1，，‎ 当x＜0时，由f（x）＝2，即﹣2x＝2．‎ 得x2＝1﹣x2，即2x2＝1，x2，则x，‎ ‎①当﹣1≤x时，有f（x）≥2，‎ 原方程可化为f（x）+2f（x）﹣22ax﹣4＝0，‎ 即﹣4x﹣2ax﹣4＝0，得x，由﹣1‎ 解得：0≤a≤22．‎ ‎②当x≤1时，f（x）＜2，原方程可化为42ax﹣4＝0，‎ 化简得（a2+4）x2+4ax＝0，解得x＝0，或x，‎ 又0≤a≤22，∴0．‎ ‎∴x1，x2，x3＝0．‎ 由x3﹣x2＝2（x2﹣x1），得 2（），‎ 解得a（舍）或a．‎ 因此，所求实数a．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数与方程的应用，根据分段函数的表达式结合绝对值的应用，确定三个根x1、x2、x3的值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．‎ 二、填空题 ‎13．若是幂函数且在单调递增，则实数_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由幂函数可得，解得或2，检验函数单调性求解即可.‎ ‎【详解】‎ 为幂函数，所以，解得或2.‎ 当时，，在不单调递增，舍去；‎ 当时，，在单调递增成立.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了幂函数的定义及单调性，属于基础题.‎ ‎14．已知，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ 故答案为： .‎ ‎15．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当 时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，过点；当 时，图象是线段BC，其中．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为____________.（写成区间形式）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用待定系数法求出分段函数的解析式，再由y值大于62求解即可得解.‎ ‎【详解】‎ 当x∈（0，12]时，设f（x）＝a（x﹣10）2+80，‎ 过点（12，78）代入得，a 则f（x）（x﹣10）2+80，‎ 当x∈[12，40]时，‎ 设y＝kx+b，过点B（12，78）、C（40，50）‎ 得 ，即y＝﹣x+90，‎ 由题意得，或 得4＜x≤12或12＜x＜28，‎ 所以4＜x＜28，‎ 则老师就在x∈（4，28）时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，‎ 故答案为：（4，28）．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了待定系数求函数解析式及分段函数及不等式，属于基础题.‎ ‎16．设为向量的夹角，且，，则的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将平方可得cosθ，利用对勾函数性质可得最小值，从而得解.‎ ‎【详解】‎ 两个不共线的向量，的夹角为θ，且，‎ 可得：，‎ 可得cosθ．‎ 那么cosθ的取值范围：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积的应用，向量模的最值的求法，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎17．已知（）. ‎ ‎（1）当时，求关于的不等式的解集；‎ ‎（2）若f（x）是偶函数，求k的值；‎ ‎（3）在（2）条件下，设，若函数与的图象有公共点，求实数b的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）1（3）‎ ‎【解析】（1）根据条件列指数不等式，直接求解即可；‎ ‎（2）利用偶函数定义列直接求解即可；‎ ‎（3）根据题意列方程，令，得到方程，构造，结合二次函数性质讨论方程的根即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为 所以原不等式的解集为 ‎ ‎（2）因为的定义域为且为偶函数，‎ 所以 即 所以. 经检验满足题意.‎ ‎（3）有（2）可得 因为函数与的图象有公共点 所以方程有根 即 有根 ‎ 令且（） ‎ 方程可化为（）‎ 令恒过定点 ‎①当时，即时，（）在上有根 ‎ （舍）； ‎ ‎②当时，即时，（）在上有根 因为，则（）方程在上必有一根 故成立； ‎ ‎③当时，（）在上有根 则有 ‎ ‎④当时，（）在上有根 则有 综上可得：的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题重点考查了函数方程的求解及二次函数根的分布，用到了换元和分类讨论的思想，考查了学生的计算能力，属于难题.‎ 三、解答题 ‎18．已知全集，若集合 ，. ‎ ‎（1）若，求； ‎ ‎（2）若, 求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用集合的交集及补集的定义直接求解即可；‎ ‎（2）由可得，利用集合的包含关系求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，所以， ‎ 因为，所以； ‎ ‎（2）由得，， ‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的运算及包含关系求参，属于基础题.‎ ‎19．已知,,，为坐标原点.‎ ‎（1）若 ,求的值；‎ ‎（2）若,且 ，求 .‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由向量平行的坐标运算列式直接求解即可；‎ ‎（2）先求得的坐标，利用坐标表示向量的模长，列方程求得，从而得，利用向量坐标表示数量积即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题，， ‎ 因为，所以， ‎ 所以. ‎ ‎（2）因为， ‎ 所以，‎ 所以， ‎ 因为，所以，所以，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的坐标运算，包括共线、模长、数量积，属于基础题.‎ ‎20．已知．‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）若且，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用诱导公式化简求解，代入直接求解即可；‎ ‎（2）由条件可得，再平方得，结合角的范围可得，进而得和的值，从而得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为， ‎ 所以 ‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以， ‎ 两边平方，得，所以， ‎ ‎，即， ‎ 因为，所以，所以 所以，结合，‎ 解得， ……‎ 故 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同脚的三角函数的基本关系，对于sin＋cos，sincos，sin－cos这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2sincos，可以知一求二．属于中档题.‎ ‎21．已知函数（且）在上的最大值与最小值之差为.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若，当时，解不等式.‎ ‎【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）结合指数函数的单调性由最值求参数即可；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 为奇函数且在上是增函数，所以等价于，进而得，求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）当时， ， ，则，解得 当时， ， ，则，解得 综上得： 或 ‎（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知， 为奇函数且在上是增函数 ‎∴ 或 所以，不等式的解集为.‎ 点睛：本题主要考查了函数的图象与性质等知识点的综合应用，对于解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内，试题有一定的难度，属于中档试题.‎ ‎22．如图是函数 的部分图像，是它与轴的两个不同交点，是之间的最高点且横坐标为，点是线段的中点. ‎ ‎（1）求函数的解析式及上的单调增区间；‎ ‎（2）若时，函数的最小值为，求实数的值. ‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由点是线段的中点，可得和的坐标，从而得最值和周期，可得和，再代入顶点坐标可得，再利用整体换元可求单调区间；‎ ‎（2）令得到，讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系求最值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为为中点，，所以，，则，‎ ‎，又因为，则 所以，由 又因为，则 所以 令 ‎ 又因为 则单调递增区间为. ‎ ‎（2）因为 ‎ 所以 令，则 对称轴为 ‎①当时，即时，； ‎ ‎②当时，即时，（舍）‎ ‎③当时，即时，（舍）‎ ‎ 综上可得：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用三角函数的图象求解三角函数的解析式及二次函数轴动区间定的最值问题，考查了学生的分类讨论思想及计算能力，属于中档题.‎