高中数学必修2教案：2_1_2空间中直线与直线之间的位置关系

高中数学必修2教案：2_1_2空间中直线与直线之间的位置关系

‎2.1.2‎‎ 空间中直线与直线之间的位置关系 ‎【教学目标】‎ ‎（1）了解空间中两条直线的位置关系；‎ ‎（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；‎ ‎（3）理解并掌握公理4； ‎ ‎（4）理解并掌握等角定理；‎ ‎（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。‎ ‎【教学重难点】‎ 重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。‎ 难点：异面直线所成角的计算。‎ ‎【教学过程】‎ ‎（一）创设情景、导入课题 问题1： 在平面几何中，两直线的位置关系如何？‎ 问题2：没有公共点的直线一定平行吗？‎ 问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？‎ ‎1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出 异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。‎ ‎2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）‎ ‎（二）讲授新课 ‎1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：‎ 共面直线 ‎ ‎ 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；‎ 平行直线：同一平面内，没有公共点； ‎ 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。‎ 思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？‎ ‎2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：‎ ‎ ‎ ‎3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？‎ 组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？‎ 生：平行。 ‎ 再联系其他相应实例归纳出公理4‎ 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线 ‎=>a∥c a∥b c∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。‎ 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。‎ 例1空间四边形 ABCD中，E.F.G.H分别是AB.BC.CD.DA的中点 求证：四边形EFGH是平行四边形 证明：连接BD 因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD且EH=BD ‎ 同理FG∥BD且FG=BD 因为EH∥FG且EH=FG 所以四边形 EFGH是平行四边形 点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用 变式：在例1中如果加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？‎ ‎4、组织学生思考教材P46的思考题 ‎ 让学生观察、思考：‎ ‎∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ ‎ 生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800‎ 教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理 ‎ 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。‎ 教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。‎ ‎5、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。‎ ‎（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。‎ ‎（2）强调：‎ ‎① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；‎ ‎② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；‎ ‎③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；‎ ‎④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；‎ ‎⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。‎ 例2已知正方体ABCD-A1B‎1C1D1, ‎ （1） 哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？‎ （2） 哪些棱所在的直线与AA1垂直？‎ 解析：考察异面直线的理解 解：（1）棱AD.DC.CC1.DD1.D1C1.B1C1所在直线分别与直线BA1是异面直线 ‎（2）直线AB.BC.CD.DA.A1B1.B1C1.C1D1.D1A1分别与AA1垂直 点评：理解异面直线，垂直包括相交垂直与异面垂直 变式：在正方体ABCD-A'B'C'D'的所有棱中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。（6条）‎ ‎【板书设计】‎ 一、空间中两条直线的位置关系 二、异面直线所成角 三、例题 例1‎ 变式1‎ 例2‎ 变式2‎ ‎ 【作业布置】P49 1、2‎ ‎ ‎ ‎2.1.2‎‎ 空间中直线与直线之间的位置关系 课前预习学案 一．预习目标：明确直线间的位置关系 ‎ 二预习内容：‎2.1.2‎课本内容思考：空间两条直线有多少种位置关系 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 课内探究学案 一． 学习目标 ‎ ‎（1）了解空间中两条直线的位置关系；‎ ‎（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；‎ ‎（3）理解并掌握公理4； ‎ ‎（4）理解并掌握等角定理；‎ ‎（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。‎ 学习重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。‎ 学习难点：异面直线所成角的计算。‎ 二． 学习过程 ‎ ‎1 共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线：同一平面内，没有公共点；‎ 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。‎ ‎2.以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。‎ ‎（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。‎ ‎（2）强调：‎ ‎① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；‎ ‎② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；‎ ‎③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；‎ ‎ 注意：两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角 例1空间四边形 ABCD中，E.F.G.H分别是AB.BC.CD.DA的中点 求证：四边形EFGH是平行四边形 变式：在例1中如果加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？‎ 例2已知正方体ABCD-A1B‎1C1D1,‎ （1） 哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？‎ （2） 哪些棱所在的直线与AA1垂直？‎ 变式：在正方体ABCD-A'B'C'D'的所有棱中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。（6条）‎ 课后练习与提高 一．选择题 ‎1.垂直于两条异面直线的直线有（ ）条 A 1 B‎2 C无数 D以上都不对 E A F B C M N D ‎2.两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB与CD（ ）‎ ‎ A 垂直 B平行 C相交 D以上都不对 ‎3．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中 ‎①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60º角；‎ ‎④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）‎ ‎（A）①②③ （B）②④ （C）③④ （D）②③④‎ 二．填空题 ‎4.在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为 ________‎ ‎5. 空间四边形中，，分别是的中点，，求异面直线所成的角为_________‎ 三．解答题 ‎6. 在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角.翰林汇翰林汇