高中数学必修2教案:第四章 4_1_1圆的标准方程

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高中数学必修2教案:第四章 4_1_1圆的标准方程

‎4.1 圆的方程 ‎4.1.1 圆的标准方程 ‎[学习目标] 1.会用定义推导圆的标准方程;掌握圆的标准方程的特点.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.能准确判断点与圆的位置关系.‎ ‎[知识链接]‎ ‎1.平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.‎ ‎2.确定一个圆的基本要素是圆心和半径.‎ ‎3.平面上两点间的距离公式d=.‎ ‎[预习导引]‎ ‎1.圆的定义及圆的标准方程 ‎(1)圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.‎ 其中定点是圆的圆心;定长是圆的半径.‎ ‎(2)圆的标准方程 ‎2.点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系,即点在圆外、点在圆上、点在圆内,判断点与圆的位置关系有两种方法:‎ ‎(1)几何法:将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较:‎ 若|CM|=r,则点M在圆上;‎ 若|CM|>r,则点M在圆外;‎ 若|CM|r2;‎ 点M(m,n)在圆C内⇔(m-a)2+(n-b)2r2时,点在圆外.‎ 跟踪演练1 点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是(  )‎ A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 答案 A 解析 把点P(m2,5)代入圆的方程x2+y2=24得m4+25>24,故点P在圆外.‎ 要点二 求圆的标准方程 例2 求过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程.‎ 解 方法一 设点C为圆心,‎ ‎∵点C在直线x+y-2=0上,‎ ‎∴可设点C的坐标为(a,2-a).‎ 又∵该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|.‎ ‎∴=,‎ 解得a=1.‎ ‎∴圆心坐标为C(1,1),半径长r=|CA|=2.‎ 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.‎ 方法二 由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0),kAB==-1,∴弦AB的垂直平分线的斜率为k=1,∴AB的垂直平分线的方程为y-0=1·(x-0),即y=x.则圆心是直线y=x与x+y-2=0的交点,‎ 由得即圆心为(1,1),圆的半径为=2,‎ 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.‎ 规律方法 直接法求圆的标准方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程.‎ 跟踪演练2 以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(  )‎ A.(x-1)2+(y-2)2=10 B.(x-1)2+(y-2)2=100‎ C.(x-1)2+(y-2)2=5 D.(x-1)2+(y-2)2=25‎ 答案 D 解析 ∵点A(-3,-1)和B(5,5)的中点坐标为(1,2),‎ ‎∴以A、B为直径的圆的圆心坐标为(1,2),‎ 半径r==5.‎ ‎∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=25.‎ 要点三 圆的方程的综合应用 例3 已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0),B(5,0),‎ ‎(1)求此圆的标准方程;‎ ‎(2)设P(x,y)为圆C上任意一点,求P(x,y)到直线x-y+1=0的距离的最大值和最小值.‎ 解 (1)由已知,得C(3,0)r==2,‎ ‎∴所求方程为(x-3)2+y2=4.‎ ‎(2)圆心C到直线x-y+1的距离 d==2.‎ ‎∴P到直线的最大距离为2+2,最小距离为2-2.‎ 规律方法 解答例3应用了圆的性质,即圆上任意一点到圆心的距离都等于半径,解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径,即过圆心作已知直线的垂线,便于求解.‎ 跟踪演练3 已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,点A(0,-1),B(0,1),设P是圆C上的动点,令d=|PA|2+|PB|2,求d的最大值及最小值.‎ 解 设P(x,y),‎ 则d=|PA|2+|PB|2=2(x2+y2)+2.‎ ‎∵|CO|2=32+42=25,‎ ‎∴(5-1)2≤x2+y2≤(5+1)2.‎ 即16≤x2+y2≤36.‎ ‎∴d的最小值为2×16+2=34.‎ 最大值为2×36+2=74.‎ ‎1.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别是(  )‎ A.(-2,3),1 B.(2,-3),3‎ C.(-2,3), D.(2,-3), 答案 D 解析 由圆的标准方程可得圆心坐标为(2,-3),半径为.‎ ‎2.以原点为圆心,2为半径的圆的标准方程是(  )‎ A.x2+y2=2 B.x2+y2=4‎ C.(x-2)2+(y-2)2=8 D.x2+y2= 答案 B 解析 以原点为圆心,2为半径的圆,其标准方程为x2+y2=4.‎ ‎3.若直线y=ax+b通过第一、二、四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=1的圆心位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 D 解析 (-a,-b)为圆的圆心,由直线经过第一、二、四象限,得到a<0,b>0,即-a>0,-b<0,再由各象限内点的坐标的性质得解.‎ ‎4.已知两圆C1:(x-5)2+(y-3)2=9和C2:(x-2)2+(y+1)2=5,则两圆圆心间的距离为________.‎ 答案 5‎ 解析 C1圆心为(5,3),C2圆心为(2,-1),则d==5.‎ ‎5.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为________________.‎ 答案 x2+(y-1)2=1‎ 解析 由题意知圆C的圆心为(0,1),半径为1,所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.‎ ‎1.确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a,b,r的方程组求a,b,r或直接求出圆心(a,b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简,提高解题效率.‎ ‎2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑,其中利用几何特征较为直观、快捷.‎ 一、基础达标 ‎1.圆心为(1,-2),半径为3的圆的方程是(  )‎ A.(x+1)2+(y-2)2=9‎ B.(x-1)2+(y+2)2=3‎ C.(x+1)2+(y-2)2=3‎ D.(x-1)2+(y+2)2=9‎ 答案 D 解析 由题意可知,圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=9,故选D.‎ ‎2.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是(  )‎ A.x+y-2=0 B.x-y+2=0‎ C.x+y-3=0 D.x-y+3=0‎ 答案 D 解析 圆x2+(y-3)2=4的圆心为点(0,3),‎ 又因为直线l与直线x+y+1=0垂直,‎ 所以直线l的斜率k=1.‎ 由点斜式得直线l:y-3=x-0,化简得x-y+3=0.‎ ‎3.与圆(x-3)2+(y+2)2=4关于直线x=-1对称的圆的方程为(  )‎ A.(x+5)2+(y+2)2=4‎ B.(x-3)2+(y+2)2=4‎ C.(x-5)2+(y+2)2=4‎ D.(x-3)2+y2=4‎ 答案 A 解析 已知圆的圆心(3,-2)关于直线x=-1的对称点为(-5,-2),∴所求圆的方程为(x+5)2+(y+2)2=4.‎ ‎4.若点(4a-1,3a+2)不在圆(x+1)2+(y-2)2=25的外部,则a的取值范围是(  )‎ A.-
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