高中数学必修2教案：第四章 4_1_1圆的标准方程
4．1 圆的方程
4．1.1 圆的标准方程
[学习目标] 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.能准确判断点与圆的位置关系．
[知识链接]
1．平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆．
2．确定一个圆的基本要素是圆心和半径．
3．平面上两点间的距离公式d＝.
[预习导引]
1．圆的定义及圆的标准方程
(1)圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．
其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径．
(2)圆的标准方程
2．点与圆的位置关系
点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：
(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：
若|CM|＝r，则点M在圆上；
若|CM|>r，则点M在圆外；
若|CM|
r2；
点M(m，n)在圆C内⇔(m－a)2＋(n－b)2r2时，点在圆外．
跟踪演练1 点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
答案 A
解析 把点P(m2,5)代入圆的方程x2＋y2＝24得m4＋25>24，故点P在圆外．
要点二 求圆的标准方程
例2 求过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．
解 方法一 设点C为圆心，
∵点C在直线x＋y－2＝0上，
∴可设点C的坐标为(a,2－a)．
又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.
∴＝，
解得a＝1.
∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
方法二 由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝＝－1，∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，∴AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，
由得即圆心为(1,1)，圆的半径为＝2，
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
规律方法 直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．
跟踪演练2 以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
答案 D
解析 ∵点A(－3，－1)和B(5,5)的中点坐标为(1,2)，
∴以A、B为直径的圆的圆心坐标为(1,2)，
半径r＝＝5.
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
要点三 圆的方程的综合应用
例3 已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)，
(1)求此圆的标准方程；
(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．
解 (1)由已知，得C(3,0)r＝＝2，
∴所求方程为(x－3)2＋y2＝4.
(2)圆心C到直线x－y＋1的距离
d＝＝2.
∴P到直线的最大距离为2＋2，最小距离为2－2.
规律方法 解答例3应用了圆的性质，即圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解．
跟踪演练3 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．
解 设P(x，y)，
则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.
∵|CO|2＝32＋42＝25，
∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.
即16≤x2＋y2≤36.
∴d的最小值为2×16＋2＝34.
最大值为2×36＋2＝74.
1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )
A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3
C．(－2,3)， D．(2，－3)，
答案 D
解析 由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为.
2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4
C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝
答案 B
解析 以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.
3．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 (－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0，再由各象限内点的坐标的性质得解．
4．已知两圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为________．
答案 5
解析 C1圆心为(5,3)，C2圆心为(2，－1)，则d＝＝5.
5．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________________．
答案 x2＋(y－1)2＝1
解析 由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．
2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷．
一、基础达标
1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
答案 D
解析 由题意可知，圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D.
2．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
答案 D
解析 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，
又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，
所以直线l的斜率k＝1.
由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.
3．与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为( )
A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4
B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4
C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4
D．(x－3)2＋y2＝4
答案 A
解析 已知圆的圆心(3，－2)关于直线x＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.
4．若点(4a－1,3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是( )
A．－
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