高中数学 函数概念与基本初等函数专题

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高中数学 函数概念与基本初等函数专题

‎ 高中数学 函数概念与基本初等函数 专题 函数与方程 ‎2019年 ‎ ‎1.(2019全国Ⅱ理12)设函数的定义域为R,满足,且当时,.若对任意,都有,则m的取值范围是 A. B. ‎ C. D.‎ ‎2.(2019江苏14)设是定义在R上的两个周期函数,的周期为4,的周期为2,且是奇函数.当时,,,其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程有8个不同的实数根,则k的取值范围是 .‎ ‎3.(2019浙江9)已知,函数,若函数恰有3个零点,则 A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0 ‎ C.a>-1,b<0 D.a>-1,b>0 ‎ ‎2010-2018年 ‎ 一、选择题 ‎1.(2018全国卷Ⅰ)已知函数.若存在2个零点,则的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎2.(2017新课标Ⅲ)已知函数有唯一零点,则=‎ A. B. C. D.1‎ ‎3.(2017山东)已知当时,函数的图象与的图象有且只有一个交点,则正实数的取值范围是 A. B.‎ C. D.‎ ‎4.(2016年天津)已知函数=(,且)在R上单调递减,且关于的方程恰好有两个不相等的实数解,则的取值范围是 A.(0,] B.[,] C.[,]{} D.[,){}‎ ‎5.(2015安徽)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 A. B. C. D.‎ ‎6.(2015福建)若是函数 的两个不同的零点,且 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则的值等于 A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎7.(2015天津)已知函数 函数 ,其中 ‎ ,若函数 恰有4个零点,则的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎8.(2015陕西)对二次函数(为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是 A.-1是的零点 B.1是的极值点 C.3是的极值 D.点在曲线上 ‎9.(2014山东)已知函数,.若方程有两个不相等的实根,则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎10.(2014北京)已知函数,在下列区间中,包含零点的区间是 A. B. C. D.‎ ‎11.(2014重庆)已知函数, 且在内有且仅有两个不同的零点,则实数的取值范围是 A. B.‎ C. D.‎ ‎12.(2014湖北)已知是定义在上的奇函数,当时,.则函数的零点的集合为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎13.(2013安徽)已知函数有两个极值点,若 ‎,则关于的方程的不同实根个数为 A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎14.(2013重庆)若,则函数的两个零点分别位于区间 A.和内 B.和内 ‎ C.和内 D.和内 ‎15.(2013湖南)函数的图像与函数的图象的交点个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 ‎ ‎16.(2013天津)函数的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎17.(2012北京)函数的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎18.(2012湖北)函数在区间上的零点个数为 A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎19.(2012辽宁)设函数满足,,且当时,.又函数,则函数在上的零点个数为 A.5 B.‎6 ‎ C.7 D.8‎ ‎20.(2011天津)对实数与,定义新运算“”: 设函数 若函数的图像与轴恰有两个公共点,则实数的取值范围是 A.  B.‎ C. D.‎ ‎21.(2011福建)若关于的方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是 A.(1,1) B.(2,2)‎ C.(∞,2)∪(2,+∞) D.(∞,1)∪(1,+∞)‎ ‎22.(2011全国新课标)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎23.(2011山东)已知是上最小正周期为2的周期函数,且当时,,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为 A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎24.(2010年福建)函数,的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎25.(2010天津)函数的零点所在的一个区间是 A.(2,1) B.(1,0) C.(0,1) D.(1,2)‎ ‎26.(2010广东)“”是“一元二次方程有实数解”的 A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 ‎27.(2010浙江)设函数,则在下列区间中函数不存在零点的是 A. B. C. D.‎ 二、填空题 ‎28.(2018全国卷Ⅲ)函数在的零点个数为________.‎ ‎29.(2018天津)已知,函数若关于的方程恰有2个互异的实数解,则的取值范围是 . ‎ ‎30.(2018江苏)若函数在内有且只有一个零点,则在上的最大值与最小值的和为 .‎ ‎31.(2018浙江)已知,函数,当时,不等式的解集是_____.若函数恰有2个零点,则的取值范围是______.‎ ‎32.(2018浙江)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为,,,则,当时, , .‎ ‎33.(2017江苏)设是定义在且周期为1的函数,在区间上,其中集合,则方程的解的个数是 .‎ ‎34.(2016年山东)已知函数 其中,若存在实数,使得关于的方程有三个不同的根,则的取值范围是_________.‎ ‎35.(2015湖北)函数的零点个数为 .‎ ‎36.(2015北京)设函数 ‎①若,则的最小值为 ;‎ ‎②若恰有2个零点,则实数的取值范围是 .‎ ‎37.(2015湖南)已知函数,若存在实数,使函数有两个零点,则的取值范围是 .‎ ‎38.(2014江苏)已知是定义在上且周期为3的函数,当时,‎ ‎.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是 .‎ ‎39.(2014福建)函数的零点个数是_________.‎ ‎40.(2014天津)已知函数,.若方程恰有4个互异的实数根,则实数的取值范围为__________.‎ ‎41.(2012福建)对于实数和,定义运算“*”: 设 ‎=,且关于的方程为(∈R)恰有三个互不相等的实数根,则的取值范围是____________.‎ ‎42.(2011北京)已知函数,若关于的方程=有两个不同的实根,则数的取值范围是_______.‎ ‎43.(2011辽宁)已知函数有零点,则的取值范围是_____.‎ 参考答案部分 ‎2019年 ‎ ‎1.解析:因为,所以,‎ ‎ 当时,,‎ 当时,,,‎ 当时,,,‎ 当时,由解得或,‎ 若对任意,都有,则. 故选B.‎ ‎ 2.解析 作出函数与的图像如图所示,‎ ‎ 由图可知,函数与仅有2个实数根; 要使关于x的方程有8个不同的实数根, 则,与,的图象有2个不同交点, 由到直线的距离为1,得,解得,‎ 因为两点,连线的斜率, 所以,‎ 即的取值范围为.‎ ‎3.解析:当时,,最多一个零点;‎ 当时,,‎ ,‎ 当,即时,,在上递增,最多一个零点不合题意; 当,即时,令得,函数递增,令得,函数递减;函数最多有2‎ 个零点; 根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点,在上有2个零点, 如下图:‎ ‎ 所以且, 解得,,. 故选C.‎ ‎2010-2018年 ‎ ‎1.C【解析】函数存在 2个零点,即关于的方程有2 个不同的实根,即函数的图象与直线有2个交点,作出直线与函数的图象,如图所示,‎ 由图可知,,解得,故选C.‎ ‎2.C【解析】令,则方程有唯一解,‎ 设,,则与有唯一交点,‎ 又,当且仅当时取得最小值2.‎ 而,此时时取得最大值1,‎ 有唯一的交点,则.选C.  ‎ ‎3.B【解析】当时,,函数,在上单调递减,函数,在上单调递增,因为,,,,所以,,此时与在有一个交点;当时,,函数,在 上单调递减,在上单调递增,此时,在无交点,‎ 要使两个函数的图象有一个交点,需,即,解得.‎ 选B.‎ ‎4.C【解析】当时,单调递减,必须满足,故,此时函数在上单调递减,若在上单调递减,还需,即,所以.当时,函数的图象和直线只有一个公共点,即当时,方程只有一个实数解.因此,只需当时,方程 只有一个实数解,根据已知条件可得,当时,方程 ‎,即在上恰有唯一的实数解.判别式,当时,,此时满足题意;令,由题意得,即,即时,方程有一个正根、一个负根,满足要求;当,即时,方程有一个为0、一个根为,满足要求;当,即,即时对称轴,此时方程有两个负根,不满足要求;综上实数的取值范围是.‎ ‎5.A【解析】是偶函数且有无数多个零点,为奇函数,既不是奇函数又不是偶函数,是偶函数但没有零点.故选A.‎ ‎6.D【解析】由韦达定理得,,则,当适当排序后成等比数列时,必为等比中项,故,.当适当排序后成等差数列时,必不是等差中项,当是等差中项时,,解得,;‎ 当是等差中项时,,解得,,综上所述,,‎ 所以,选D.‎ ‎7.D【解析】由得,‎ 所以,‎ 即,‎ ‎,所以 恰有4个零点等价于方程有4个不同的解,即函数与函数 的图象的4个公共点,由图象可知.‎ ‎8.A【解析】由A知;由B知,;由C知 ‎,令可得,则,则;‎ 由D知,假设A选项错误,则,得,满足题意,故A结论错误,同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意,故选A.‎ ‎9.B【解析】如图所示,方程有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点,结合图象可知,当直线的斜率大于坐标原点与点的连续的斜率,且小于直线的斜率时符合题意,故选.‎ ‎10.C【解析】∵,,‎ ‎,∴零点的区间是.‎ ‎11.A【解析】在内有且仅有两个不同的零点就是函数 的图象与函数的图象有两个交点,在同一直角坐标系内作出函数,和函数的图象,如图,‎ 当直线与和都相交时 ‎;当直线与有两个交点时,‎ 由,消元得,即,‎ 化简得,当,即时直线 与相切,当直线过点 时,,所以,综上实数的取值范围是.‎ ‎12.D【解析】当时,函数的零点即方程的根,由,解得或3;当时,由是奇函数得,‎ 即,由得(正根舍去).‎ ‎13.A【解析】,是方程的两根,‎ 由,则又两个使得等式成立,‎ ‎,,其函数图象如下:‎ 如图则有3个交点,故选A.‎ ‎14.A【解析】由,可得,,‎ ‎.显然,,‎ 所以该函数在和上均有零点,故选A.‎ ‎15.B【解析】二次函数的图像开口向上,在轴上方,对称轴为 ‎,; .所以,从图像上可知交点个数为2.‎ ‎16.B【解析】令,可得,由图象法可知有两个零点.‎ ‎17.B【解析】因为在内单调递增,又,‎ 所以在内存在唯一的零点.‎ ‎18.C【解析】,则或,,又,‎ 所以共有6个解.选C.‎ ‎19.B【解析】由题意知,所以函数为偶函数,所以 ‎,所以函数为周期为2的周期函数,‎ 且,,而为偶函数,‎ 且,在同一坐标系下作出两函数在上的图像,发现在内图像共有6个公共点,则函数在上的零点个数为6,故选B.‎ ‎20.B【解析】由题意知,若,即时,;当,即或时,,要使函数的图像与轴恰有两个公共点,只须方程有两个不相等的实数根即可,即函数的图像与直线有两个不同的交点即可,画出函数的图像与直线,不难得出答案B.‎ ‎21.C【解析】由一元二次方程有两个不相等的实数根,可得判别式,即,解得或,故选C.‎ ‎22.D【解析】图像法求解.的对称中心是也是的中心,他们的图像在的左侧有4个交点,则右侧必有4个交点.不妨把他们的横坐标由小到大设为,‎ 则,所以选D ‎23.B【解析】因为当时, ,又因为是上最小正周期为2的周期函数,且,所以,又因为,‎ 所以,,故函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为7个,选B.‎ ‎24.C【解析】当时,令解得;‎ 当时,令解得,所以已知函数有两个零点,选C.‎ ‎25.B【解析】因为,,所以选B.‎ ‎26.A【解析】有实数解等价于,即.当时,‎ 成立,但时,不一定成立,故选A.‎ ‎27.A【解析】,,由于,所以,故函数在上存在零点;由于,故函数在 上存在零点,在上也存在零点,令,‎ 则,而,‎ 所以函数在上存在零点,故选A.‎ ‎28.3【解析】由题意知,,所以,,‎ 所以,,当时,;当时,;‎ 当时,,均满足题意,所以函数在的零点个数为3.‎ ‎29.【解析】当时,由,得;‎ 当时,由,得.‎ 令,作出直线,,‎ 函数的图象如图所示,‎ 的最大值为,由图象可知,若恰有2个互异的实数解,则,得.‎ ‎30.【解析】(),当时在 上恒成立,则在上单调递增,又,所以此时在内无零点,不满足题意.当时,由得,由得,则在上单调递减,在上单调递增,又在内有且只有一个零点,所以,得,所以,‎ 则,当时,,单调递增,当时,,单调递减,则,,,则,所以在上的最大值与最小值的和为.‎ ‎31.;【解析】若,则当时,令,得;当时,令,得.综上可知,所以不等式的解集为.令,解得;令,解得或.因为函数恰有2个零点,结合函数的图象(图略)可知或.‎ ‎32.8;11【解析】因为,所以,解得.‎ ‎33.8【解析】由于,则需考虑的情况,‎ 在此范围内,且时,设,且互质,‎ 若,则由,可设,且互质,‎ 因此,则,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾,‎ 因此,因此不可能与每个周期内对应的部分相等,‎ 只需考虑与每个周期的部分的交点,‎ 画出函数图象,图中交点除外其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期的部分,‎ 且处,则在附近仅有一个交点,‎ 因此方程的解的个数为8.‎ ‎34.【解析】由题意,当时,,其顶点为;当时,函数的图象与直线的交点为.‎ ‎①当,即时,函数的图象如图1所示,此时直线与函数的图象有一个或两个不同的交点,不符合题意;‎ ‎②当,即时,函数的图象如图2所示,则存在实数满足,使得直线与函数的图象有三个不同的交点,符合题意.综上,的取值范围为.‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎35.2【解析】因为 ‎=‎ ‎36. 【解析】①若,则,作出函数的图象如图所示,由图可知的最小值为.‎ ‎②当时,要使恰好有3个零点,需满足,即.所以;‎ 当时,要使恰好有2个零点,需满足,解得.‎ ‎37.【解析】分析题意可知,问题等价于方程与方程的根的个数和为,若两个方程各有一个根:则可知关于的不等式组 有解,从而;若方程无解,方程有2个根:则可知关于的不等式组有解,从而;综上,实数的取值范围是 ‎.‎ ‎38.【解析】函数在区间上有互不相同的10个零点,即函数 与的图象有10个不同的交点,在坐标系中作出函数在一个周期内的图象,可知.‎ ‎39.2【解析】当时,令,解得;‎ 当时,,∵,∴在上单调递增,因为,,所以函数在有且只有一个零点,所以的零点个数为2.‎ ‎40.或【解析】法一 显然.(ⅰ)当与相切时,,此时恰有3个互异的实数根.‎ ‎(ⅱ)当直线与函数相切时,,此时 恰有2个互异的实数根.结合图象可知或.‎ ‎ ‎ 法二:显然,所以.令,则.‎ 因为,所以.‎ 结合图象可得或.‎ ‎41.【解析】由定义运算“*”可知 ‎=,如图可知满足题意的的范围是,‎ 不妨设,当时,=,即 ‎∴;∴‎ 当时,由,得 ‎∴,‎ ‎42.【解析】当时,,说明函数在上单调递增,函数的值域是,又函数在上单调递减,函数的值域是,因此要使方程有两个不同实根,则.‎ ‎43.【解析】由原函数有零点,可将问题转化为方程有解问题,即方程有解.令函数,则,令,得,所以在上是增函数,在上是减函数,所以的最大值为,所以.‎
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