高中数学选修2-2教案第一章 2
明目标、知重点
1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．
2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．
1．综合法的含义
从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法．
2．分析法的含义
从求证的结论出发，一步步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这样的思维方法称为分析法．
[情境导学]
证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．
探究点一 综合法
思考1 请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？
已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
证明 因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.
又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.
因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
小结 此证明过程运用了综合法．
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
思考2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？
答 因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．
例1 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
证明 由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①
由于A，B，C为△ABC的三个内角，
所以A＋B＋C＝π.②
由①②，得B＝，③
由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，④
由余弦定理及③，
可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，
再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，
从而a＝c，所以A＝C.⑤
由②③⑤，得A＝B＝C＝，
所以△ABC为等边三角形．
反思与感悟 综合法的证明步骤如下：
(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；
(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．
跟踪训练1 在△ABC中，＝，证明：B＝C.
证明 在△ABC中，由正弦定理及已知条件得
＝.
于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
即sin(B－C)＝0，因为－π
0，b>0)是怎样证明的？
答 要证≥，
只需证a＋b≥2，
只需证a＋b－2≥0，
只需证(－)2≥0，
因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
思考2 证明过程有何特点？
答 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．
小结 分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法．
思考3 综合法和分析法的区别是什么？
答 综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．
例2 求证：－<－(a≥3)．
证明 方法一 要证－<－，
只需证＋<＋，
只需证(＋)2<(＋)2，
只需证2a－3＋2<2a－3＋2，
只需证<，
只需证0<2，而0<2显然成立，
所以 －<－(a≥3)．
方法二 因为＋>＋>0，
所以<，
所以－<－.
反思与感悟 当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法．
跟踪训练2 求证：＋<2.
证明 因为＋和2都是正数，
所以要证＋<2，只需证(＋)2<(2)2，
展开得10＋2<20，
只需证<5，只需证21<25，
因为21<25成立，所以＋<2成立．
探究点三 综合法和分析法的综合应用
思考 在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？
答 对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P.若P⇒Q，则结论得证．
例3 已知α，β≠kπ＋(k∈Z)，且
sin θ＋cos θ＝2sin α， ①
sin θcos θ＝sin2β. ②
求证：＝.
证明 因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，
所以将①②代入，可得
4sin2α－2sin2β＝1. ③
另一方面，要证＝，
即证＝，
即证cos2α－sin2α＝(cos2β－sin2β)，
即证1－2sin2α＝(1－2sin2β)，
即证4sin2α－2sin2β＝1.
由于上式与③相同，于是问题得证．
反思与感悟 用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为：
→→…→←…←←
跟踪训练3 若tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β)．
证明 由tan(α＋β)＝2tan α
得＝，
即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.①
要证3sin β＝sin(2α＋β)，
即证3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
即证3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，
化简得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.
这就是①式．所以，命题成立．
1．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么( )
A．x<x>0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，
则＝，2xy＝，∴x<2xy<b>0时，才有a2>b2，
∴只需证：＋<＋，
即证：(＋)2<(＋)2.
3．已知＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．
证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，
只需证＝3，只需证＝3，
只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，
只需证tan α＝－，
∵＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，
即2tan α＝－1.∴tan α＝－显然成立，
∴结论得证．
[呈重点、现规律]
1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．
2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．
3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．
一、基础过关
1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若>，则a>b
C．若a3>b3且ab<0，则>
D．若a2>b2且ab>0，则<
答案 C
解析 对于A：若c＝0，则A不成立，故A错；对于B：若c<0，则B不成立，B错；对于C：若a3>b3且ab<0，则，所以>，故C对；对于D：若，则D不成立．
2．A、B为△ABC的内角，A>B是sin A>sin B的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由正弦定理＝＝2R，又A、B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B⇔2Rsin A>2Rsin B⇔a>b⇔A>B.
3．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，mβ，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 若l⊥α，mβ，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；
若l⊥α，mβ，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；
若l⊥α，mβ，α⊥β，l与m可能平行、相交或异面，③不正确；
若l⊥α，mβ，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．
4．设a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，则必有( )
A．1≤ab≤ B．ab<1<
C．ab<<1 D.ab.
又因为a＋b＝2>2，
故ab<1，＝＝2－ab>1，
即>1>ab.
5．已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．
答案 (2，＋∞)
解析 由已知得
＝3x＋b，
所以h(x)＝6x＋2b－.
h(x)>g(x)恒成立，即6x＋2b－>，
3x＋b>恒成立．
在同一坐标系内，画出直线y＝3x＋b及半圆y＝(如图所示)，
可得>2，即b>2，故答案为(2，＋∞)．
6．已知p＝a＋(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p、q的大小关系为________．
答案 p>q
解析 p＝a－2＋＋2≥2·＋2＝4，－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2，∴q<22＝4≤p.
7．在△ABC中，三边a，b，c成等比数列，求证：acos2＋ccos2≥b.
证明 ∵左边＝＋
＝(a＋c)＋(acos C＋ccos A)
＝(a＋c)＋(a·＋c·)
＝(a＋c)＋b≥＋
＝b＋＝b＝右边．
∴acos2＋ccos2≥b.
二、能力提升
8．已知a，b为非零实数，则使不等式：＋≤－2成立的一个充分不必要条件是( )
A．ab>0 B．ab<0
C．a>0，b<0 D．a>0，b>0
答案 C
解析 ∵与同号，
由＋≤－2，知<0，<0，
即ab<0.又若ab<0，则<0，<0.
∴＋＝－
≤－2＝－2，
综上，ab<0是＋≤－2成立的充要条件，
∴a>0，b<0是＋≤－2成立的一个充分不必要条件．
9．已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值( )
A．一定是正数 B．一定是负数
C．可能是0 D．正、负不能确定
答案 B
解析 ∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝0，
又abc>0，∴a，b，c均不为0，∴a2＋b2＋c2>0.
∴ab＋bc＋ca<0，∴＋＋＝<0.
10.如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
答案 对角线互相垂直
解析 本题答案不唯一，要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可．
11．若－10.(*)
因为－10)，求证：以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切．
证明 (如图)作AA′、BB′垂直于准线，取AB的中点M，作MM′垂直于准线．
只需证|MM′|＝|AB|.
由抛物线的定义：
|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|.
因此只需证|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)，
根据梯形的中位线定理可知上式是成立的．
所以以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切．
三、探究与拓展
13．已知a、b、c是不全相等的正数，且0abc.
由公式≥>0，≥>0，
≥>0.又∵a，b，c是不全相等的正数，
∴··>＝abc.
即··>abc成立．
∴logx＋logx＋logx
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