高中数学人教a版选修4-1同步辅导与检测：1_3 第1课时 相似三角形的判定

高中数学人教a版选修4-1同步辅导与检测：1_3 第1课时 相似三角形的判定

1.3 　相似三角形的判定及性质 第一课时　相似三角形的判定 1. 掌握证明两个三角形相似的方法，正确选择好的方法． 2. 能应用三角形相似解决有关问题 . 1 ．相似比： __________________ 的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形 ____________________ 叫做相似比 ( 或相似系数 ) ． 2 ．判定定理 1 ：对于任意两个三角形，如果一个三角形的 ____________ 与另一个三角形的 ____________ 对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 3 ．判定定理 2 ：对于任意两个三角形，如果一个三角形的 ________ 与另一个三角形的 ____________ 对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 1 ．对应角相等、对应边成比例　对应边的比值 2 ．两个角　两个角 3 ．两边　两边 4 ．判定定理 3 ：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边 __________ ，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 5 ．定理： (1) 如果两个直角三角形有一个 ________ 相等，那么它们相似． (2) 如果两个直角三角形的 __________ 对应成比例，那么它们相似． 6 ．定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应 __________ ，那么这两个直角三角形 __________ ． 4 ．对应成比例 5 ．锐角对应　两条直角边 6 ．成比例　相似 如图所示，已知在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A ＝ 36° ， BD 是∠ B 的角平分线，试利用三角形相似的关系证明： AD 2 ＝ DC · AC . 分析： 有一个角是 36° 的等腰三角形，它的底角是 72° ，而 BD 是底角的平分线，所以∠ CBD ＝ 36° ，则可推出△ ABC ∽△ BCD ，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系． 证明： ∵∠ A ＝ 36° ， AB ＝ AC ， ∴∠ ABC ＝∠ C ＝ 72°. 又∵ BD 平分∠ ABC ， ∴∠ ABD ＝∠ CBD ＝ 36°. ∴ AD ＝ BD ＝ BC ，且△ ABC ∽△ BCD . ∴ BC ∶ AB ＝ CD ∶ BC . ∴ BC 2 ＝ AB · CD , ∴AD=BC,AB=AC. ∴ AD 2 ＝ AC · CD . 如图所示，已知在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 是 BC 边上的中线， CF ∥ BA ， BF 交 AD 于点 P ，交 AC 于点 E . 求证： BP 2 ＝ PE · PF . 证明： 如图 , 连接 PC ，在△ ABC 中， ∵ AB ＝ AC ， D 为 BC 中点， ∴ AD 垂直平分 BC . ∴ PB ＝ PC ，∠ 1 ＝∠ 2. ∵ AB ＝ AC ，∴∠ ABC ＝∠ ACB . ∴∠ ABC －∠ 1 ＝∠ ACB －∠ 2. ∴∠3 ＝∠ 4. ∵ CF∥AB ， ∴∠ 3 ＝∠ F .∴∠4 ＝∠ F . 又∵∠ EPC ＝∠ CPF . ∴△ PCE ∽△ PFC . ∴ ＝ . ∴ PC 2 ＝ PE · PF . ∵ PC ＝ PB . ∴ PB 2 ＝ PE · PF . 如图所示，在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ， CD ⊥ AB 于点 D ， AE 是∠ CAB 的角平分线， CD 与 AE 相交于点 F ， EG ⊥ AB 于点 G . 求证： EG 2 ＝ FD · EB . 证明： ∵∠ ACE ＝ 90° ， CD ⊥ AB ， ∴∠ CAE ＋∠ AEC ＝ 90° ，∠ FAD ＋∠ AFD ＝ 90°. ∵∠ AFD ＝∠ CFE ， ∴∠ FAD ＋∠ CFE ＝ 90°. 又∵∠ CAE ＝∠ FAD ， ∴∠ AEC ＝∠ CFE ，∴ CF ＝ CE . ∵ AE 是∠ CAB 的平分线， EG ⊥ AB ， EC ⊥ AC ， ∴ EC ＝ EG ，∴ CF ＝ EG . ∵∠ B ＋∠ CAB ＝ 90° ， ∠ ACF ＋∠ CAB ＝ 90° ， ∴∠ ACF ＝∠ B . 1 ．下列命题正确的是 ( 　　 ) A ．有两边成比例及一个角相等的两个三角形相似 B ．有两边成比例的两个等腰三角形相似 C ．有三边分别对应平行的两个三角形相似 D ．有两边及一边上的高对应成比例的两个三角形相似 C 2 ．如图所示，△ ABC ∽△ AED ∽△ AFG ， DE 是△ ABC 的中位线，△ ABC 与△ AFG 的相似比是 3∶2 ，则△ ADE 与△ AFG 的相似比是 ( 　　 ) A ． 3∶4 　　　　　　　　 B ． 4∶3 C ． 8∶9 D ． 9∶8 3 ．如图所示， AD ∥ EF ∥ BC ， GH ∥ AB ，则图中与△ BOC 相似的三角形有 ( 　　 ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 C 4 ．如图所示，在 ▱ ABCD 中，直线 EH 与 CB 、 CD 的延长线分别交于点 H 、 E ， EH 与 AD 、 AB 分别交于点 F 、 G ，则图中相似三角形的对数是 ( 　　 ) A ． 3 对 B ． 4 对 C ． 5 对 D ． 6 对 B 5 ．如图所示，小正方形的边长均为 1 ，则下列图中的三角形 ( 阴影部分 ) 与 △ ABC 相似的是 ( 　　 ) A 6 ．如图所示，在△ ABC 中，点 M 在 BC 上，点 N 在 AM 上， CM ＝ CN ，且 ＝ . 下列结论正确的是 ( 　　 ) A ．△ ABM ∽△ ACB B ．△ ANC ∽△ AMB C ．△ ANC ∽△ ACM D ．△ CMN ∽△ BCA B 7 ．如图所示，在△ ABC 中， P 为 AB 上一点，在下列四个条件中：①∠ ACP ＝∠ B ；②∠ APC ＝∠ ACB ；③ AC 2 ＝ AP · AB ；④ AB · CP ＝ AP · CB ，能满足△ APC 和△ ACB 相似的条件是 ( 　　 ) A ．①②④　 B ．①③④　 C ．②③④　 D ．①②③ D 8 ．如图所示，△ ABC 的三边长是 2 、 6 、 7 ，△ DEF 的三边长是 4 、 12 、 14 ，且△ ABC 与△ DEF 相似，则∠ A ＝∠ ____ ，∠ B ＝∠ ____ ，∠ C ＝∠ ______. ＝ ＝ ＝ ______. 9 ．如图所示， DE ∥ BC ，则△ ADE ∽△______ ，∠ A ＝∠ ______ 、∠ ADE ＝∠ ____ ，∠ AED ＝∠ C . 设 AD ＝ 5 ， DB ＝ 3 ，则△ ADE 与△ ABC 的相似比是 ______ ． 答案： ABC 　 A 　 B 　 10 ．如图所示， BD 、 CE 是△ ABC 的高， BD 、 CE 交于点 F ，写出图中所有与△ ACE 相似的三角形： __________. 10 ．△ FCD 、△ FBE 、△ ABD 11 ．如图所示， AB ＝ 8 ， AD ＝ 3 ， AC ＝ 6 ，当 AE ＝ ____ 时，△ ADE ∽△ ACB . 4 12 ．在△ ABC ( AB ＞ AC ) 的边 AB 上取一点 D ，在边 AC 上取一点 E ，使 AD ＝ AE ，直线 DE 和 BC 的延长线交于点 P ，求证： ＝ . 分析： 如右图，要证 ＝ , 可过点 C 作 CM∥AB ，证明△ CPM ∽ △ BPD ，此时只需证明 CM ＝ CE 即可． 证明： 过点 C 作 CM∥AB ，交 DP 于点 M . ∵ AD ＝ AE ，∴∠ ADE ＝∠ AED . 又 AD∥CM ，∠ ADE ＝∠ CME ，∠ AED ＝∠ CEM ， ∴∠ CEM ＝∠ CME ，∴ CE ＝ CM . ∵ CM∥BD ，∴△ CPM ∽△ BPD ， 点评： 作出辅助线，证明 CM ＝ CE 是解题的关键．利用相似三角形的性质可得等积式或比例式，是解决这类问题的基本方法．解此类题一般可分为三步：①把等积式化为比例式，从而确定相关的两三角形相似；②确定两个相关的三角形的方法是：把比例式横看或竖看，将两条线段中的相同字母消去一个，由余下的字母组成三角形；③设法找到证明这两个三角形相似的条件 13 ．如图所示，∠ ABC ＝∠ CDB ＝ 90° ， AC ＝ a ， BC ＝ b ，当 BD 与 a 、 b 之间满足怎样的关系式时，△ ABC 与△ CDB 相似？ 时， △ ABC ∽△ BDC BD = 综上所述： 当 BD= 或 时，△ ABC 与△ BDC 相似 . 判定两个三角形相似的方法 1 ．定义法，即对应边成比例、对应角相等的三角形是相似三角形． 2 ．平行法，即平行于三角形一边的直线和其他两边 ( 或两边延长线 ) 相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3 ．判定定理： (1) 判定定理 1 ：两角对应相等，两三角形相似 . (2) 判定定理 2 ：两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似． (3) 判定定理 3 ：三边对应成比例，两三角形相似． 感谢您的使用，退出请按 ESC 键 本小节结束