2020高中数学第三章指数函数和对数函数3
第5讲 对数与对数函数
一、选择题
1.(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( )
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0；
当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1.
答案 A
2.(2017·上饶模拟)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＝b
c C.ab>c
解析 因为a＝log23＋log2＝log23＝log23>1，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝log320，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )
解析 由题意y＝logax(a>0，且a≠1)的图像过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝，显然图像错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图像可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图像不符；选项D中，y＝log3(－x)的图像与y＝log3x的图像关于y轴对称，显然不符.故选B.
答案 B
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4.已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f的值是( )
A.5 B.3 C.－1 D.
解析 由题意可知f(1)＝log21＝0，
f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，
f＝3－log3＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，
所以f(f(1))＋f＝5.
答案 A
5.(2016·浙江卷)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则( )
A.(a－1)(b－1)<0 B.(a－1)(a－b)>0
C.(b－1)(b－a)<0 D.(b－1)(b－a)>0
解析 ∵a>0，b>0且a≠1，b≠1.
由logab>1得loga>0.
∴a>1，且>1或0a>1或00.
答案 D
二、填空题
6.设f(x)＝log是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.
解析 由f(x)是奇函数可得a＝－1，
∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1).
由f(x)<0，可得0<<1，∴－10，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.
解析 当x≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为[4，＋∞)，所以解1＜a≤2，所以实数a的取值范围为(1，2].
答案 (1，2]
三、解答题
9.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值.
解 (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，
∴a＝2.
由得－1＜x＜3，
∴函数f(x)的定义域为(－1，3).
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
10.(2016·榆林月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解 (1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x).
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
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(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.a>c>b
解析 函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，
∴f(x)在[0，＋∞)为增函数，
∵b＝f(log4)＝f(－2)＝f(2)，1<20.3<2b>a.
答案 B
12.已知函数f(x)＝ln，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是________.
解析 由题意可知ln＋ln＝0，
即ln＝0，从而×＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－＋，
又0＜a＜b＜1，
∴0＜a＜，故0＜－＋＜.
答案
13.(2016·浙江卷)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
解析 ∵logab＋logba＝logab＋＝，
∴logab＝2或.∵a>b>1，∴logab0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值.
解 由题意知f(x)＝(logax＋1)(logax＋2)
＝(logx＋3logax＋2)
＝－.
当f(x)取最小值－时，logax＝－.
又∵x∈[2，8]，∴a∈(0，1).
∵f(x)是关于logax的二次函数，
∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得.
若－＝1，则a＝2－，
此时f(x)取得最小值时，x＝(2－)－＝∉[2，8]，舍去.
若－＝1，则a＝，
此时f(x)取得最小值时，x＝＝2∈[2，8]，
符合题意，∴a＝.
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