贵州省黔西南州中考数学试卷

贵州省黔西南州中考数学试卷

‎2017年贵州省黔西南州中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题4分，共40分）‎ ‎1．（4分）﹣2017的相反数是（　　）‎ A．﹣2017 B．2017 C．﹣ D．‎ ‎2．（4分）在下列四个交通标志图中，是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（4分）已知甲、乙两同学1分钟跳绳的平均数相同，若甲同学1分钟跳绳成绩的方差S甲2=0.006，乙同学1分钟跳绳成绩的方差S乙2=0.035，则（　　）‎ A．甲的成绩比乙的成绩更稳定 B．乙的成绩比甲的成绩更稳定 C．甲、乙两人的成绩一样稳定 D．甲、乙两人的成绩稳定性不能比较 ‎4．（4分）下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎5．（4分）下列各式正确的是（　　）‎ A．（a﹣b）2=﹣（b﹣a）2 B．=x﹣3 C．=a+1 D．x6÷x2=x3‎ ‎6．（4分）一个不透明的袋中共有20个球，它们除颜色不同外，其余均相同，其中：8个白球，5个黄球，5个绿球，2个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（4分）四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，则下列结论中错误的是（　　）‎ A．∠A=∠C B．AD∥BC C．∠A=∠B D．对角线互相平分 ‎8．（4分）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（　　）‎ A．3 B．2.5 C．2 D．1‎ ‎9．（4分）如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是（　　）‎ A．71 B．78 C．85 D．89‎ ‎10．（4分）如图，点A是反比例函数y=（x＞0）上的一个动点，连接OA，过点O作OB⊥OA，并且使OB=2OA，连接AB，当点A在反比例函数图象上移动时，点B也在某一反比例函数y=图象上移动，则k的值为（　　）‎ A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共30分）‎ ‎11．（3分）计算：（﹣）2=　 　．‎ ‎12．（3分）人工智能AlphaGo，因在人机大战中大胜韩国围棋手李世石和我国选手柯洁而声名显赫，它具有自我对弈的学习能力，决战前已做了两千万局的训练（等同于一个近千年的训练量）此处“两千万”用科学记数法表示为　 　（精确到百万位）．‎ ‎13．（3分）不等式组的解集是　 　．‎ ‎14．（3分）若一组数据3，4，x，6，8的平均数为5，则这组数据的众数是　 　．‎ ‎15．（3分）已知关于x的方程x2+2x﹣（m﹣2）=0没有实数根，则m的取值范围是　 　．‎ ‎16．（3分）如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC=65°，则∠BCD=　 　度．‎ ‎17．（3分）函数y=的自变量x的取值范围是　 　．‎ ‎18．（3分）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是　 　．‎ ‎19．（3分）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是　 　cm．‎ ‎20．（3分）如图，图中二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）则下列命题中正确的有　 　（填序号）‎ ‎①abc＞0；②b2＜4ac；③4a﹣2b+c＞0；④2a+b＞c．‎ ‎　‎ 三、（本大题12分）‎ ‎21．（12分）（1）计算：+|3﹣|﹣2sin60°+（2017﹣π）0+（）﹣2‎ ‎（2）解方程：+=1．‎ ‎　‎ 四、（本大题12分）‎ ‎22．（12分）如图，已知AB为⊙O直径，D是的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．‎ ‎（1）求证：直线DE与⊙O相切；‎ ‎（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．‎ ‎　‎ 五、（本大题14分）‎ ‎23．（14分）今年端午前夕，某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，对某小区居民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成图1、图2两幅统计图（尚不完整），请根据统计图解答下列问题：‎ ‎（1）参加抽样调查的居民有多少人？‎ ‎（2）将两幅不完整的统计图补充完整；‎ ‎（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数．‎ ‎（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小韦吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．‎ ‎　‎ 六、（本大题14分）‎ ‎24．（14分）赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛，从起点A驶向终点B，在整个行程中，龙舟离开起点的距离y（米）与时间x（分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：‎ ‎（1）起点A与终点B之间相距多远？‎ ‎（2）哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？‎ ‎（3）分别求甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式；‎ ‎（4）甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200米？‎ ‎　‎ 七、（本大题12分）‎ ‎25．（12分）把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．‎ ‎（1）sin2A1+cos2A1=　 　，sin2A2+cos2A2=　 　，sin2A3+cos2A3=　 　；‎ ‎（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A=　 　；‎ ‎（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：‎ ‎（4）已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，且sinA=，求cosA．‎ ‎　‎ 八、（本大题16分）‎ ‎26．（16分）如图1，抛物线y=ax2+bx+，经过A（1，0）、B（7，0）两点，交y轴于D点，以AB为边在x轴上方作等边△ABC．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，是S△ABM=S△ABC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．‎ ‎①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；‎ ‎②若AF=BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P经过的路径长（不需要写过程）．‎ ‎　‎ ‎2017年贵州省黔西南州中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题4分，共40分）‎ ‎1．（4分）﹣2017的相反数是（　　）‎ A．﹣2017 B．2017 C．﹣ D．‎ ‎【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．‎ ‎【解答】解：﹣2017的相反数是2017，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）在下列四个交通标志图中，是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形的定义解答．‎ ‎【解答】解：“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”，符合这一要求的只有B．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）已知甲、乙两同学1分钟跳绳的平均数相同，若甲同学1分钟跳绳成绩的方差S甲2=0.006，乙同学1分钟跳绳成绩的方差S乙2=0.035，则（　　）‎ A．甲的成绩比乙的成绩更稳定 B．乙的成绩比甲的成绩更稳定 C．甲、乙两人的成绩一样稳定 D．甲、乙两人的成绩稳定性不能比较 ‎【分析】‎ 方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．‎ ‎【解答】解：∵甲、乙两同学1分钟跳绳的平均数相同，若甲同学1分钟跳绳成绩的方差S甲2=0.006，乙同学1分钟跳绳成绩的方差S乙2=0.035，‎ ‎∴S甲2＜S乙2=0.035，‎ ‎∴甲的成绩比乙的成绩更稳定．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．分别分析四种几何体的主视图与左视图，即可求解．‎ ‎【解答】解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；‎ ‎②球的主视图与左视图都是圆；‎ ‎③圆锥主视图与左视图都是三角形；‎ ‎④圆柱的主视图和左视图都是长方形；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）下列各式正确的是（　　）‎ A．（a﹣b）2=﹣（b﹣a）2 B．=x﹣3 C．=a+1 D．x6÷x2=x3‎ ‎【分析】根据完全平分公式、负整数指数幂、同底数幂的除法，即可解答．‎ ‎【解答】解：A、（a﹣b）2=（b﹣a）2，故错误；‎ B、正确；‎ C、不能再化简，故错误；‎ D、x6÷x2=x4，故错误；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）一个不透明的袋中共有20个球，它们除颜色不同外，其余均相同，其中：8个白球，5个黄球，5个绿球，2个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．‎ ‎【解答】解：∵20个球中红球有2个，‎ ‎∴任意摸出一个球是红球的概率是=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，则下列结论中错误的是（　　）‎ A．∠A=∠C B．AD∥BC C．∠A=∠B D．对角线互相平分 ‎【分析】由AB=CD，AB∥CD，推出四边形ABCD是平行四边形，推出∠DAB=∠DCB，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，由此即可判断．‎ ‎【解答】解：如图，∵AB=CD，AB∥CD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠DAB=∠DCB，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，‎ ‎∴选项A、B、D正确，‎ 故选C ‎　‎ ‎8．（4分）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（　　）‎ A．3 B．2.5 C．2 D．1‎ ‎【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．‎ ‎【解答】解：连接OA，‎ 设CD=x，‎ ‎∵OA=OC=5，‎ ‎∴OD=5﹣x，‎ ‎∵OC⊥AB，‎ ‎∴由垂径定理可知：AB=4，‎ 由勾股定理可知：52=42+（5﹣x）2‎ ‎∴x=2，‎ ‎∴CD=2，‎ 故选（C）‎ ‎　‎ ‎9．（4分）如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是（　　）‎ A．71 B．78 C．85 D．89‎ ‎【分析】观察图形可知，第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；…；则第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；‎ 第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；‎ 第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；‎ ‎…；‎ 则第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n，‎ 所以第8个图形共有小正方形的个数为：9×9+8=89．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）如图，点A是反比例函数y=（x＞0）上的一个动点，连接OA，过点O作OB⊥OA，并且使OB=2OA，连接AB，当点A在反比例函数图象上移动时，点B也在某一反比例函数y=图象上移动，则k的值为（　　）‎ A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2‎ ‎【分析】过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，可设A（x，），由条件证得△AOC∽△OBD，从而可表示出B点坐标，则可求得得到关于k的方程，可求得k的值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵点A是反比例函数y=（x＞0）上的一个动点，‎ ‎∴可设A（x，），‎ ‎∴OC=x，AC=，‎ ‎∵OB⊥OA，‎ ‎∴∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠OAC=90°，‎ ‎∴∠BOD=∠OAC，且∠BDO=∠ACO，‎ ‎∴△AOC∽△OBD，‎ ‎∵OB=2OA，‎ ‎∴===，‎ ‎∴OD=2AC=，BD=2OC=2x，‎ ‎∴B（﹣，2x），‎ ‎∵点B反比例函数y=图象上，‎ ‎∴k=﹣•2x=﹣4，‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共30分）‎ ‎11．（3分）计算：（﹣）2=　　．‎ ‎【分析】本题考查有理数的乘方运算，（﹣）2表示2个（﹣）的乘积．‎ ‎【解答】解：（﹣）2=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）人工智能AlphaGo，因在人机大战中大胜韩国围棋手李世石和我国选手柯洁而声名显赫，它具有自我对弈的学习能力，决战前已做了两千万局的训练（等同于一个近千年的训练量）此处“两千万”用科学记数法表示为　2.0×107　（精确到百万位）．‎ ‎【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．‎ ‎【解答】解：“两千万”精确到百万位，用科学记数法表示为2.0×107，‎ 故答案为：2.0×107．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）不等式组的解集是　﹣1＜x≤3　．‎ ‎【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．‎ ‎【解答】解：，‎ 解不等式①得x＞﹣1，‎ 解不等式②得x≤3．‎ 故不等式组的解集为﹣1＜x≤3．‎ 故答案为：﹣1＜x≤3．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）若一组数据3，4，x，6，8的平均数为5，则这组数据的众数是　4　．‎ ‎【分析】先根据平均数的计算方法求出x，然后根据众数的定义求解．‎ ‎【解答】解：根据题意得（3+4+x+6+8）=5×5，‎ 解得x=4，‎ 则这组数据为3，4，4，6，8的平均数为5，‎ 所以这组数据的众数是4．‎ 故答案为4．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）已知关于x的方程x2+2x﹣（m﹣2）=0没有实数根，则m的取值范围是　m＜1　．‎ ‎【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出△=4m﹣4＜‎ ‎0，解之即可得出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣（m﹣2）=0没有实数根，‎ ‎∴△=22+4（m﹣2）=4m﹣4＜0，‎ 解得：m＜1．‎ 故答案为：m＜1．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC=65°，则∠BCD=　25　度．‎ ‎【分析】要求∠BCD的度数，只需根据平行线的性质求得∠B的度数．显然根据三角形的内角和定理就可求解．‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=65°，‎ ‎∴∠ABC=90°﹣∠BAC=90°﹣65°=25°．‎ ‎∵AB∥CD，∠BCD=∠ABC=25°．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）函数y=的自变量x的取值范围是　x≥1　．‎ ‎【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0，‎ 解得x≥1．‎ 故答案为x≥1．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是　15　．‎ ‎【分析】分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．‎ ‎【解答】解：当腰为3时，3+3=6，‎ ‎∴3、3、6不能组成三角形；‎ 当腰为6时，3+6=9＞6，‎ ‎∴3、6、6能组成三角形，‎ 该三角形的周长为=3+6+6=15．‎ 故答案为：15．‎ ‎　‎ ‎19．（3分）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是　　cm．‎ ‎【分析】设EF=FD=x，在RT△AEF中利用勾股定理即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图：‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=BC=CD=AD=6，‎ ‎∵AE=EB=3，EF=FD，设EF=DF=x．则AF=6﹣x，‎ 在RT△AEF中，∵AE2+AF2=EF2，‎ ‎∴32+（6﹣x）2=x2，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴AF=6﹣=cm，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎20．（3分）如图，图中二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）则下列命题中正确的有　①③④　（填序号）‎ ‎①abc＞0；②b2＜4ac；③4a﹣2b+c＞0；④2a+b＞c．‎ ‎【分析】①由抛物线的开口向上、对称轴在y轴右侧、抛物线与y轴交于y轴负半轴，即可得出a＞0、b＜0、c＜0，进而可得出abc＞0，①正确；②由抛物线与x轴有两个不同的交点，可得出△=b2﹣4ac＞0，b2＞4ac，②错误；③由当x=﹣2时y＞0，可得出4a﹣2b+c＞0，③正确；④由抛物线对称轴的大致范围，可得出﹣2a＜b＜0，结合a＞0、c＜0可得出2a+b＞0＞c，④正确．综上即可得出结论．‎ ‎【解答】解：①∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交于y轴负半轴，‎ ‎∴a＞0，﹣＞0，c＜0，‎ ‎∴b＜0，abc＞0，①正确；‎ ‎②∵抛物线与x轴有两个不同交点，‎ ‎∴△=b2﹣4ac＞0，b2＞4ac，②错误；‎ ‎③当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0，③正确；‎ ‎④∵0＜﹣＜1，‎ ‎∴﹣2a＜b＜0，‎ ‎∴2a+b＞0＞c，④正确．‎ 故答案为：①③④．‎ ‎　‎ 三、（本大题12分）‎ ‎21．（12分）（1）计算：+|3﹣|﹣2sin60°+（2017﹣π）0+（）﹣2‎ ‎（2）解方程：+=1．‎ ‎【分析】（1）先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算；‎ ‎（2）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）+|3﹣|﹣2sin60°+（2017﹣π）0+（）﹣2‎ ‎=2+3﹣﹣2×+1+‎ ‎=2+3﹣﹣+1+4‎ ‎=8；‎ ‎（2）+=1‎ 整理得﹣=1‎ ‎1﹣x=x﹣3‎ 解得x=2‎ 经检验：x=2是分式方程的解．‎ ‎　‎ 四、（本大题12分）‎ ‎22．（12分）如图，已知AB为⊙O直径，D是的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．‎ ‎（1）求证：直线DE与⊙O相切；‎ ‎（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．‎ ‎【分析】（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，BC，‎ ‎∵D是弧BC的中点，‎ ‎∴OD垂直平分BC，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴AC⊥BC，‎ ‎∴OD∥AE．‎ ‎∵DE⊥AC，‎ ‎∴OD⊥DE，‎ ‎∵OD为⊙O的半径，‎ ‎∴DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵D是弧BC的中点，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠EAD=∠BAD，‎ ‎∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，‎ ‎∴DE=DG=4，‎ ‎∵DO=5，‎ ‎∴GO=3，‎ ‎∴AG=8，‎ ‎∴tan∠ADG==2，‎ ‎∵BF是⊙O的切线，‎ ‎∴∠ABF=90°，‎ ‎∴DG∥BF，‎ ‎∴tan∠F=tan∠ADG=2．‎ ‎　‎ 五、（本大题14分）‎ ‎23．（14分）今年端午前夕，某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，对某小区居民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成图1、图2两幅统计图（尚不完整），请根据统计图解答下列问题：‎ ‎（1）参加抽样调查的居民有多少人？‎ ‎（2）将两幅不完整的统计图补充完整；‎ ‎（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数．‎ ‎（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小韦吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．‎ ‎【分析】（1）根据条形统计图中的数据求出调查的居民人数即可；‎ ‎（2）根据总人数减去爱吃A、B、D三种粽子的人数可得爱吃C的人数，然后再根据人数计算出百分比即可；‎ ‎（3）求出D占的百分比，乘以8000即可得到结果；‎ ‎（4）画树状图得出所有等可能的情况数，找出他第二个吃到的恰好是C粽的情况数，即可求出所求的概率．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得：180+60+120+240=600（人）；‎ ‎（2）如图所示；‎ ‎（3）根据题意得：40%×8000=3200（人）；‎ ‎（4）如图，‎ 得到所有等可能的情况有12种，其中第二个吃到的恰好是C粽的情况有3种，‎ 则P（C粽）==，‎ 答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是．‎ ‎　‎ 六、（本大题14分）‎ ‎24．（14分）赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛，从起点A驶向终点B，在整个行程中，龙舟离开起点的距离y（米）与时间x（分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：‎ ‎（1）起点A与终点B之间相距多远？‎ ‎（2）哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？‎ ‎（3）分别求甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式；‎ ‎（4）甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200米？‎ ‎【分析】（1）根据函数图象即可得出起点A与终点B之间的距离；‎ ‎（2）根据函数图象即可得出甲龙舟队先出发，乙龙舟队先到达终点；‎ ‎（3）设甲龙舟队的y与x函数关系式为y=kx，把（25，3000）代入，可得甲龙舟队的y与x函数关系式；设乙龙舟队的y与x函数关系式为y=ax+b，把（5，0），（20，3000）代入，可得乙龙舟队的y与x函数关系式；‎ ‎（4）分四种情况进行讨论，根据两支龙舟队相距200米分别列方程求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由图可得，起点A与终点B之间相距3000米；‎ ‎（2）由图可得，甲龙舟队先出发，乙龙舟队先到达终点；‎ ‎（3）设甲龙舟队的y与x函数关系式为y=kx，‎ 把（25，3000）代入，可得3000=25k，‎ 解得k=120，‎ ‎∴甲龙舟队的y与x函数关系式为y=120x（0≤x≤25），‎ 设乙龙舟队的y与x函数关系式为y=ax+b，‎ 把（5，0），（20，3000）代入，可得 ‎，‎ 解得，‎ ‎∴乙龙舟队的y与x函数关系式为y=200x﹣1000（5≤x≤20）；‎ ‎（4）令120x=200x﹣1000，可得x=12.5，‎ 即当x=12.5时，两龙舟队相遇，‎ 当x＜5时，令120x=200，则x=（符合题意）；‎ 当5≤x＜12.5时，令120x﹣（200x﹣1000）=200，则x=10（符合题意）；‎ 当12.5＜x≤20时，令200x﹣1000﹣120x=200，则x=15（符合题意）；‎ 当20＜x≤25时，令3000﹣120x=200，则x=（符合题意）；‎ 综上所述，甲龙舟队出发或10或15或分钟时，两支龙舟队相距200米 ‎　‎ 七、（本大题12分）‎ ‎25．（12分）把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．‎ ‎（1）sin2A1+cos2A1=　1　，sin2A2+cos2A2=　1　，sin2A3+cos2A3=　1　；‎ ‎（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A=　1　；‎ ‎（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：‎ ‎（4）已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，且sinA=，求cosA．‎ ‎【分析】（1）根据正弦函数和余弦函数的定义分别计算可得；‎ ‎（2）由（1）中的结论可猜想sin2A+cos2A=1；‎ ‎（3）由sinA=、cosA=且a2+b2=c2知sin2A+cos2A=（）2+（）2===1；‎ ‎（4）根据直角三角形中sin2A+cos2A=1知（）2+cosA2=1，据此可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）sin2A1+cos2A1=（）2+（）2=+=1，‎ sin2A2+cos2A2=（）2+（）2=+=1，‎ sin2A3+cos2A3=（）2+（）2=+=1，‎ 故答案为：1、1、1；‎ ‎（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A=1，‎ 故答案为：1；‎ ‎（3）在图2中，∵sinA=，cosA=，且a2+b2=c2，‎ 则sin2A+cos2A=（）2+（）2=+===1，‎ 即sin2A+cos2A=1；‎ ‎（4）在△ABC中，∠A+∠B=90°，‎ ‎∴∠C=90°，‎ ‎∵sin2A+cos2A=1，‎ ‎∴（）2+cosA2=1，‎ 解得：cosA=或cosA=﹣（舍），‎ ‎∴cosA=．‎ ‎　‎ 八、（本大题16分）‎ ‎26．（16分）如图1，抛物线y=ax2+bx+，经过A（1，0）、B（7，0）两点，交y轴于D点，以AB为边在x轴上方作等边△ABC．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，是S△ABM=S△ABC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．‎ ‎①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；‎ ‎②若AF=BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P经过的路径长（不需要写过程）．‎ ‎【分析】（1）将点A（1，0），B（7，0）代入抛物线的解析式得到关于a、b方程组，解关于a、b的方程组求得a、b的值即可；‎ ‎（2）过点C作CK⊥x轴，垂足为K．依据等边三角形的性质可求得CK=3，然后依据三角形的面积公式结合已知条件可求得S△ABM的面积，设M（a，a2﹣2a+），然后依据三角形的面积公式可得到关于a的方程，从而可得到点M的坐标；‎ ‎（3）①首先证明△BEC≌△AFB，依据全等三角形的性质可知：AF=BE，∠CBE=∠BAF，然后通过等量代换可得到∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°，最后依据三角形的内角和定理可求得∠APB；‎ ‎②当AE≠BF时，由①可知点P在以AB为直径的圆上，过点M作ME⊥AB，垂足为E．先求得⊙M的半径，然后依据弧长公式可求得点P运动的路径；当AE=BF时，点P在AB的垂直平分线上时，过点C作CK⊥AB，则点P运动的路径=CK的长．‎ ‎【解答】解：（1）将点A（1，0），B（7，0）代入抛物线的解析式得：，‎ 解得：a=，b=﹣2．‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+．‎ ‎（2）存在点M，使得S△ABM=S△ABC．‎ 理由：如图所示：过点C作CK⊥x轴，垂足为K．‎ ‎∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°．‎ ‎∵CK⊥AB，‎ ‎∴KA=BK=3，∠ACK=30°．‎ ‎∴CK=3．‎ ‎∴S△ABC=AB•CK=×6×3=9．‎ ‎∴S△ABM=×9=12．‎ 设M（a，a2﹣2a+）．‎ ‎∴AB•|y|=12，即×6×（a2﹣2a+）=12，‎ 解得：a1=9，a2=﹣1．‎ ‎∴点M的坐标为（9，4）或（﹣1，4）．‎ ‎（3）①结论：AF=BE，∠APB=120°．‎ ‎∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴BC=AB，∠C=∠ABF．‎ ‎∵在△BEC和△AFB中，‎ ‎∴△BEC≌△AFB．‎ ‎∴AF=BE，∠CBE=∠BAF．‎ ‎∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°．‎ ‎∴∠APB=180°﹣60°=120°．‎ ‎②当AE≠BF时，由①‎ 可知点P在以M为圆心，在以AB为弦的圆上，过点M作MK⊥AB，垂足为k．‎ ‎∵∠APB=120°，‎ ‎∴∠N=60°．‎ ‎∴∠AMB=120°．‎ 又∵MK⊥AB，垂足为K，‎ ‎∴AK=BK=3，∠AMK=60°．‎ ‎∴AK=2．‎ ‎∴点P运动的路径==．‎ 当AE=BF时，点P在AB的垂直平分线上时，如图所示：过点C作CK⊥AB，则点P运动的路径=CK的长．‎ ‎∵AC=6，∠CAK=60°，‎ ‎∴KC=3．‎ ‎∴点P运动的路径为3．‎ 综上所述，点P运动的路径为3或．‎ ‎　‎