2020年高中数学 第一讲绝对不等式的解法

2020年高中数学 第一讲绝对不等式的解法

‎1.2.2‎‎ 绝对不等式的解法 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．不等式＞的解集是(　　)‎ A．(0，2)　　　　　　 B．(－∞，0)‎ C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)‎ 解析：由绝对值的意义知，＞等价于＜0，‎ 即x(x－2)＜0，解得0＜x＜2.‎ 答案：A ‎2．不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是(　　)‎ A．(－∞，4) B．(－∞，1)‎ C．(1，4) D．(1，5)‎ 解析：法一：当x＜1时，原不等式化为1－x－(5－x)＜2即－4＜2，不等式恒成立；当1≤x＜5时，原不等式即x－1－(5－x)＜2，解得x＜4；当x≥5时，原不等式化为x－1－(x－5)＜2即4＜2，显然不成立，综上可得不等式的解集为(－∞，4)．‎ 法二：由绝对值的几何意义可得数轴上的点x到1，5两点(距离为4)的距离之差小于2的点满足x＜4，所求不等式的解集为(－∞，4)．‎ 答案：A ‎3．(2017·天津卷)设θ∈R，则“＜”是“sin θ＜”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为＜，所以－＜θ－＜，‎ 即0＜θ＜.‎ 显然0＜θ＜时，sin θ＜成立．‎ 5‎ 但sin θ＜时，由周期函数的性质知0＜θ＜不一定成立．‎ 故<是sin θ＜的充分而不必要条件．‎ 故选A.‎ 答案：A ‎4．若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1，2)，则实数a的取值为(　　)‎ A．8 B．2‎ C．－4 D．－8‎ 解析：原不等式化为－6＜ax＋2＜6，即－8＜ax＜4.‎ 又因为－1＜x＜2，所以验证选项易知a＝－4适合．‎ 答案：C ‎5．当|x－2|＜a时，不等式|x2－4|＜1成立，则正数a的取值范围是(　　)‎ A．a＞－2 B．0＜a≤－2‎ C．a≥－2 D．以上都不正确 解析：由|x－2|＜a，得－a＋2＜x＜a＋2，‎ 由|x2－4|＜1，得＜x＜或－＜x＜－.‎ 所以即0＜a≤－2，‎ 或无解．‎ 答案：B 二、填空题 ‎6．不等式|2x－1|＋x＞1的解集是________．‎ 解析：法一　把|2x－1|＋x＞1移项，得|2x－1|＞1－x，把此不等式看作|f(x)|＞g(x)的形式得2x－1＞1－x或2x－1＜－(1－x)，‎ 所以x＞或x＜0，故解集为.‎ 法二　用分类讨论的方法去掉绝对值符号．‎ 当x＞时， 2x－1＋x＞1，所以x＞；‎ 当x≤时，1－2x＋x＞1，所以x＜0.‎ 综上得原不等式的解集为.‎ 答案： 5‎ ‎7．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：当a＜0时，显然成立；‎ 因为|x＋1|＋|x－3|的最小值为4，所以a＋≤4.所以a＝2，‎ 综上可知a∈(－∞，0)∪{2}．‎ 答案：(－∞，0)∪{2}‎ ‎8．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|＜a的解集是∅，则a的取值范围是________．‎ 解析：|x＋2|＋|x－1|≥|(x＋2)－(x－1)|＝3，所以a＜3.‎ 答案：a＜3‎ 三、解答题 ‎9．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.‎ ‎(1)解不等式f(x)＞2；‎ ‎(2)求函数y＝f(x)的最小值.‎ 解：(1)由f(x)＝|2x＋1|－|x－4|，‎ 得f(x)＝ 作出函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|的图象(图象略)，这与直线y＝2的交点为(－7，2)和.‎ 所以|2x＋1|－|x－4|＞2的解集为(－∞，－7)∪.‎ ‎(2)由y＝|2x＋1|－|x－4|的图象(图略)可知，‎ 当x＝－时，y＝|2x＋1|－|x－4|取得最小值－.‎ ‎10．(2016·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；‎ ‎(2)设g(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.‎ 解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.‎ 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．‎ ‎(2)当x∈R时，‎ f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|2x－1|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.‎ 5‎ 所以f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①‎ 当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解；‎ 当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.‎ 所以a的取值范围是[2，＋∞)．‎ B级　能力提升 ‎1．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)‎ B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)‎ C．[1，2]‎ D．(－∞，1]∪[2，＋∞)‎ 解析：由绝对值的几何意义得|x＋3|－|x－1|的最大值为4，所以a2－3a≥4恒成立，即a≥4或a≤－1.‎ 答案：A ‎2．若关于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．‎ 解析：作出y＝|x＋1|与y＝kx的图象，如图，当k＜0时，直线一定经过第二、第四象限，从图看出明显不恒成立；当k＝0时，直线为x轴，符合题意；当k＞0时，要使|x＋1|≥kx恒成立，只需 k≤1.‎ 综上可知，实数k的取值范围为[0，1]．‎ 答案：[0，1]‎ ‎3．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.‎ ‎(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝－3时，f(x)≥3⇔|x－3|＋|x－2|≥3‎ ‎⇔或 或 ‎⇔x≤1或x∈∅或x≥4.‎ 故不等式解集为{x|x≤1或x≥4}．‎ ‎(2)原命题⇔f(x)≤|x－4|在[1，2]上恒成立⇔|x＋a|＋2－x≤4－x在[1，2]上恒成立⇔－2－x≤a≤2－x在[1，2]上恒成立⇔－3≤a≤0.‎ 5‎ 故a的取值范围是[－3，0]．‎ 5‎