2020高中数学 第三章函数的最大(小)值与导数

2020高中数学 第三章函数的最大(小)值与导数

‎3.3.3　‎函数的最大(小)值与导数 学习目标：1.能够区分极值与最值两个不同的概念．(易混点)2.掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法．(重点)3.能根据函数的最值求参数的值．(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．函数f(x)在区间[a，b]上的最值 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．‎ 思考：若函数f(x)在区间[a，b]上只有一个极大值点x0，则f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值吗？‎ ‎[提示]　根据极大值和最大值的定义知，f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值．‎ ‎2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤 ‎(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)函数的最大值一定是函数的极大值． (　　)‎ ‎(2)开区间上的单调连续函数无最值． (　　)‎ ‎(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．‎ ‎ (　　)‎ ‎(4)函数f(x)＝在区间[－1,1]上有最值． (　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是(　　)‎ A．－2　　　B．‎0　‎　　C．2　　　D．4‎ C　[f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.‎ 由f(－1)＝－2，f(0)＝2，f(1)＝0得f(x)max＝f(0)＝2.]‎ ‎3．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是(　　)‎ ‎ 【导学号：97792160】‎ A．π－1　　　B.－‎1　‎　　C．π　　　D．π＋1‎ 8‎ C　[y′＝1－cos x>0，故函数y＝x－sin x，x∈是增函数，因此当x＝π时，函数有最大值，且ymax＝π－sin π＝π.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 求函数的最值 ‎　求下列各函数的最值．‎ ‎(1)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5，x∈[－2,1]；‎ ‎(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．‎ ‎[解]　(1)f′(x)＝6x2－6x－12，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝2，‎ 又x∈[－2,1]，故x＝－1，且f(－1)＝12.‎ 又因为f(－2)＝1，f(1)＝－8，‎ 所以，当x＝－1时，f(x)取最大值12.‎ 当x＝1时，f(x)取最小值－8.‎ ‎(2)∵f(x)＝3ex－exx2，‎ ‎∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)‎ ‎＝－ex(x2＋2x－3)‎ ‎＝－ex(x＋3)(x－1)．‎ ‎∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0，‎ 即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，‎ ‎∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；‎ x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.‎ ‎[规律方法]　求函数在闭区间上最值的步骤 第一步　求f′(x)，解方程f′(x)＝0‎ 第二步　确定在闭区间上方程f′(x)＝0的根 第三步　求极值、端点值，确定最值．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．求下列各函数的最值．‎ ‎(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－，3]；‎ ‎(2)f(x)＝x2－(x＜0)．‎ ‎[解]　(1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)．‎ 令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ 8‎ x ‎－ ‎(－，‎ ‎－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1，‎ ‎1)‎ ‎1‎ ‎(1,3)‎ ‎3‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎－18‎ 所以x＝1和x＝－1是函数在[－，3]上的两个极值点，且f(1)＝2，f(－1)＝－2.‎ 又因为f(x)在区间端点处的取值为f(－)＝0，f(3)＝－18，‎ 所以f(x)max＝2，f(x)min＝－18.‎ ‎(2)f′(x)＝2x＋.‎ 令f′(x)＝0，得x＝－3.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－3)‎ ‎－3‎ ‎(－3,0)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以x＝－3时，f(x)取得极小值，也就是最小值，‎ 故f(x)的最小值为f(－3)＝27，无最大值.‎ 含参数的函数的最值问题 ‎　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值. ‎ ‎【导学号：97792161】‎ ‎[思路探究]　求导→讨论a的正负→判断[0,2]上的单调性→得最值．‎ ‎[解]　f′(x)＝3x2－2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.‎ 当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，‎ 从而f(x)max＝f(2)＝8－‎4a.‎ 当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，‎ 从而f(x)max＝f(0)＝0.‎ 当0＜＜2，即0＜a＜3时，‎ f(x)在上单调递减，在上单调递增，‎ 从而f(x)max＝ 综上所述，f(x)max＝ ‎[规律方法]　1.含参数的函数最值问题的两类情况 8‎ ‎(1)能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题．‎ ‎(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．‎ ‎2．已知函数最值求参数值(范围)的思路 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．‎ ‎[解]　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．‎ ‎(1)当a>0时，且x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎－1‎ ‎(－1,0)‎ ‎0‎ ‎(0,2)‎ ‎2‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ ‎－‎7a＋b ↗‎ b ‎↘‎ ‎－‎16a＋b 由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.‎ 又f(－1)＝－‎7a＋3，f(2)＝－‎16a＋3f(－1)，‎ ‎∴f(2)＝－‎16a－29＝3，解得a＝－2.‎ 综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.‎ 与最值有关的恒成立问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．比较两个函数式的大小，常用什么方法？‎ 提示：常用差比较法．‎ ‎2．函数最值和“恒成立”问题有什么联系？‎ 提示：解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题．如f(x)＞0恒成立，只要f(x 8‎ ‎)的最小值大于0即可．对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数．‎ ‎　设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．‎ ‎(1)求g(x)的单调区间和最小值；‎ ‎(2)讨论g(x)与g的大小关系；‎ ‎(3)求a的取值范围，使g(a)－g(x)<对任意x>0成立．‎ ‎[思路探究]　(1)求出g(x)的表达式是解题的关键；(2)构造辅助函数，结合单调性求解；(3)显然g(x)的最值决定了参数a的取值范围。‎ ‎[解]　(1)由题设知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，‎ 所以g(x)＝ln x＋ 所以g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝1，‎ 当x∈(0,1)时，g′(x)<0，‎ 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，‎ 故g(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，‎ 所以g(x)的最小值为g(1)＝1.‎ ‎(2)g＝－ln x＋x，‎ 设h(x)＝g(x)－g＝2ln x－x＋，‎ 则h′(x)＝－.‎ 当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g；‎ 当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)<0，h′(1)＝0，‎ 因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减．‎ 当0h(1)＝0，即g(x)>g；‎ 当x>1时，h(x)0成立，‎ 即ln a0成立．‎ 由(1)知，g(x)的最小值为1，‎ 8‎ 所以ln a<1，解得00，‎ 当x>e时，y′<0.‎ 因此当x＝e时，函数y＝有最大值，且ymax＝＝e－1.]‎ ‎2．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M，N，则M－N的值为(　　)‎ A．2　　　　B．‎4　‎　　　C．18　　　　D．20‎ 8‎ D　[f′(x)＝3x2－3，‎ 令f′(x)＝0得x＝±1.‎ 当0≤x<1时，f′(x)<0；‎ 当10.‎ 则f(1)最小，又f(0)＝－a，f(3)＝18－a，‎ f(3)>f(0)，所以最大值为f(3)，即M＝f(3)，‎ N＝f(1)⇒M－N＝f(3)－f(1)‎ ‎＝(18－a)－(－2－a)＝20.]‎ ‎3．函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是__________．‎ ＋　[y′＝1－2sin x＝0，解得x＝，比较0，，处的函数值，得ymax＝＋.]‎ ‎4．函数f(x)＝x3－x2－2x＋5，对任意x∈[1,2]都有f(x)>m，则实数m的取值范围是__________．‎ 　[由题意知只要f(x)min>m即可，‎ 由f′(x)＝3x2－x－2＝0，‎ 得x＝－(舍去)或x＝1，‎ 易知f(x)min＝f(1)＝，所以m<.]‎ ‎5．已知函数f(x)＝＋ln x，求f(x)在上的最大值和最小值. ‎ ‎【导学号：97792163】‎ ‎[解]　f′(x)＝＋＝.‎ 由f′(x)＝0，得x＝1.‎ ‎∴在上，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎1‎ ‎(1,2)‎ ‎2‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎1－ln 2‎ ‎↘‎ 极小值0‎ ‎↗‎ ‎－＋ln 2‎ ‎∵f－f(2)＝－2ln 2＝(ln e3－ln 16)，‎ 8‎ 而e3＞16，∴f＞f(2)＞0.‎ ‎∴f(x)在上的最大值为f＝1－ln 2，最小值为0.‎ 8‎