2020年高中数学第二章推理与证明2

2020年高中数学第二章推理与证明2

‎2.3 数学归纳法 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0 等于(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．0‎ 解析：边数最少的凸n边形是三角形．‎ 答案：C ‎2．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋‎1”‎左边需增乘的代数式为(　　)‎ A．2k＋1 B．2(2k＋1)‎ C. D. 解析：当n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)，当n＝k＋1时，‎ 左边＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(k＋1＋k)(2k＋2)‎ ‎＝(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)(2k＋1)×2，‎ 故需增乘的代数式为2(2k＋1)．‎ 答案：B ‎3．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　　)‎ A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2‎ 解析：增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.‎ 答案：C ‎4．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为(　　)‎ A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)‎ B．34·34k＋1＋52·52k C．34k＋1＋52k＋1‎ D．25(34k＋1＋52k＋1)‎ 解析：34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋1＋25×52k＋1‎ ‎＝56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．‎ 7‎ 答案：A ‎5．已知f(n)＝＋＋＋＋…＋，则(　　)‎ A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋ C．f(n)中共有n2－n＋2项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋ D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋ 解析：由条件可知，f(n)共有项数为n2－(n－1)＋1＝n2－n＋2项，且n＝2时，‎ f(2)＝＋＋＋.故选C.‎ 答案：C ‎6．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和为f(k＋1)＝f(k)＋________.‎ 解析：将k＋1边形A‎1A2…AkAk＋1的顶点A1与Ak相连，则原多边形被分割为k边形A‎1A2…Ak与三角形A1AkAk＋1，其内角和f(k＋1)是k边形的内角和f(k)与△A1AkAk＋1的内角和π的和，即f(k＋1)＝f(k)＋π.‎ 答案：π ‎7．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳猜想得出an的表达式为________．‎ 解析：∵a1＝2，an＋1＝，‎ ‎∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，‎ 于是猜想an＝.‎ 答案：an＝(n∈N*)‎ ‎8．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．‎ ‎(1)计算a2，a3，a4；‎ ‎(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．‎ 解析：(1)a1＝1，a2＝＝，‎ a3＝＝，a4＝＝.‎ 7‎ ‎(2)由(1)的计算猜想：an＝.‎ 下面用数学归纳法进行证明：‎ ‎①当n＝1时，a1＝1，等式成立．‎ ‎②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即ak＝，‎ 那么，ak＋1＝＝＝，‎ 即当n＝k＋1时等式也成立．‎ 由①②可知，对任意n∈N*都有an＝.‎ ‎9．用数学归纳法证明： ＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)．‎ 证明：(1)当n＝2时，左边＝＝，‎ 右边＝1－＝.‎ 因为<，所以不等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，‎ 即＋＋＋…＋<1－，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ＋＋＋…＋＋<1－＋ ‎＝1－ ‎＝1－<1－ ‎＝1－.‎ 所以当n＝k＋1时，不等式也成立．‎ 综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为(　　)‎ A．30 B．26‎ C．9 D．6‎ 7‎ 解析：因为f(1)＝36＝4×9，f(2)＝108＝12×9，f(3)＝360＝40×9，所以f(1)，f(2)，f(3)都被9整除，推测最大的m值为9.‎ 答案：C ‎2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是(　　)‎ A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)n2＝1，‎ 当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，‎ 当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，‎ 当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，‎ 由此可以猜想，‎ ‎2n＋2>n2(n∈N*)成立．‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎(1)当n＝1时，‎ 左边＝21＋2＝4，右边＝1，‎ 所以左边>右边，‎ 所以原不等式成立．‎ 当n＝2时，左边＝22＋2＝6，‎ 右边＝22＝4，所以左边>右边；‎ 当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，‎ 所以左边>右边．‎ 不等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥3，且k∈N*)时，不等式成立，‎ 即2k＋2>k2，那么当n＝k＋1时，‎ ‎2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2.‎ 又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3‎ ‎＝(k－3)(k＋1)≥0，‎ 即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．‎ 原不等式成立．‎ 根据(1)和(2)知，原不等式对于任何n∈N*都成立．‎ ‎6．已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－bn.‎ ‎(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较与Sn＋1的大小，并说明理由．‎ 解析：(1)由已知得 因为{an}的公差大于0，所以a5>a2，‎ 7‎ 所以a2＝3，a5＝9.‎ 所以d＝＝＝2，a1＝1，即an＝2n－1.‎ 因为Tn＝1－bn，所以b1＝.‎ 当n≥2时，Tn－1＝1－bn－1，‎ 所以bn＝Tn－Tn－1＝1－bn－(1－bn－1)，‎ 化简得bn＝bn－1.‎ 所以{bn}是首项为，公比为的等比数列，‎ 即bn＝·()n－1＝.‎ 所以an＝2n－1，bn＝.‎ ‎(2)因为Sn＝×n＝n2，‎ 所以Sn＋1＝(n＋1)2，＝.‎ 下面比较与Sn＋1的大小：‎ 当n＝1时，＝，S2＝4，所以S5，‎ 猜想：n≥4时，>Sn＋1.‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝4时，已证．‎ ‎②假设当n＝k(k∈N*，k≥4)时>Sk＋1，‎ 即>(k＋1)2，‎ 那么，＝＝3·>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3‎ 7‎ ‎＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2‎ ‎＝S(k＋1)＋1，‎ 所以当n＝k＋1时，>Sn＋1也成立．‎ 由①②可知，对任何n∈N*，n≥4，>Sn＋1都成立．‎ 综上所述，当n＝1,2,3时，Sn＋1.‎ 7‎