【数学】2020届一轮复习（文理合用）选修4-5第2讲不等式的证明与柯西不等式作业
对应学生用书[练案83理][练案72文]
第二讲 不等式的证明与柯西不等式
1．(2019·大连模拟)(1)求不等式|x－5|－|2x＋3|≥1的解集；
(2)若正实数a，b满足a＋b＝，求证：＋≤1.
[解析] (1)当x≤－时，－x＋5＋2x＋3≥1，解得x≥－7，
∴－7≤x≤－；
当－
0，b>0，函数f(x)＝|2x＋a|＋2|x－|＋1的最小值为2.
(1)求a＋b的值；
(2)求证：a＋log3(＋)≥3－b.
[解析] (1)因为f(x)＝|2x＋a|＋|2x－b|＋1≥|2x＋a－(2x－b)|＋1＝|a＋b|＋1，
当且仅当(2x＋a)(2x－b)≤0时，等号成立，
又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，
所以f(x)的最小值为a＋b＋1＝2，所以a＋b＝1.
(2)由(1)知，a＋b＝1，
所以＋＝(a＋b)(＋)＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝且a＋b＝1，即a＝，b＝时取等号．
所以log3(＋)≥log39＝2，
所以a＋b＋log3(＋)≥1＋2＝3，即a＋log3(＋)≥3－b.
7．(2019·衡水质检)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋1|.
(1)若不等式f(x)≥a2－2a－1恒成立，求实数a的取值范围；
(2)设m>0，n>0，且m＋n＝1，求证：＋≤2.
[解析] (1)解法一：依题意，f(x)＝
∴f(x)min＝2.
∵不等式f(x)≥a2－2a－1恒成立．
∴a2－2a－3≤0，解得－1≤a≤3，
∴实数a的取值范围是[－1,3]．
解法二：∵f(x)＝|2x－1|＋|2x＋1|≥|(2x－1)－(2x＋1)|＝2，∴f(x)min＝2.
∵不等式f(x)≥a2－2a－1恒成立，∴a2－2a－3≤0，解得－1≤a≤3，∴实数a的取值范围是[－1,3]．
(2)由(1)知f(x)≥2，∴2≥2.
∵(＋)2＝2(m＋n)＋2＋2≤4.
(2m＋1)＋(2n＋1)＝8，当且仅当m＝n＝时等号成立，
∴＋≤2，
∴＋≤2.
8．(2019·南昌模拟)已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.
(1)求a＋b＋c的值；
(2)求a2＋b2＋c2的最小值．
[解析] (1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c
≥|(x＋a)－(x－b)|＋c
＝|a＋b|＋c，
当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．
又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，
所以f(x)的最小值为a＋b＋c.
又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.
(2)由(1)，知a＋b＋c＝4，由柯西不等式，得
(a2＋b2＋c2)(4＋9＋1)
≥(×2＋×3＋c×1)2＝(a＋b＋c)2＝16
当且仅当＝＝，
即a＝，b＝，c＝时等号成立．
故a2＋b2＋c2的最小值为.
