数学冀教版九年级上册教案25-6相似三角形的应用

数学冀教版九年级上册教案25-6相似三角形的应用

- 1 - 25.6 相似三角形的应用 教学目标 【知识与能力】 1.经历对实际问题的探索,会利用相似三角形的性质测量物体的高度或距离. 2.在具体情境中建立数学模型,并综合运用数学知识解决简单实际问题. 【过程与方法】 1.通过利用相似三角形解决一些生活实际问题,发展数学应用意识. 2.通过把实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际 问题的能力. 3.在与他人合作和交流过程中,能较好地理解他人的思考方法和结论,提高合作意识. 【情感态度价值观】 1.在运用数学表述和解决问题的过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数 学的价值. 2.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,提高分析问题、解决问题的能力. 3.积极参与课堂活动,在活动中使学生积累经验,激发学生学习数学的热情与兴趣. 教学重难点 【教学重点】 利用相似三角形的性质解决测量问题. 【教学难点】 将实际问题建立成数学模型,应用数学知识解决问题. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 复习提问: 1.什么是相似三角形及相似比? 2.判定三角形相似的方法有哪些? 3.相似三角形的性质是什么? 【师生活动】 学生回答问题,教师点评. 导入二: 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的 4 个斜面 正对东南西北四个方向,塔基呈正方形,每边长约为 230 多米.据考证,为建成大金字塔,共动 用了 10 万人花了 20 年时间.原高 146.59 米,但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀, 所以高度有所降低. - 2 - 在古希腊,有一位伟大的数学家叫泰勒斯.一天,希腊国王阿马西斯对他说:“听说你什么都知 道,那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧”.这在当时条件下是个大难题,因为是很难爬到 塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗? 【师生活动】 学生欣赏金字塔图片,大胆联想泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的.初步了解 本节课内容.教师展示图片,通过泰勒斯测量金字塔的高度问题引入课题. [设计意图] 通过复习旧知识,以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系,借助古代难题, 引出新课,激发学生的好奇心和求知欲,感受数学应用的意义. 二、新知构建： [过渡语] 相似三角形的知识有着广泛的应用,在测量高度或距离方面的作用尤为突出. 今天我们一起探究如何用相似三角形解决生活中的测量问题. 例题讲解 【课件展示】 (教材 88 页例 1)如图所示,有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的,往往 需要使用交叉卡钳进行测量.图中所示为一个零件的剖面图,它的外径为 a,内径 AB 未知.现 用交叉卡钳去测量,若 T = = 1 ,CD=b,则这个零件的内径为多少,零件的壁厚 x 又是多 少?(用含 a,b,m 的代数式表示) 思路一 教师引导分析: 1.通过阅读题目,将实际问题可以转化为什么数学问题? 在ΔOAB 和ΔOCD 中, T = = 1 ,CD=b,求 AB 和 x 2.由已知 T = = 1 ,能得到两个三角形相似吗? (根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得ΔOCD 和ΔOAB 相似) 3.根据三角形相似,能得到和内径 AB 有关的比例式吗? T = = 1 4.根据以上比例式,能否求出内径 AB 的长?根据图形能否求出壁厚 x 的值? 【师生活动】 学生在教师提出的问题的引导下思考回答,独立完成解答过程,学生代表板书, 教师点评,并规范解题格式. (板书) 解:∵ T = = 1 ,∠COD=∠AOB, - 3 - ∴ΔCDO∽ΔABO. ∴ T = 1 . 又∵CD=b, ∴AB=mb,x= - 2 . 即这个零件的内径为 mb,壁厚为 - 2 . 思路二 教师引导学生将实际问题转化为数学问题: 在ΔOAB 和ΔOCD 中, T = = 1 ,CD=b,求 AB 和 x. 【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,共同探究解题思路,教师在巡视过程中帮助 有困难的学生,学生代表板书解题过程,教师点评,并规范解题格式. (板书) 同思路一. [设计意图] 在教师提出的问题的引导下,将实际问题转化为数学问题,体会应用相似三角 形的判定和性质解决不能直接测量的物体的宽度,提高学生分析问题、解决问题的能力及数 学应用意识,培养严谨的解题能力. 一起探究 测量旗杆的高度 [过渡语] 由相似三角形的判定和性质,我们可以测量零件的内径,同样利用相似三角 形的性质,我们可以测量旗杆的高度. 探究一: 【课件展示】 如图所示,在学校操场上,高高耸立的旗杆上悬挂着五星红旗.你一定想知道 学校操场上旗杆的高度,那么怎样测量和计算旗杆的高呢?请你设计一个测量高度的方案,说 明理由. 【师生活动】 给学生足够的时间,让学生小组讨论解决方法,画出图形,设计测量方案,小组 代表根据图形叙述测量的方法思路,教师恰当地引导,并对方案进行评价,师生共同归纳测量 的方法. 1.升降旗上有绳子,测量升降旗上的绳子长度算出旗杆的高度. 2.根据太阳光线平行,光线与地面所成的夹角相等,所以在同一时刻测出旗杆和标杆的影长, 根据相似三角形的性质求出旗杆的高度. 3.在旗杆和人之间水平放一面平面镜,移动平面镜的位置,使人在平面镜中能看到旗杆顶端, 根据入射角等于反射角,利用相似三角形求出旗杆的高度. 4.将视点、标杆顶端、旗杆顶端置于同一直线上,测出视点与标杆及旗杆底部的距离及标杆 高度,利用相似三角形求出旗杆的高. …… 用相似三角形可以求旗杆的高度,常用的方法有: 【课件展示图形】 1.同一时刻物高、影长及太阳光构成直角三角形. - 4 - 2.利用平面镜构造直角三角形. 3.观察者视线与标杆顶端、旗杆顶端在同一条直线上. 探究二: 【课件展示】 思考下面“大刚设计的方案”是否可行.如果可行,请说明其中的道理.若标杆 CD=2 m,标杆 影子 BD=3 m,旗杆影子 BO=12 m,求旗杆的高. 大刚设计的方案 如图所示,在阳光下的某一时刻,将一根标杆 CD 竖立在旗杆影子上,使标杆的影子 BD 落在旗 杆影子 BO 上,且它们影子的顶端重合.这时,量一量 CD,BD,BO 的长,可得旗杆 AO 的长为 AO= T · . 【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,共同探究大刚设计的方案的可行性,教师巡 视中帮助有困难的学生,学生独立完成求旗杆的高度,并展示解答过程,教师评价并规范解题 - 5 - 格式. 【课件展示】 解:由题意可得∠BDC=∠O=90°, ∴CD∥AO, ∴ΔBCD∽ΔBAO, ∴ T = , ∴ 2 = 3 12 , ∴AO=8. ∴旗杆 AO 的高为 8 m. [设计意图] 解决生活实际问题——求旗杆的高度,培养学生多角度思考问题,给学生足够 的时间和空间,通过小组合作交流,思考测旗杆高度的多种方法,激发学生的创造性思维,通 过评价大刚设计的方案,学生在教师的引导下进行分析、探究,建立相似三角形模型,由相似 三角形的性质求解,提高学生应用数学知识解决实际问题的能力. 做一做 [过渡语] 我们用多种方法可以求操场上旗杆的高度,那么我们能不能用相似三角形的 性质解决其他实际问题呢? 【课件展示】 1.如图所示,这是大家都做过的“小孔成像”实验示意图.已知蜡烛与光屏之间的距离为 l. 具有“小孔”的纸板放在什么位置时,蜡烛火焰的高度 AB 是它的像 B'A'的高度的一半? 【师生活动】 学生独立完成解答后,小组内交流答案,教师对学生的展示点评,规范解题格 式,归纳用相似三角形解决实际问题的思路. 2.(导入二问题)据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理,在金字 塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度. 如图所示,木杆 EF 长为 2 m,它的影长 FD 长为 4 m,测得 OA 长为 274 m,求金字塔的高度 BO. 教师引导分析: (1)图中存在相似三角形吗? (由太阳光线平行得∠BAO=∠EDF,又∠AOB=∠DFE=90°,得ΔBAO∽ΔEDF) (2)如何测得 OA 的长? (ΔAMN 是等腰三角形,金字塔底面是正方形,则 OA 等于这个等腰三角形的高与金字塔底面边 - 6 - 长的一半的和) (3)写出你的证明过程. 【师生活动】 学生在教师的引导下分析回答,独立完成证明过程,学生板书,教师点评. 解:太阳光是平行光线,因此∠BAO=∠EDF. 又∠AOB=∠DFE=90°, ∴ΔABO∽ΔDEF. ∴ = . ∴BO= · = 274 × 2 4 =137(m). 因此金字塔的高度为 137 m. [设计意图] 通过解决不能直接测量的物体的高度问题,让学生在解决实际问题的过程中学 会建立数学模型,通过建模培养学生的归纳能力.在教师的引导下学生通过自主学习和合作 交流相结合,进一步加深对相似三角形的应用意识,培养学生分析问题、解决问题的能力和发 散思维能力. [知识拓展] 利用相似三角形进行测量的一般步骤: (1)利用平行线、标杆等构成相似三角形; (2)测量与表示未知量的线段相对应的线段的长,以及另外任意一组对应边的长度; (3)画出示意图,利用相似三角形的性质,列出以上包括未知量在内的四个量的比例式,解出 未知量; (4)检验并得出答案. 三、课堂小结： 本节课我们学习应用相似三角形的性质测量计算物体的高度,根据题意画出图形,建立数学 模型,利用平行、垂直等构造相似三角形,要分清图中哪两个三角形相似,利用相似三角形的 对应边成比例进行计算.