高考文科数学解析几何练习题+导数训练题+经典过关试题附答案+模拟试卷
高考文科数学解析几何练习题
+导数训练题+经典过关试题附答案+模拟试卷
解析几何单元易错题练习(附参考答案)
一．考试内容：
椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.
双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质.
抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.
二．考试要求：
掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.
掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.
掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.
了解圆锥曲线的初步应用.
【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型
的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位
置关系的问题.
三．基础知识:
椭圆及其标准方程
椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点 1F 、 2F 的距离的和大于| 1F 2F |这个条
件不可忽视.若这个距离之和小于| 1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于| 1F 2F |，
则动点的轨迹是线段 1F 2F .
2.椭圆的标准方程：
12
2
2
2
b
y
a
x
（ a ＞b ＞0），
12
2
2
2
b
x
a
y
（ a ＞b ＞0）.
3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果 2x 项的分母大于
2y
项的分母，则椭圆的焦点在 x 轴上，反之，焦点在 y 轴上.
4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数
法求解.
椭圆的简单几何性质
椭圆的几何性质：设椭圆方程为
12
2
2
2
b
y
a
x
（ a ＞b ＞0）.
⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线 x= a 和 y= b 所围成的矩形里. ⑵ 对
称性：分别关于 x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
⑶ 顶点：有四个 1A （-a，0）、 2A （a，0） 1B （0，-b）、 2B （0，b）.
线段 1A 2A 、 1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b，a 和 b 分别叫
做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.
⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 a
ce
叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程
度.0＜e＜1.e 越接近于 1 时，椭圆越扁；反之，e 越接近于 0 时，椭圆就越接近于圆.
2.椭圆的第二定义
⑴ 定义：平面内动点 M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 a
ce
（e
＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.
⑵ 准线：根据椭圆的对称性，
12
2
2
2
b
y
a
x
（ a ＞ b ＞0）的准线有两条，它们的方程为
c
ax
2
.对于椭圆
12
2
2
2
b
x
a
y
（ a ＞b ＞0）的准线方程，只要把 x 换成 y 就可以了，即
c
ay
2
.
3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.
设 1F （-c，0）， 2F （c，0）分别为椭圆
12
2
2
2
b
y
a
x
（ a ＞b ＞0）的左、右两焦点，M（x，
y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为 exaMF 1 ， exaMF 2 .
椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.
椭圆的四个主要元素 a、b、c、e 中有 2a =
2b +
2c 、 a
ce
两个关系，因此确定椭圆的标准
方程只需两个独立条件.
4.椭圆的参数方程
椭圆
12
2
2
2
b
y
a
x
（ a ＞b ＞0）的参数方程为
cos
sin
x a
y b
（θ为参数）.
说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点 P 的离心角θ与直线 OP 的倾斜角α不同：
tantan a
b
；
⑵ 椭圆的参数方程可以由方程
12
2
2
2
b
y
a
x
与三角恒等式 1sincos 22 相比较而得
到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的参数方程是
cos
sin
x a
y b
.
5.椭圆的的内外部
（1）点 0 0( , )P x y 在椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的内部
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
.
（2）点 0 0( , )P x y 在椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的外部
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
.
6. 椭圆的切线方程
椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
上一点 0 0( , )P x y 处的切线方程是
0 0
2 2 1x x y y
a b
.
（2）过 椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
外一 点 0 0( , )P x y 所引 两条切 线的 切点弦 方程是
0 0
2 2 1x x y y
a b
.
（3）椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
与直线 0Ax By C 相切的条件是 2 2 2 2 2A a B b c
双曲线及其标准方程
双曲线的定义：平面内与两个定点 1F 、 2F 的距离的差的绝对值等于常数 2a（小于| 1F 2F |）
的动点 M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件 2a＜| 1F 2F |，这一条件可以用“三
角形的两边之差小于第三边”加以理解.若 2a=| 1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若 2a
＞| 1F 2F |，则无轨迹.
若 1MF ＜ 2MF 时，动点 M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若 1MF ＞ 2MF 时，轨迹
为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.
双曲线的标准方程：
12
2
2
2
b
y
a
x
和
12
2
2
2
b
x
a
y
（a＞0，b＞0）.这里 222 acb ，其中
| 1F 2F |=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是：如果 2x 项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果
2y 项的
系数是正数，则焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比
较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，
运用待定系数法求解.
双曲线的简单几何性质
双曲线
12
2
2
2
b
y
a
x
的实轴长为 2a，虚轴长为 2b，离心率 a
ce
＞1，离心率 e 越大，双曲
线的开口越大.
双曲线
12
2
2
2
b
y
a
x
的渐近线方程为
xa
by
或表示为
02
2
2
2
b
y
a
x
.若已知双曲线的渐
近 线 方 程 是
xn
my
， 即 0 nymx ， 那 么 双 曲 线 的 方 程 具 有 以 下 形 式 ：
kynxm 2222
，其中 k 是一个不为零的常数.
双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于 1 的常
数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线
12
2
2
2
b
y
a
x
，它的焦点坐标是（-c，0）
和 （ c ， 0 ）， 与 它 们 对 应 的 准 线 方 程 分 别 是 c
ax
2
和 c
ax
2
. 双 曲 线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的焦半径公式
2
1 | ( ) |aPF e x c
，
2
2 | ( ) |aPF e xc
.
双曲线的内外部
点 0 0( , )P x y 在双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的内部
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
.
点 0 0( , )P x y 在双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的外部
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
.
双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为
12
2
2
2
b
y
a
x
渐近线方程：
2 2
2 2 0x y
a b
xa
by
.
若渐近线方程为
xa
by 0
b
y
a
x
双曲线可设为
2
2
2
2
b
y
a
x
.
若双曲线与
12
2
2
2
b
y
a
x
有公共渐近线，可设为
2
2
2
2
b
y
a
x
（ 0 ，焦点在 x 轴上，
0 ，焦点在 y 轴上）.
双曲线的切线方程
双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
上一点 0 0( , )P x y 处的切线方程是
0 0
2 2 1x x y y
a b
.
（2）过双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
外一点 0 0( , )P x y 所引两条切线的切点弦方程是
0 0
2 2 1x x y y
a b
.
（ 3 ） 双 曲 线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
与 直 线 0Ax By C 相 切 的 条 件 是
2 2 2 2 2A a B b c .
抛物线的标准方程和几何性质
1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物
线。这个定点 F 叫抛物线的焦点，这条定直线 l 叫抛物线的准线。
需强调的是，点 F 不在直线 l 上，否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线，而不是抛物线。
2．抛物线的方程有四种类型：
pxy 22 、 pxy 22 、 pyx 22 、 pyx 22 .
对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一
次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的正方向；一次项前面是负号则曲
线的开口方向向 x 轴或 y 轴的负方向。
3．抛物线的几何性质，以标准方程 y2=2px 为例
（1）范围：x≥0；
（2）对称轴：对称轴为 y=0，由方程和图像均可以看出；
（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；
（4）离心率：e=1，由于 e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的；
（5）准线方程 2
px
；
（6）焦半径公式：抛物线上一点 P（x1，y1），F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半
径公式分别为（p＞0）：
2 2
1 1
2 2
1 1
2 : ; 2 :2 2
2 : ; 2 :2 2
p py px PF x y px PF x
p px py PF y x py PF y
（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过
抛物线 y2=2px（p＞O）的焦点 F 的弦为 AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB 的倾斜角为α，
则有①|AB|=x 1 +x 2 +p
以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。
（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x 2
+bx+c=0，
当 a≠0 时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果 a=0，
则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个
公共点。
4.抛物 线 pxy 22 上的 动点 可设 为 P
),2(
2
yp
y
或 或)2,2( 2 ptptP P ( , )x y ，其 中
2 2y px .
5.二次函数
2
2 2 4( )2 4
b ac by ax bx c a x a a
( 0)a 的图象是抛物线：（1）顶点坐标
为
24( , )2 4
b ac b
a a
；（ 2 ） 焦 点 的 坐 标 为
24 1( , )2 4
b ac b
a a
；（ 3 ） 准 线 方 程 是
24 1
4
ac by a
.
6.抛物线的内外部
点 0 0( , )P x y 在抛物线
2 2 ( 0)y px p 的内部
2 2 ( 0)y px p .
点 0 0( , )P x y 在抛物线
2 2 ( 0)y px p 的外部
2 2 ( 0)y px p .
点 0 0( , )P x y 在抛物线
2 2 ( 0)y px p 的内部
2 2 ( 0)y px p .
点 0 0( , )P x y 在抛物线
2 2 ( 0)y px p 的外部
2 2 ( 0)y px p .
点 0 0( , )P x y 在抛物线
2 2 ( 0)x py p 的内部
2 2 ( 0)x py p .
点 0 0( , )P x y 在抛物线
2 2 ( 0)x py p 的外部
2 2 ( 0)x py p .
点 0 0( , )P x y 在抛物线
2 2 ( 0)x py p 的内部
2 2 ( 0)x py p .
点 0 0( , )P x y 在抛物线
2 2 ( 0)x py p 的外部
2 2 ( 0)x py p .
7. 抛物线的切线方程
抛物线 pxy 22 上一点 0 0( , )P x y 处的切线方程是 0 0( )y y p x x .
（2）过抛物线 pxy 22 外一点 0 0( , )P x y 所引两条切线的切点弦方程是 0 0( )y y p x x .（3）
抛物线
2 2 ( 0)y px p 与直线 0Ax By C 相切的条件是
2 2pB AC .
(六).两个常见的曲线系方程
过曲线 1( , ) 0f x y , 2 ( , ) 0f x y 的交点的曲线系方程是
1 2( , ) ( , ) 0f x y f x y ( 为参数).
共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程
2 2
2 2 1x y
a k b k
, 其 中
2 2max{ , }k a b . 当
2 2min{ , }k a b 时,表示椭圆; 当
2 2 2 2min{ , } max{ , }a b k a b 时,表示双曲线.
直线与圆锥曲线相交的弦长公式
2 2
1 2 1 2( ) ( )AB x x y y 或
2 2 2 2
2 1 1 2 1 2(1 )( ) | | 1 tan | | 1 tAB k x x x x y y co （ 弦 端 点
A ),(),,( 2211 yxByx ，由方程
0)y,x(F
bkxy
消去 y 得到 02 cbxax ， 0 , 为直线
AB 的倾斜角， k 为直线的斜率）.
(八).圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线 ( , ) 0F x y 关于点 0 0( , )P x y 成中心对称的曲线是 0 0(2 - ,2 ) 0F x x y y .
（2）曲线 ( , ) 0F x y 关于直线 0Ax By C 成轴对称的曲线是
2 2 2 2
2 ( ) 2 ( )( , ) 0A Ax By C B Ax By CF x yA B A B
.
四．基本方法和数学思想
椭圆焦半径公式：设 P（x0,y0）为椭圆
12
2
2
2
b
y
a
x
（a>b>0）上任一点，焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),
则 0201 , exaPFexaPF （e 为离心率）；
双曲线焦半径公式：设 P（x0,y0）为双曲线
12
2
2
2
b
y
a
x
（a>0,b>0）上任一点，焦点为
F1(-c,0),F2(c,0),则:
（1）当 P 点在右支上时， 0201 , exaPFexaPF ；
（2）当 P 点在左支上时， 0201 , exaPFexaPF ；（e 为离心率）；
另：双曲线
12
2
2
2
b
y
a
x
（a>0,b>0）的渐进线方程为
02
2
2
2
b
y
a
x
；
抛物线焦半径公式：设 P（x0,y0）为抛物线 y2=2px(p>0)上任意一点，F 为焦点，则
20
pxPF
；y2=2px(p＜0)上任意一点，F 为焦点， 20
pxPF
；
涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；
共渐进线
xa
by
的双曲线标准方程为
(2
2
2
2
b
y
a
x
为参数， ≠0）；
计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，
一般地，若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB，A、B 两点分别为 A(x1，y1)、B(x2,y2)，
则弦长 ]4))[(1(1 21
2
21
2
12
2 xxxxkxxkAB
]4)[()11(11 21
2
212122 yyyykyyk
,这里体现了解析几何“设而不求”的解
题思想；
椭圆、双曲线的通径（最短弦）为 a
b 22
，焦准距为 p= c
b 2
，抛物线的通径为 2p，焦准距为 p;
双曲线
12
2
2
2
b
y
a
x
（a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为 b;
中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为 Ax2+Bx2＝1；
抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为 AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),则有如下结论：（1）
AB ＝x1+x2+p;（2）y1y2=－p2，x1x2= 4
2p
;
过椭圆
12
2
2
2
b
y
a
x
（a>b>0）左焦点的焦点弦为 AB，则 )(2 21 xxeaAB ，过右焦点的
弦 )(2 21 xxeaAB ；
对于 y2=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为（ p
y
2
2
0
，y0）,以简化计算;
处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设 A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆
12
2
2
2
b
y
a
x
（a>b>0）上不同的两点，M(x0,y0)是 AB 的中点，则 KABKOM= 2
2
a
b
；对于双曲
线
12
2
2
2
b
y
a
x
（a>0，b>0），类似可得：KAB.KOM= 2
2
a
b
；对于 y2=2px(p≠0)抛物线有 KAB＝
21
2
yy
p
求轨迹的常用方法：
（1）直接法：直接通过建立 x、y 之间的关系，构成 F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；
（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所
求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；
（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x1,y1)的变化而变化，
并且 Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用 x、y 的代数式表示 x1、y1，再将 x1、y1 带入已
知曲线得要求的轨迹方程；
（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写
出方程；
（5）参数法：当动点 P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可
考虑将 x、y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。
例题 1 求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为 4 的直线方程。
错解：设所求直线方程为
1
b
y
a
x
。
∵（2，1）在直线上，∴
112
ba ， ①
又
4ab2
1 ＝
，即 ab = 8 ， ②
由①、②得 a = 4，b = 2。故所求直线方程为 x + 2 y = 4 。
剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法中，由于对
截距概念模糊不清，误将直线在 x 轴和 y 轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。
事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 2
1
ba ，而不是 2
1
ab。
故所求直线方程应为：
x + 2 y = 4，或（ 2 +1）x - 2（ 2 -1）y – 4 = 0，或（ 2 - 1）x - 2（ 2 +1）y +4 = 0。
例题 2 求过点 A（-4，2）且与 x 轴的交点到（1，0）的距离是 5 的直线方程。
错解：设直线斜率为 k，其方程为 y – 2 = k（x + 4），则与 x 轴的交点为（-4- k
2
，0），
∴
5124
k ，解得 k = - 5
1
。故所求直线的方程为 x + 5y – 6 = 0 。
剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过 A 且垂直于 x 轴的
直线，落入“陷阱”。其实 x = - 4 也符合题意。
例题 3 求过点（1，1）且横、纵截距相等的直线方程。
错解：设所求方程为
1
a
y
a
x
，将（1，1）代入得 a = 2，
从而得所求直线方程为 x + y – 2 = 0。
剖析：上述错解所设方程为
1
a
y
a
x
，其中不含横、纵截距为 0 的特殊情形，事实上，横、
纵截距为 0 且过点（1，1）的直线 y = x 也符合条件。
例题 4 已知圆的方程为 x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ，一定点为 A（1，2），要使过 A 点作圆的
切线有两条，求 a 的取值范围。
错解：将圆的方程配方得： ( x + 2
a
)2 + ( y + 1 )2 = 4
34 2a
。
∵其圆心坐标为 C（－ 2
a
，－1），半径 r ＝ 4
34 2a
。
当点 A 在圆外时，过点 A 可作圆的两条切线，则 AC ＞ r 。
即
22 )12()21( a
＞ 4
34 2a
。即 a2 + a + 9 ＞ 0，解得 a∈R。
剖析：本题的“陷阱”是方程 x2 + y2 + ax + 2y + a 2= 0 表示圆的充要条件，上述解法仅由条
件得出 AC ＞ r ，即 a2 + a + 9 ＞ 0，却忽视了 a 的另一制约条件 4 – 3 a2 ＞ 0。
事实上，由 a2 + a + 9 ＞ 0 及 4 – 3 a2 ＞ 0 可得 a 的取值范围是（
33
2,33
2
）。
例题 5 已知直线 L：y = x + b 与曲线 C：y =
21 x 有两个公共点，求实线 b 的取值范围。
错解：由
21
,
xy
bxy
消去 x 得：2y2 - 2by + b2 – 1 = 0。 （ * ）
∵ L 与曲线 C 有两个公共点， ∴ = 4b2 – 8 ( b2 －1 ) > 0，解得－ 2 ＜b＜ 2
剖析：上述解法忽视了方程 y =
21 x 中 y ≥ 0 ，－ 1 ≤ x ≤ 1 这一限制条件，得出
了错误的结论。
事实上，曲线 C 和直线 L 有两个公共点等价于方程（*）有两个不等的非负实根。
Y
X
0
2
1
0
2
2b--yy
0 1)-8(b-4b
2
21
2
22
1
byy
解得 1≤ b ≤ 2 。
例题 6 等腰三角形顶点是 A（4，2），底边的一个端点是 B（3，5），求另一个端点 C 的轨
迹方程。
错解：设另一个端点的坐标为（ x ，y ），依题意有：
AC = AB ，即：
22 )2()4( yx =
22 )52()34(
∴ （x - 4）2 + (y - 2) 2 = 10 即为 C 点的轨迹方程。
这是以 A（4，2）为圆心、以为半径的圆。
剖析：因为 A、B、C 三点为三角形三个顶点，所以 A、B、C 三点不共线，即 B、C 不能重合，
且不能为圆 A 一直径的两个端点，这正是解题后没有对轨迹进行检验，出现增解，造成的
解题错误。
事实上，C 点的坐标须满足
5
3
y
x
，且
22
5
42
3
y
x
，
故端点 C 的轨迹方程应为（x - 4）2 + ( y-2 )2 = 10 ( x 3,y 5；x 5,y －1)。
它表示以（4，2）为圆心，以 10 为半径的圆，除去（3，5）（5，-1）两点。
例题 7 求 z = 3 x + 5 y 的最大值和最小值，使式中的 x ，y 满足约束条件：
35
1y
153y5x
yx
x
错解：作出可行域如图 1 所示，过原点作直线 L0：3 x + 5 y = 0 。
由于经过 B 点且与 L0 平行的直线与原点的距离最近，
故 z = 3 x + 5 y 在 B 点取得最小值。解方程组
1535
35
yx
yx
，得 B 点坐标为（3，0），∴ z
最小＝33＋50=9。
由于经过 A 点且与 L0 平行的直线与原点的距离最大，
故 z = 3x + 5y 在 A 点取得最大值。
解方程组
1535
1
yx
xy
，得 A 点坐标为（ 2
3
，2
5
）。
∴ z 最大＝3 2
3
＋5 2
5
= 17 。
剖析：上述解法中，受课本例题的影响，误认为在对过原点的直线 L0 的平行移动中，与原
点距离最大的直线所经过的可行域上的点，即为目标函数 Z 取得最大值的点。反之，即为 Z
取得最小值的点，并把这一认识移到不同情况中加以应用，由此造成了解题失误。
事实上，过原点作直线 L0：3x + 5y = 0，由于使 z = 3x + 5y ＞ 0 的区域为直线 L0 的
右上方，而使 z = 3x + 5y ＜ 0 的区域为 L0 的
左下方。由图知：z = 3x + 5y 应在 A 点取得最大值，在 C 点取得最小值。
解方程组
35
1
yx
xy
，得 C（－2，－1）。
∴ z 最小＝3（－2）＋5（－1）= －11。
例题 8 已知正方形 ABCD 对角线 AC 所在直线方程为 xy .抛物线 cbxxxf 2)( 过
B，D 两点
（1）若正方形中心 M 为（2，2）时，求点 N(b,c)的轨迹方程。
（2）求证方程 xxf )( 的两实根 1x ， 2x 满足 2|| 21 xx
解答：（1）设 (2 ,2 ), (2 ,2 ), 0B s s D s s s
因为 B,D 在抛物线上 所以
2
2
2 (2 ) (2 )
2 (2 ) (2 )
s S b S c
S S b S c
两式相减得
2 8 2s s sb 则 5b 代入（1）
得 22 4 4 10 5s s s s c 28 8c s
故点 ( , )N b c 的方程 5( 8)x y 是一条射线。
（2）设 ( , ), ( , ) 0B t s t s D t s t s s
同上
2
2
( ) ( ) (1)
( ) ( ) (2)
t s t s b t s c
t s t s b t s c
（1）-（2）得
1
2
bt (3)
（1）+（2）得
2 2( 1) 0 (4)s b t t c
（3）代入（4）消去t 得
2 2
2 1 ( 1) 02 4
b bs c
得
2( 1) 4 4b c 又 ( )f x x 即
2 ( 1) 0x b x c 的 两 根 1 2,x x 满 足
1 2 1x x b 1 2x x c
2 2 2
1 2 1 2 1 2| | ( ) 4 ( 1) 4 4x x x x x x b c
故 1 2| | 2x x 。
易错原因：审题不清，忽略所求轨迹方程的范围。
例题9 已知双曲线两焦点 1 2,F F ，其中 1F 为
21 ( 1) 14y x
的焦点，两点A (-3,2) B (1,2)
都在双曲线上，（1）求点 1F 的坐标；（2）求点 2F 的轨迹方程，并画出轨迹的草图；（3）若
直线 y x t 与 2F 的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数 t 的取值范围。
解答：（1）由
21 ( 1) 14y x
得：
2( 1) 4( 1)x y ，故 1( 1,0)F
（2）设点 2 ( , )F x y ，则又双曲线的定义得 1 2 1 2|| | | || || | | || 0AF AF BF BF
又 2 1| | | | 2 2AF AF
2 2| | | |AF BF 或 2 2 1 1| | | | | | | | 4 2F A F B AF BF
点 2F 的轨迹是以 ,A B 为焦点的椭圆
1 0x 除去点 ( 1,0),( 1,4) 或
2 2( 1) ( 2) 18 4
x y
除去点
( 1,0),( 1,4) 图略。
（3）联列：
2( 1) ( 2) 18 4
y x t
x y
消去 y 得
2 2( 1) 2( 2) 8x x t 整理得：
2 23 (4 6) 2 8 1 0x t x t t
当 0 时 得 3 2 3t 从图可知： ( ,3 2 3) (3 2 3, )t ，
又因为轨迹除去点 ( 1,0),( 1,4) 所以当直线过点 ( 1,0),( 1,4) 时也只有一个交点，即
1t 或 5
( ,3 2 3) (3 2 3, ) {1,5}t
易错原因：（1）非标准方程求焦点坐标时计算易错；（2）求点 2F 的轨迹时易少一种情况；
（3）对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。
例题 10 已知圆 1: 22
1 yxO ，圆 :2O 091022 xyx 都内切于动圆，试求动圆
圆心的轨迹方程。
错解：圆 O2： 091022 xyx ，即为 16)5( 22 yx
所以圆 O2 的圆心为 )0,5(2O ,半径 42 r ,
而圆 1: 22
1 yxO 的圆心为 )0,0(1O ,半径 11 r ,
设所求动圆圆心 M 的坐标为(x,y),半径为 r
则 1|| 1 MOr 且 4|| 2 MOr ，所以 3|||| 21 MOMO
即 3)5( 2222 yxyx ，化简得 06498016 22 yxx
即
14
4
9
)2
5( 2
2
yx
为所求动圆圆心的轨迹方程。
剖析：上述解法将 |||| 21 MOMO =3 看成 3|||||| 21 MOMO ,误认为动圆圆心的轨迹
为双曲线，这是双曲线的概念不清所致。
事实上，| 3||| 21 MOMO 表示动点 M 到定点 1O 及 2O 的距离差为一常数 3。
且 35|| 21 OO ,点 M 的轨迹为双曲线右支，方程为
)4(14
4
9
)2
5( 2
2
xyx
例题 11 点 P 与定点 F（2，0）的距离和它到直线 x=8 的距离比是 1：3,求动点 P 与定点
)3,4
5(1P
距离的最值。
错解：设动点 P(x,y)到直线 x=8 的距离为 d，则
,3
1||
d
PF
即 3
1
|8|
)2( 22
x
yx
两边平方、整理得 2
9)4
9(
)4
5( 2
2
2
yx
=1 （1）
由此式可得：
222 )4
9()9
21()4
5( yx
因为
22
1 )3()4
5(|| yxPP 222 )3()4
9()9
21( yy
16
1377)24(8
1 2 y
所以 || 1PP 1534
3
16
1377
max
剖析 由上述解题过程知,动点 P(x,y)在一椭圆上，由椭圆性质知，椭圆上点的横纵坐标都是
有限制的，上述错解在于忽视了
22
322
3 y
这一取值范围，由以上解题过程知，
|| 1PP 的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决
即：当
22
3y
时，
22
33|| max1 PP
例题 12 已知双曲线
)0,0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x
的离心率 e=
33
2
, 过点 A（ b,0 ）和 B(a,0)
的直线与原点的距离为 2
3
,直线 y=kx+m )0,0( mk 与该双曲线交于不同两点 C、D，且
C、D 两点都在以 A 为圆心的同一圆上，求 m 的取值范围。
错解 由已知，有
2
2
2 2
41 3
3
2
be a
ab
a b
解之得： 1,3 22 ba
所以双曲线方程为
13
2
2
yx
把直线 y=kx+m 代入双曲线方程，并整理得： 0336)31( 222 mkmxxk
所以 031 22 km (1)
设 CD 中点为 ),( 00 yxP ，则 AP CD，且易知： 2020 31
,
31
3
k
my
k
kmx
所以
k
k
km
k
m
k AP
1
31
3
1
31
2
2
143 2 mk (2)
将(2)式代入(1)式得 042 mm 解得 m>4 或 0m
故所求 m 的范围是 ),4()0,( m
剖析 上述错解，在于在减元过程中，忽视了元素之间的制约关系，
将 3
142 mk
代入(1) 式时，m 受 k 的制约。
因为 02 k 所以 4
1m
故所求 m 的范围应为 m>4 或
04
1 m
例题 13 椭圆中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率 2
3e
,已知点 P（ 2
3,0
）到椭圆上
的点最远距离是 7 ，求这个椭圆的方程。
错解 设所求椭圆方程为
)0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x
因为 2
22
a
ca
a
b
2
11 2 e
，所以 a=2b
于是椭圆方程为
1
4 2
2
2
2
b
y
b
x
设椭圆上点 M（x,y）到点 P
)2
3,0(
的距离为 d,
则：
222 )2
3( yxd 4
93)1(4 2
2
2
2 yy
b
yb 34)2
1(3 22 by
所以当 2
1y
时，有 1,734 2
max
2 bbd
所以所求椭圆方程为
14
2
2
yx
剖析 由椭圆方程
)0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x
得 byb
由(1)式知 2d 是 y 的二次函数，其对称轴为 2
1y
上述错解在于没有就对称轴在区间 ],[ bb 内或外进行分类，
其正解应对 f(y)=
34)2
1(3 22 by
的最值情况进行讨论：
（1）当 2
1 b
，即 2
1b
时
34)2
1( 2
max
2 bfd
=7 1 b ,方程为
14
2
2
yx
（2）当
b
2
1
, 即 2
1b
时，
7)(max
2 bfd 7b 2
1
2
3
，与 2
1b
矛盾。
综上所述，所求椭圆方程为
14
2
2
yx
例题 15 已知双曲线
12
2
2 yx
,问过点 A（1，1）能否作直线 l ,使 l 与双曲线交于 P、Q
两点，并且 A 为线段 PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由。
错解 设符合题意的直线 l 存在，并设 ),( 21 xxP 、 ),( 22 yxQ
则
)2(12
)1(12
2
22
2
2
12
1
yx
yx
（1） )2( 得 ))(( 2121 xxxx )3())((2
1
2121 yyyy
因为 A（1，1）为线段 PQ 的中点，所以
)5(2
)4(2
21
21
yy
xx
将(4)、(5)代入（3）得
)(2
1
2121 yyxx
若 21 xx ，则直线l 的斜率
2
21
21
xx
yyk
所以符合题设条件的直线l 存在。其方程为 012 yx
剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两
式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。
应在上述解题的基础上，再由
12
12
2
2 yx
xy
得 0342 2 xx
根据 08 ,说明所求直线不存在。
例题 15 已知椭圆
134
)1(:
22
yxC
，F 为它的右焦点，直线l 过原点交椭圆 C 于 A、B
两点。求 |||| FBFA 是否存在最大值或最小值？若不存在，说明理由。
错解 设 A、B 两点坐标分别为 ),( AA yx 、 ),( BB yx
因为 3,4 22 ba ， 所以 122 bac ，
4,2
1 2
c
a
a
ce
又椭圆中心为（1，0）,右准线方程为 x=5， 所以 2
1
5
|| Ax
FA
即
)5(2
1|| AxFA
，同理
)5(2
1|| BxFB
所以 |||| FBFA )1(])(525[4
1
BABA xxxx
设直线l 的方程为 y=kx，代入椭圆方程得 096)43( 22 xxk
所以 BA xx 22 43
9,
43
6
k
xx
k BA
代入(1)式得 |||| FBFA )
43
3925(4
1
2k
所以 4
25||||3 FBFA
，所以 FBFA || |有最小值 3,无最大值。
剖析 上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线，当 l 的斜率不存在时，
有 |||| FBFA 4
25
2
5
2
5
所以 FBFA || 有最小值为 3，最大值为 25/4
课后练习题
1、圆 x2 + 2x + y2 + 4y –3 = 0 上到直线 x + y + 1 = 0 的距离等于 2 的点共有（ ）
A、1 个 B、 2 个 C、 3 个 D、 4 个
分析：这里直线和圆相交，很多同学受思维定势的影响，错误地认为圆在此直线的两侧各有
两点到直线的距离为 2 ，导致错选（ D ）。
事实上，已知圆的方程为：
（x +1）2 + (y+2) 2 = 8，这是一个
以（-1，-2）为圆心，以 2 2 为
半径的圆，圆的圆心到直线
x + y + 1 = 0 的距离
为 d= 2
121
= 2 ，
这样只需画出（x +1）2 + (y+2) 2 = 8
和直线 x + y + 1 = 0 以及和 x + y + 1 = 0 的距离为 2 的平行直线即 可。
如图 2 所示，图中三个点 A、B、C 为所求，故应选（C）。
2、过定点（1，2）作两直线与圆
2 2 22 15 0x y kx y k 相切，则 k 的取值范围是
A k>2 B -3
2 D 以上皆不对
解 答：D
易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑 2 2 4 0D E F
3、设双曲线
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的半焦距为 C，直线 L 过 ( ,0),(0, )a b 两点，已知原点到
直线 L 的距离为
3
4 C
，则双曲线的离心率为
A 2 B 2 或
2 3
3 C 2 D
2 33
解 答：D
易错原因：忽略条件 0a b 对离心率范围的限制。
4、已知二面角 l 的平面角为 ，PA ，PB ，A，B 为垂足，且 PA=4，PB=5，
设 A、B 到二面角的棱l 的距离为别为 yx, ，当 变化时，点 ),( yx 的轨迹是下列图形中的
A B C D
解 答： D
易错原因：只注意寻找 ,x y 的关系式，而未考虑实际问题中 ,x y 的范围。
5、若曲线
2 4y x 与直线 ( 2)y k x +3 有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围
是
A 0 1k B
30 4k
C
31 4k
D 1 0k
解 答：C
易错原因：将曲线
2 4y x 转化为
2 2 4x y 时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过
点(2,-3)且与渐近线 y x 平行的直线与双曲线的位置关系。
6、已知圆 3x 2
+y 2
=4 和 直线 y=mx 的交点分别为 P、Q 两点，O 为坐标原点，
则︱OP︱·︱OQ︱=( )
A 1+m 2
B 21
5
m C 5 D 10
正确答案： C 错因：学生不能结合初中学过的切割线定︱OP︱·︱OQ︱等于切线长的
平方来解题。
7、双曲线 9
2x
－ 4
2y
＝1 中，被点 P(2,1)平分的弦所在直线方程是（ ）
A 8x-9y=7 B 8x+9y=25 C 4x-9y=16 D 不存在
正确答案：D 错因：学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。
8、已知 是三角形的一个内角，且 sin +cos = 5
1
则方程 x 2
sin －y 2
cos =1 表示（ ）
A 焦点在 x 轴上的双曲线 B 焦点在 y 轴上的双曲线
C 焦点在 x 轴上的椭圆 D 焦点在 y 轴上的椭圆
正确答案：D 错因：学生不能由 sin +cos = 5
1
判断角 为钝角。
9、过抛物线的焦点 F 作互相垂直的两条直线，分别交准线于 P、Q 两点，又过 P、Q 分别作
抛物线对称轴 OF 的平行线交抛物线于 M﹑N 两点,则 M﹑N﹑F 三点
A 共圆 B 共线 C 在另一条抛物线上 D 分布无规律
正确答案：B 错因：学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题。
10、已知实数 x，y 满足 3x2+2y2=6x，则 x2+y2 的最大值是( )
A、 2
9
B、4 C、5 D、2
正确答案：B
错误原因：忽视了条件中 x 的取值范围而导致出错。
11、过点(0,1)作直线，使它与抛物线 xy 42 仅有一个公共点，这样的直线有（ ）
A.1 条 B.2 条 C. 3 条 D. 0 条
正确答案：C
错解：设直线的方程为 1 kxy ，联立
1
42
kxy
xy
，得 xkx 41 2 ，
即： 01)42(22 xkxk ，再由Δ＝0,得 k=1,得答案 A.
剖析：本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率 k=0
的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条。
12、已知动点 P（x,y）满足
2 25 ( 1) ( 2) | 3 4 11|x y x y ，则 P 点的轨迹是 （ ）
A、直线 B、抛物线 C、双曲线 D、椭圆
正确答案：A
错因：利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1，2）点就在直线 3x+4y-11=0 上。
13、在直角坐标系中，方程 0231 2 yxxyx 所表示的曲线为（ ）
A．一条直线和一个圆 B．一条线段和一个圆
C．一条直线和半个圆 D．一条线段和半个圆
正确答案：D 错因：忽视定义取值。
14、设 1F 和 2F 为双曲线
14
2
2
yx
的两个焦点，点在双曲线上且满足
9021 PFF ，则
21PFF 的面积是（ ）。
A.1 B. 2
5
C. 2 D. 5
正解：A
14
2
2
yx
5,2 Ca 4|||||| 21 PFPF
16||||||2|| 2
221
2
1 PFPFPFPF ①
又 9021 PFF 22
2
2
1 )52(|||| PFPF ②
联立①②解得 2|||| 21 PFPF 121
PFFS
误解：未将 4|||||| 21 PFPF 两边平方，再与②联立，直接求出 |||| 21 PFPF 。
15、已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为
)0,0(, baxa
by
，若双曲线上有
一点 M（ 00 , yx ），使 |||| 00 xbya ，那双曲线的交点（ ）。
在 x 轴上 B.在 y 轴上 C.当 ba 时在 x 轴上 D.当 ba 时在 y 轴上
正解：B。 由 0 0a y b x 得
0
0
y b
x a
，可设 0 00, 0x y ，此时 OM 的斜率大于渐近线
的斜率，由图像的性质，可知焦点在 y 轴上。所以选 B。
误解：设双曲线方程为
2 2
2 2
x y
a b
，化简得：
2 2 2 2 2 2b x a y a b ，
代入 0 0( , )x y ，
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0b x a b a y b x ， 0 ，焦点在 x 轴上。这个方法没错，
但 确定有误，应 0 ，焦点在 y 轴上。
误解：选 B，没有分组。
16、与圆 3)5( 22 yx 相切，且纵截距和横截距相等的直线共有（ ）
A、2 条 B、3 条 C、4 条 D、6 条
答案：C
错解：A
错因：忽略过原点的圆 C 的两条切线
17、若双曲线 122 yx 的右支上一点 P（a,b）直线 y=x 的距离为 2 ，则 a+b 的值是（ ）
A、 2
1
B、 2
1
C、 2
1
D、 2
答案：B
错解：C
错因：没有挖掘出隐含条件 ba
18、双曲线
149
22
yx
中，被点 P（2，1）平分的弦所在的直线方程为（ ）
A、 798 yx B、 2598 yx C、 694 yx D、不存在
答案：D
错解：A
错因：没有检验出 798 yx 与双曲线无交点。
19、过函数 y=- 2
94
x
x
的图象的对称中心，且和抛物线 y2=8x 有且只有一个公共点的直线的
条数共有（ ）
A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、不存在
正确答案：（B）
错误原因 ：解本题时极易忽视中心（2，4）在抛物线上，切线只有 1 条，又易忽视平行于
抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个公共点。
20、双曲线
1916
22
yx
上的点 P 到点(5,0)的距离为 8.5，则点 P 到点( 0,5 )的距离_______。
错解 设双曲线的两个焦点分别为 )0,5(1 F , )0,5(2F ,
由双曲线定义知 8|||||| 21 PFPF
所以 5.16|| 1 PF 或 5.0|| 1 PF
剖析 由题意知，双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为 1,
所以 1 0.5PF 不合题意，事实上，在求解此类问题时，应灵活运用双曲线定义，分析出点
P 的存在情况，然后再求解。如本题中，因左顶点到右焦点的距离为 9>8.5，故点 P 只能在
右支上，所求 1 16.5PF
21、一双曲线与椭圆
13627
22
yx
有共同焦点，并且与其中一个交点的纵坐标为 4，则这个
双曲线的方程为_____。
正解：-
445
22
yx
，设双曲线的方程为
13627
22
k
y
k
x
（27 36 k ）
又由题意知
15136
4
27
2
22
xx 136
4
27
15 2
kk 32k
故所求双曲线方程为
145
22
yx
误解：不注意焦点在 y 轴上，出现错误。
22、过双曲线 x2－
12
2
y
的右焦点作直线交双曲线于 A、B 两点，且 4AB ，则这样的直
线有___________条。错解：2
错因：设 )3( xky 代入椭圆的方程算出有两条，当 k 不存在，即直线 AB x 轴时，｜
AB｜＝4，忽视此种情况。正解：3
23、一动点到定直线 x=3 的距离是它到定点 F（4，0）的距离的比是 2
1
，则动点轨道方程
为 。
答案：
1
3
4
9
4
)3
8( 2
2
yx
错解：由题意有动点的轨迹是双曲线，又 F（4，0），所以 c=4，又准线 x=3,
所以
4,12,3 22
2
bac
a
，故双曲线方程为
1412
22
yx
错因：没有明确曲线的中心位置，而套用标准方程。
24、经过双曲线
13
2
2 yx
的右焦点 F2 作倾斜角为 30 的弦 AB，则 ABF1 的周长
为 。
答案：设 ),(),,( 2211 yxByxA 其中
)12(,12,2,1,0,0 2111121 xBFxaexAFeaxx 则 ，
所以 )(2 2111 xxBFAF ，将弦 AB 的方程
)2(3
3 xy
代入双曲线方程，
整理得
3,8
13,2
1,01348 2121
2 ABxxxxxx 则所以
，
可求得 2
33
21 xx
，故答案为 333
错解：10
错因：作图错误，没有考虑倾斜角为 30 的直线与渐近线的关系，而误将直线作成与右支有
两交点。
25、如果不论实数 b 取何值，直线 bkxy 与双曲线 12 22 yx 总有公共点，那么 k
的取值范围为 。
答案：
)2
2,2
2(
错解：
]2
2,2
2[
错因：没考虑 b=0 时，直线不能与渐近线平行。
26、双曲线x2
9
- y2
16
=1上有一点 P 到左准线的距离为16
5
,则 P 到右焦点的距离为 。
F1 F2
x
y
P
错解：设 F1、F2 分别为由双曲线的左、右焦点，则由双曲线的方程为x2
9
- y2
16
=1，易求得
a=3,c=5,从而离心率 e＝5
3
,再由第二定义，易求|PF1|=ed1＝ 3
16
5
16
3
5
，于是又由第一定
义 6212 aPFPF ，得|PF2|= 3
166
。
剖析：以上出现两解的原因是考虑到 P 可能在不同的两支上。
而事实上 P 若在右支上，则其到 F1 的最短距离应为右顶点 A2 到 F1 的距离| A2 F1|＝a+c＝8，
而
83
16
，故点 P 只能在左支，于是|PF2|= 3
34
3
166
。
小结：一般地，若|PF1| ≥ a+c,则 P 可能在两支上，
若|PF1| < a+c,则 P 只能在一支上。
27、已知双曲线的一条准线方程为 x=2,其相应的焦点为(8,0)，离心率为3
2
，求双曲线的方程。
错解：由
48,16:,8,2 22
2
bacc
a 得
,于是可求得双曲线的方程为
14816
22
yx
。
点评：看起来问题已经解决，然而离心率这个条件似乎多余，而根据求得的方程又得不到离
心率为3
2
。错误是显然的，那么问题在哪里呢？其实问题就在于此方程并不是标准方程，而
我们把它当作了标准方程。正确的做法是利用双曲线的第二定义来求出方程（下略）。由此
看来，判断准方程的类型是个关键。
28、过点(0,1)作直线，使它与抛物线 xy 42 仅有一个公共点，这样的直线有
A.1 条 B.2 条 C. 3 条 D. 0 条
错解：设直线的方程为 1 kxy ，联立
1
42
kxy
xy
，得 xkx 41 2 ，
即： 01)42(22 xkxk ，再由Δ＝0,得 k=1,得答案 A.
剖析：本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率 k=0
的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条。
小结：直线与抛物线只有一解时，并不一定相切，当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有
一解。
29、已知曲线 C： 2
20 2xy
与直线 L： mxy 仅有一个公共点，求 m 的范围。
错解：曲线 C： 2
20 2xy
可化为 204 22 yx （1），联立
204 22 yx
mxy
，得：
y
xo
020485 22 mmxx ，由Δ＝0,得 5m 。
分析：方程（1）与原方程并不等价，应加上 ,0y 。
故原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分。（如图），结合图形易求得 m 的范围为
52525 mm 或 。
解题回顾：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错。
30、设双曲线的渐近线为：
xy 2
3
，求其离心率。
错解：由双曲线的渐近线为：
xy 2
3
，可得： 2
3
a
b
，从而 2
131 2
2
a
b
a
ce
剖析：由双曲线的渐近线为
xy 2
3
是不能确定焦点的位置在 x 轴上的，当焦点的位置在
y 轴上时， 3
2
a
b
，故本题应有两解，即： 2
131 2
2
a
b
a
ce
或 3
13
。
31、已知双曲线
12
2
2 yx
，过 P(1,1)能否作一条直线 L 与双曲线交于 A、B 两点，且 P 为
AB 中点。
错解：（1）过点 P 且与 x 轴垂直的直线显然不符合要求。
（2）设过 P 的直线方程为 )1(1 xky ，代入
12
2
2 yx
并整理得：
02)1()1(2)2( 222 kxkkxk
∴ 221 2
)1(2
k
kkxx
，又∵ 221 xx ∴
2
2
)1(2
2
k
kk
解之得：k=2，故直线方程为：y=2x-1,即直线是存在的。
剖析：本题的问题在于没有考虑隐含条件“Δ>0”，当 k=2 时代入方程可知Δ<0，故这样的
直线不存在。
解题反思：使用一元二次方程的根与系数的关系必需要注意检验根的判别式 0 是否成
立。
32、直线 L： )5( xky 与圆 O： 1622 yx 相交于 A、B 两点，当 k 变动时，弦 AB 的
中点 M 的轨迹方程。
错解：易知直线恒过定点 P（5,0），再由 APOM ，得：
222 MPOMOP
∴ 25)5( 2222 yxyx ，整理得：
4
25
2
5 2
2
yx
剖析：求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性。本题中注意到点 M 应在圆内，故易求得
轨迹为圆内的部分，此时 5
160 x
。
33、设点 P(x,y)在椭圆 44 22 yx 上，求 yx 的最大、最小值。
错解：因 44 22 yx ∴ 44 2 x ，得： 11 x ，同理得： 22 y ，
故 33 yx ∴最大、最小值分别为 3,-3.
剖析：本题中 x、y 除了分别满足以上条件外，还受制约条件 44 22 yx 的约束。当 x=1
时,y 此时取不到最大值 2,故 x+y 的最大值不为 3。其实本题只需令 sin2,cos yx ，
则 )sin(5sin2cos yx ，故其最大值为 5 ，最小值为 5 。
高中数学系列 1-1 综合测试题
学校：中山市龙山中学 命题：曹 毓
一、选择题
1．下列语句中是假命题的是 （ ）
A．二次函数的图象是一条抛物线
B．对数函数是增函数吗？
C．两个内角等于 45°的三角形是等腰直角三角形
D．若整数 a 是素数，则 a 是奇数
2．已知 23:,522: qp ，则下列判断中，错误的是 （ ）
A． 为假为真 q，qp B． 为真为真 p，qp
C． 为假为假 p，qp D． 为真为假 q，pqp
3．命题“ 22 5 3 0x x ”的一个必要不充分条件是 （ ）
A． 32
1 x B． 42
1 x C．
2
13 x D．1 3x
4．若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆的离心率是 （ ）
A．
3
1 B．
2
3 C．
3
3 D． 3
5．已知双曲线与椭圆 2 24 64x y 有相同的焦点，它的一条渐近线是 y x ，则双曲线方
程 为
（ ）
A． 2 2 80x y B． 2 2 80y x C． 2 2 24y x D． 2 2 96x y
6．已知顶点在原点，对称轴是 y 轴的抛物线上一点 ( , 2)P m 到它的焦点的距离为 4，则 m
的 值 是
（ ）
A． 4 B． 4 或 4 C． 2 D． 2 或 2
7 ． 函 数 443
1)( 3 xxxf 在 [0 ， 3] 上 的 最 值 是
（ ）
A．最大值是 4，最小值是
3
4 B．最大值是 2，最小值是
3
4
C．最大值是 4，最小值是
3
1 D．最大值是 2，最小值是
3
1
8．已知有相同的两焦点 F1，F2 的椭圆 )1(12
2
mym
x 和双曲线 )0(12
2
nyn
x ，P
是它们的一个交点，则 1 2PF PF 等于 （ ）
A．1 B．
2
1 C．0 D．随 m，n 的变化而变化
9．设 )0)(()( 2 acbxaxxxf 在 1x 和 1x 处均有极值，则下列点中一定在 x
轴 上 的 是
（ ）
A． ( , )a b B． ( , )a c C． ( , )b c D． ( , )a b c
10．已知点 M 是椭圆 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 上的一点，两焦点分别为 F1，F2, 点 I 是 1 2MF F
的内心，连接 MI 并延长交 F1F2 于 N 点，则
IN
MI 的值为 （ ）
A．
22 ba
a
B．
22 ba
b
C．
a
ba 22 D．
b
ba 22
二、填空题
11．经过点 ( 3,0)P ， (0, 2)Q 的椭圆的标准方程是 _______.
12．已知 P： 04, 2 xxRx ；则 为P _.
13．一抛物线型拱桥，当水面离桥顶 2 米时，水面宽 4 米；若水面下降 1 米，则此时水面宽
为 ____________米.
14．已知双曲线 13
2
2
yx ，M 为其右支上一动点，F 为其右焦点，点 (3,1)A ，则|MA|+|MF|
的最小值为 .
三、解答题
15．已知椭圆方程为 2 24 1x y ，求它的焦点坐标、顶点坐标、长轴长、离心率和准线方
程.
16．已知曲线 32y x x 上一点 ( 1, 1)P ，求：
（1）点 P 处的切线方程;
（2）点 P 处的切线与 x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积.
17．已知 "2|3
11|:" xP , )0("012:" 22 mmxxq , 若 qp 是 的必要不
充分条件，求实数 m 的取值范围.
18．设 P：关于 x 的不等式 1xa 的解集是 0| xx
Q：函数 )lg( 2 axaxy 的定义域为 R.
如果 P 和 Q 有且仅有一个正确，求 a 的取值范围.
19．设 0p 是一个常数,过点 (2 ,0)Q p 的直线与抛物线 2 2y px 交于相异两点 A, B, 以
线段 AB 为直径作圆 H (H 为圆心).
(1)试证抛物线顶点在圆 H 的圆周上;
(2)求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程.
20. 设椭圆方程为 14
2
2 yx ,过点 (0,1)M 的直线 t 交椭圆于点 A、B，O 是坐标原点，点
P 满足 1 ( )2OP OA OB ，点 N 的坐标为（
2
1,2
1 ）.当 t 绕点 M 旋转时，求：
（1）动点 P 的轨迹方程；
（2）| NP |的最小值与最大值.
高中数学系列 1-1 综合测试题参考答案
一、选择题
BCBCC DACAA
二、填空题
11. 149
22
yx 12. 04, 2 xxRx 13. 62
14. 3226
三、解答题
15. 解：椭圆方程可化为
2 2
11 1
4
x y ，所以焦点在 y 轴上，且 1 31, ,2 2a b c ，长轴
长 1 2| | 2 2A A a
所以焦点坐标为 F1（0，
2
3 ）， )2
3,0(2F
顶点为 )0,
2
1(),1,0(
离心率
2
3e
准线方程为
3
32y
16. 解：(1) 22 3y x
1)1(32|' 2
1 xy
切线方程为 ( 1) [ ( 1)]y x
即 2 0x y
(2)切线 2 0x y 在 x 轴、y 轴上的截距都是 2 ，故切线与 x 轴、y 轴所围成的平
面图形为直角三角形，其面积为 2|2||2|2
1 S .
17. 解： "23
112:" xp
"102:" xp
")1(:" 22 mxq
"11:" mxmq
qp 是 的必要不充分条件
pq
qp
即 p 是 q 的充分不必要条件
故有
0
101
21
m
m
m
解得 m 9
因此, 所求实数 m 的取值范围是 ),9[
18. 解：P 正确 0 1a
Q 正确 axax 2 对一切实数 x 恒大于 0
当 0a 时, 2ax x a x 不能对一切实数 x 恒大于 0
故 Q 正确
2
1
041
0
2 aa
a
若 P 正确而 Q 不正确，则 0
2
1 a ;
若 Q 正确而 P 不正确，则 1a .
故所求的 a 的取值范围是 ).,1[]2
1,0(
19. 解：(1) 设直线 : 2 0AB x my p
2 2
2
2 0 1 2 02 2
x my p y pmy py px
设 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y
则 1 2 2y y pm
2
1 2 4y y p
21
22
2
2
1
2
2
2
1
2
1 4
2
2 xxpyy
pxy
pxy
2
21 4pxx
044),(),( 22
21212211 ppyyxxyxyxOBOA
OBOA
O 在以 AB 为直径的圆上
(2) 2 2 2
1 2 1 2| | ( ) ( )AB x x y y
2 2
1 2
2 2
1 2 1 2
2 2 2 2
2 2 2
(1 )( )
(1 )[( ) 4 ]
(1 )[4 16 ]
4 (1 )( 4)
m y y
m y y y y
m p m p
p m m
当 0m 时, | |AB 最小,此时直线 AB 的方程为 2x .
20. 解（1）设直线 t 的方程为 1y kx , 又设 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y
2 22
2
1
(4 ) 2 3 0
14
y kx
k x kxyx
由 得
221
221
4
8
4
2
k
yy
k
kxx
于是 )
4
4,
4
()2,2()(2
1
22
2121
kk
kyyxxOBOAOP
设点 P 的坐标为 ( , )x y 则
2
2
4
4
4
k
y
k
kx
消去参数 k 得 2 24 0x y y （*）
当 k 不存在时，A、B 中点为坐标原点（0，0），也满足（*）式，故点 P 的轨迹方
程为 2 24 0x y y
（2）由点 P 的轨迹方程知
4
1
4
1,16
12 xx 即
故 2 2 21 1| | ( ) ( )2 2NP x y
= 22 44
1)2
1( xx
12
7)6
1(3 2 x
故当 1
4x 时，| |NP
取得最小值，最小值为 1
4
；
当 1
6x 时，| |NP
取得最大值，最大值为 21
6 .
高中数学解析几何题型
本文档主要包含高中数学解析几何常见的 10 类题型与基本
方法和专题训练与高考预测：
考点 1.求参数的值
考点 2. 求线段的长
考点 3. 曲线的离心率
考点 4. 求最大(小)值
考点 5 圆锥曲线的基本概念和性质
考点 6 利用向量求曲线方程和解决相关问题
考点 7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题
考点 8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题
考点 9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题
考点 10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题
专题训练与高考预测
考点 1.求参数的值
求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.
例 1．若抛物线 2 2y px 的焦点与椭圆 2 2
16 2
x y 的右焦点重合，则 p 的值为（ ）
A． 2 B． 2 C． 4 D． 4
考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.
解答过程：椭圆 2 2
16 2
x y 的右焦点为(2,0)，所以抛物线 2 2y px 的焦点为(2,0)，则 4p ，
故选 D.
考点 2. 求线段的长
求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用
距离公式解之.
例 2．已知抛物线 y-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B，则|AB|等于
A.3 B.4 C.3 2 D.4 2
考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.
解：设直线 AB 的方程为 y x b ，由
2
2
1 2
3 3 0 1y x x x b x x
y x b
，
进而可求出 AB 的中点 1 1( , )2 2M b ，又由 1 1( , )2 2M b 在直线 0x y 上可求出
1b ，
∴ 2 2 0x x ，由弦长公式可求出 2 21 1 1 4 ( 2) 3 2AB ．
故选 C
例 3．如图，把椭圆 2 2
125 16
x y 的长轴
AB 分成8 等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部
分于 1 2 3 4 5 6 7, , , , , ,P P P P P P P 七个点， F 是椭圆的一个焦点，
则 1 2 3 4 5 6 7PF P F P F P F P F P F P F ____________.
考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.
解答过程：由椭圆 2 2
125 16
x y 的方程知 2 25, 5.a a
∴
1 2 3 4 5 6 7
7 2 7 7 5 35.2
aPF P F P F P F P F P F P F a
故填 35.
考点 3. 曲线的离心率
曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用:
(1)椭圆的离心率 e＝
a
c ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁);
(2) 双曲线的离心率 e＝
a
c ∈(1, ＋∞) (e 越大则双曲线开口越大).
结合有关知识来解题.
例 4．已知双曲线的离心率为 2，焦点是( 4,0) ，(4,0)，则双曲线方程为
A． 2 2
14 12
x y B． 2 2
112 4
x y C． 2 2
110 6
x y D． 2 2
16 10
x y
考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念.
解答过程： 2, 4,ce ca
所以 22, 12.a b 故选(A).
小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其
对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会.
例 5．已知双曲线 93 22 yx ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距
离之比等于（ ）
A. 2 B.
3
32 C. 2 D.4
考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率 e＝
a
c ∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力.
解答过程：依题意可知 3293,3 22 baca ．
考点 4.求最大(小)值
求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求
最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.
例 6．已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则 y12+y22
的最小值是 .
考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法.
解:设过点 P(4,0)的直线为 2 24 , 8 16 4 ,y k x k x x x
1 2
2 2 2 2
2
2 2
1 2 2 2
8 4 16 0,
8 4 14 4 16 2 32.
k x k x k
ky y x x k k
故填 32.
考点 5 圆锥曲线的基本概念和性质
圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，
要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.
例 7．
在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标
原点 O.椭圆
9
2
2
2 y
a
x =1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10.
（1）求圆 C 的方程；
（2）试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q，使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF
的长.若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
[考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识
进行推理运算的能力和解决问题的能力．
[解答过程] (1) 设圆 C 的圆心为 (m, n)
则 ,
2 2 2,
m n
n
解得 2,
2.
m
n
所求的圆的方程为 2 2( 2) ( 2) 8x y
(2) 由已知可得 2 10a ， 5a ．
椭圆的方程为 2 2
125 9
x y , 右焦点为 F( 4, 0) ;
假设存在 Q 点 2 2 2 cos ,2 2 2 sin 使 QF OF ,
2 2
2 2 2 cos 4 2 2 2 sin 4 ．
整理得 sin 3cos 2 2 ， 代入 2 2sin cos 1 ．
得: 210cos 12 2 cos 7 0 , 12 2 8 12 2 2 2cos 110 10
．
因此不存在符合题意的 Q 点.
例 8．
如图,曲线 G 的方程为 )0(22 yxy .以原点为圆心，以 )0( tt
为半径的圆分别与曲线 G 和 y 轴的 正半轴相交于 A 与点 B.
直线 AB 与 x 轴相交于点 C.
（Ⅰ）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式；
（Ⅱ）设曲线 G 上点 D 的横坐标为 2a ,求证：直线 CD 的斜率为定值.
[考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的
两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系
，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.
[解答过程]（I）由题意知， ).2,( aaA
因为 .2,|| 22 taatOA 所以
由于 .2,0 2 aatt 故有 （1）
由点 B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线 BC 的方程为 .1
t
y
c
x
又因点 A 在直线 BC 上，故有 ,12
t
a
c
a
将（1）代入上式，得 ,1
)2(
2
aa
a
c
a 解得 )2(22 aac .
（II）因为 ))2(22( aaD ，所以直线 CD 的斜率为
1
)2(2
)2(2
))2(22(2
)2(2
2
)2(2
a
a
aaa
a
ca
akCD
，
所以直线 CD 的斜率为定值.
例 9．已知椭圆
2 2
2 2
x yE : 1(a b 0)a b
，AB 是它的一条弦， M(2,1) 是弦 AB 的中点，若
以点 M(2,1) 为焦点，椭圆 E 的右准线为相应准线的双曲线 C 和直线 AB 交于点 N(4, 1) ，
若椭圆离心率 e 和双曲线离心率 1e 之间满足 1ee 1 ，求：
（1）椭圆 E 的离心率；（2）双曲线 C 的方程.
解答过程：（1）设 A、B 坐标分别为 1 1 2 2A(x , y ),B(x , y ) ，
则 2 2
1 1
2 2
x y 1a b
， 2 2
2 2
2 2
x y 1a b
，二式相减得：
2
1 2 1 2
AB 2
1 2 1 2
y y (x x )bk x x (y y )a
2
MN2
2b 1 ( 1)k 1a 2 4
，
所以 2 2 2 2a 2b 2(a c ) ， 2 2a 2c ， 则 c 2e a 2
；
（2）椭圆 E 的右准线为 2 2a ( 2c)x 2cc c
，双曲线的离心率 1
1e 2e
，
设 P(x, y) 是双曲线上任一点，则：
2 2(x 2) (y 1)| PM | 2| x 2c | | x 2c |
，
两端平方且将 N(4, 1) 代入得： c 1 或 c 3 ，
当 c 1 时，双曲线方程为： 2 2(x 2) (y 1) 0 ，不合题意，舍去；
当 c 3 时，双曲线方程为： 2 2(x 10) (y 1) 32 ，即为所求.
小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；
（2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义.
考点 6 利用向量求曲线方程和解决相关问题
利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算.
典型例题：
例 10．双曲线 C 与椭圆 2 2
18 4
x y 有相同的焦点，直线 y= x3 为 C 的一条渐近线.
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)过点 P(0,4)的直线l ，交双曲线 C 于 A,B 两点，交 x 轴于 Q 点（Q 点与 C 的顶点不重合）.
当 1 2PQ QA QB ，且
3
8
21 时，求 Q 点的坐标.
考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用
数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.
解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为 2 2
2 2 1x y
a b
,
由椭圆 2 2
18 4
x y ,求得两焦点为( 2,0),(2,0) ，
对于双曲线 : 2C c ，又 3y x 为双曲线 C 的一条渐近线
3b
a
解得 2 21, 3a b ，
双曲线C 的方程为 2
2 13
yx
（Ⅱ）解法一：
由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零.
设l 的方程： 1 14, ( , )y kx A x y ， 2 2( , )B x y ,则 4( ,0)Q k
.
1PQ QA
, 1 1 1
4 4( , 4) ( , )x yk k
.
1
11 1
1 1 1
1
4 4
4 4( )
44
x k kxk k
y y
1 1( , )A x y 在双曲线C 上， 21
2
1 1
116 16( ) 1 0k
.
2 2 2 2
1 1
1616 32 16 0.3 k k 2 2 2
1 1
16(16 ) 32 16 0.3k k
同理有： 2 2 2
2 2
16(16 ) 32 16 0.3k k
若 216 0,k 则直线l 过顶点，不合题意. 216 0,k
1 2, 是二次方程 2 2 216(16 ) 32 16 0.3k x x k 的两根.
1 2 2
32 8
16 3k
, 2 4k ，此时 0, 2k .
所求 Q 的坐标为 ( 2,0) .
解法二：由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零
设l 的方程， 1 1 2 24, ( , ), ( , )y kx A x y B x y ，则 4( ,0)Q k
.
1PQ QA
， Q 分 PA
的比为 1 .
由定比分点坐标公式得
1 1
1 1
1 1
1 1
1
11
4 4 (1 )1
4 40 1
x xk k
y y
下同解法一
解法三：由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零
设l 的方程： 1 1 2 24, ( , ), ( , )y kx A x y B x y ，则 4( ,0)Q k
.
1 2PQ QA QB
，
1 1 1 2 2 2
4 4 4( , 4) ( , ) ( , )x y x yk k k
.
1 1 2 24 y y ，
1
1
4
y
，
2
2
4
y
，
又
1 2
8
3
，
1 2
1 1 2
3y y
,即 1 2 1 23( ) 2y y y y .
将 4y kx 代入 2
2 13
yx 得 2 2 2(3 ) 24 48 3 0k y y k .
23 0k ，否则l 与渐近线平行.
2
1 2 1 22 2
24 48 3,3 3
ky y y yk k
.
2
2 2
24 48 33 23 3
k
k k
. 2k
( 2,0)Q .
解法四：由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等于零，设l 的方程： 4y kx ， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,
则 4( ,0)Q k
1PQ QA
, 1 1 1
4 4( , 4) ( , )x yk k
.
1
1
1
4
4
4 4
k
kxx k
.同理 1
2
4
4kx
.
1 2
1 2
4 4 8
4 4 3kx kx
.
即 2
1 2 1 22 5 ( ) 8 0k x x k x x . （*）
又 2
2
4
13
y kx
yx
消去 y 得 2 2(3 ) 8 19 0k x kx .
当 23 0k 时，则直线 l 与双曲线得渐近线平行，不合题意， 23 0k .
由韦达定理有：
1 2 2
1 2 2
8
3
19
3
kx x k
x x k
代入（*）式得 2 4, 2k k .
所求 Q 点的坐标为 ( 2,0) .
例 11．
设动点 P 到点 A(－l，0)和 B(1，0)的距离分别为 d1 和 d2，
∠APB＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得 d1d2 sin2θ＝λ．
（1）证明：动点 P 的轨迹 C 为双曲线，并求出 C 的方程；
（2）过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于 M、N 两点,试确定λ的范围,
使OM ·ON ＝0,其中点 O 为坐标原点．
[考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知
识进行推理运算的能力和解决问题的能力．
[解答过程]解法 1：（1）在 PAB△ 中， 2AB ，即 2 2 2
1 2 1 22 2 cos 2d d d d ，
2 2
1 2 1 24 ( ) 4 sind d d d ，即 2
1 2 1 24 4 sin 2 1 2d d d d （常数），
点 P 的轨迹C 是以 A B， 为焦点，实轴长 2 2 1a 的双曲线．
方程为： 2 2
11
x y
．
（2）设 1 1( )M x y， ， 2 2( )N x y，
①当 MN 垂直于 x 轴时， MN 的方程为 1x ， (11)M ， ， (1 1)N ， 在双曲线上．
即 21 1 1 51 1 01 2
，因为0 1 ，所以 5 1
2
．
②当 MN 不垂直于 x 轴时，设 MN 的方程为 ( 1)y k x ．
由
2 2
11
( 1)
x y
y k x
得： 2 2 2 2(1 ) 2(1 ) (1 )( ) 0k x k x k ，
由题意知： 2(1 ) 0k ，所以 2
1 2 2
2 (1 )
(1 )
kx x k
， 2
1 2 2
(1 )( )
(1 )
kx x k
．
于是： 2 2
2
1 2 1 2 2( 1)( 1) (1 )
ky y k x x k
．
因为 0ONOM ，且 M N， 在双曲线右支上，所以
2
1 2 1 2 2
2
1 2
2 2
1 2
(1 )0 (1 ) 5 1 210 1 1 2 31 00 1
x x y y k
x x
kx x
．
由①②知， 5 1 2
2 3
≤ ．
解法 2：（1）同解法 1
（2）设 1 1( )M x y， ， 2 2( )N x y， ， MN 的中点为 0 0( )E x y， ．
①当 1 2 1x x 时， 2 21 1 01MB
，
因为0 1 ，所以 5 1
2
；
②当 1 2x x 时，
0
0
2
2
2
2
2
1
2
1
111
11
y
xk
yx
yx
MN
．
又 0
0 1MN BE
yk k x
．所以 2 2
0 0 0(1 )y x x ；
由
2MON ∠ 得
2
2 2
0 0 2
MNx y
，由第二定义得
2 2
1 2( ) 2
2 2
MN e x x a
2
2
0 0 0
1 11 (1 ) 211
x x x
．
C
B
A
o
y
x
所以 2 2 2
0 0 0(1 ) 2(1 ) (1 )y x x ．
于是由 2 2
0 0 0
2 2 2
0 0 0
(1 ) ,
(1 ) 2(1 ) (1 ) ,
y x x
y x x
得 2
0
(1 ) .2 3x
因为 0 1x ，所以 2(1 ) 12 3
，又 0 1 ，
解得： 5 1 2
2 3
．由①②知 5 1 2
2 3
≤ ．
考点 7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题
利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用
解析几何知识建立等量关系容易.
例 12．设椭圆 E 的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 3
3
，过点 C( 1,0) 的直线
交椭圆 E 于 A、B 两点，且CA 2BC ，求当 AOB 的面积达到最大值时直线和椭圆 E 的方
程.
解答过程：因为椭圆的离心率为 3
3
，故可设椭圆方程为 2 22x 3y t(t 0) ，直线方程为
my x 1 ，
由 2 22x 3y t
my x 1
得： 2 2(2m 3)y 4my 2 t 0 ，设 1 1 2 2A(x , y ),B(x , y ) ，
则 1 2 2
4my y 2m 3
…………①
又CA 2BC ，故 1 1 2 2(x 1,y ) 2( 1 x , y ) ，即 1 2y 2y …………②
由①②得：
1 2
8my 2m 3
，
2 2
4my 2m 3
，
则
AOB 1 2 2
1 mS | y y | 6 | |2 2m 3
＝ 6 6
3 22 | m | | m |
，
当 2 3m 2
，即 6m 2
时， AOB 面积取最大值，
此时 2
1 2 2 2 2
2 t 32my y 2m 3 (2m 3)
，即 t 10 ，
所以，直线方程为 6x y 1 02
，椭圆方程为 2 22x 3y 10 .
小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.
例 13．已知 PA (x 5, y) ， PB (x 5, y) ，且| PA | | PB | 6 ， 求| 2x 3y 12 | 的最大
值和最小值.
解答过程：设 P(x, y) ， A( 5,0) ， B( 5,0) ，
因为| PA | | PB| 6 ，且| AB| 2 5 6 ，
所以，动点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆，
椭圆方程为 2 2x y 19 4
，令 x 3cos , y 2sin ，
则| 2x 3y 12 | ＝| 6 2 cos( ) 12 |4
，
当cos( ) 14
时，| 2x 3y 12 | 取最大值12 6 2 ，
当cos( ) 14
时，| 2x 3y 12 | 取最小值12 6 2 .
小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算.
考点 8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题
解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域
问题.
例 14．（2006 年福建卷） 已知椭圆 2
2 12
x y 的左焦点为 F，
O 为坐标原点.
（I）求过点 O、F，并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程；
（II）设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，
线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围.
考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考
查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.
解答过程：（I） 2 22, 1, 1, ( 1,0), : 2.a b c F l x
圆过点 O、F，
圆心 M 在直线 1
2x 上.
设 1( , ),2M t 则圆半径 1 3( ) ( 2) .2 2r
由 ,OM r 得 2 21 3( ) ,2 2t
解得 2.t
所求圆的方程为 2 21 9( ) ( 2) .2 4x y
F
E
P
D
B
A
O
y
x
（II）设直线 AB 的方程为 ( 1)( 0),y k x k
代入 2
2 1,2
x y 整理得 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0.k x k x k
直线 AB 过椭圆的左焦点 F，方程有两个不等实根.
记 1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y AB 中点 0 0( , ),N x y
则 2
1 2 2
4 ,2 1
kx x k
AB 的垂直平分线 NG 的方程为
0 0
1 ( ).y y x xk
令 0,y 得
2 2 2
0 0 2 2 2 2
2 1 1 .2 1 2 1 2 1 2 4 2
10, 0,2
G
G
k k kx x ky k k k k
k x
点 G 横坐标的取值范围为 1( ,0).2
例 15．已知双曲线 C： 2 2
2 2
x y 1(a 0,b 0)a b
，B 是右顶点，F 是右焦点，点 A 在 x 轴正半
轴上，且满足| OA |,| OB |,| OF |
成等比数列，过 F 作双曲线 C 在第一、三象限的渐近线的垂
线l ，垂足为 P，
（1）求证： PA OP PA FP ；
（2）若l 与双曲线 C 的左、右两支分别相交于点 D,E，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围.
解答过程：（1）因| OA |,| OB|,| OF|
成等比数列，故 2 2| OB | a| OA | c| OF |
，即
2aA( ,0)c
，
直线l ： ay (x c)b
，
由 2
ay (x c) a abb P( , )b c cy xa
，
故：
2 2ab a ab b abPA (0, ),OP ( , ),FP ( , )c c c c c
，
则：
2 2
2
a bPA OP PA FPc
，即 PA OP PA FP ；
（或 PA (OP FP) PA (PF PO) PA OF 0 ，即 PA OP PA FP ）
（2）由
4 4 4 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
ay (x c) a a a c(b )x 2 cx ( a b ) 0b b b bb x a y a b
，
由
4 2
2 2
2
1 2 4
2
2
a c( a b )bx x 0ab b
得： 4 4 2 2 2 2 2b a b c a a e 2 e 2.
（或由 DF DOk k a b
b a
2 2 2 2 2b c a a e 2 e 2 ）
小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求
出各个点的坐标.
例 16．已知 a (x,0) ， b (1, y) ， (a 3b) (a 3b) ，
（1）求点 P(x, y) 的轨迹 C 的方程；
（2）若直线 y kx m(m 0) 与曲线 C 交于 A、B 两点， D(0, 1) ，且| AD | | BD | ，
试求 m 的取值范围.
解答过程：（1） a 3b ＝ (x,0) 3(1, y) (x 3, 3y) ，
a 3b ＝ (x,0) 3(1, y) (x 3, 3y) ，
因 (a 3b) (a 3b) ，故 (a 3b) (a 3b) 0 ，
即 2 2(x 3, 3y) (x 3, 3y) x 3y 3 0 ，
故 P 点的轨迹方程为
2
2x y 13
.
（2）由 2 2
y kx m
x 3y 3
得： 2 2 2(1 3k )x 6kmx 3m 3 0 ，
设 1 1 2 2A(x , y ),B(x , y ) ，A、B 的中点为 0 0M(x , y )
则 2 2 2 2 2(6km) 4(1 3k )( 3m 3) 12(m 1 3k ) 0 ，
1 2 2
6kmx x 1 3k
， 1 2
0 2
x x 3kmx 2 1 3k
， 0 0 2
my kx m 1 3k
，
即 A、B 的中点为 2 2
3km m( , )1 3k 1 3k
，
则线段 AB 的垂直平分线为： 2 2
m 1 3kmy ( )(x )1 3k k 1 3k
，
P
Q
C
B
A
x
y
O
将 D(0, 1) 的坐标代入，化简得： 24m 3k 1 ，
则由
2 2
2
m 1 3k 0
4m 3k 1
得： 2m 4m 0 ，解之得 m 0 或 m 4 ，
又 24m 3k 1 1 ，所以 1m 4
，
故 m 的取值范围是 1( ,0) (4, )4
.
小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象.
考点 9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题
存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐
标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立.
例 17．已知 A,B,C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点，点 A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的
中心 O，且 AC BC 0 ，| BC | 2 | AC | ，
（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上的两点 P,Q 使 PCQ 的平分线垂直于 OA，是否总存在实数 λ ，使得
PQ λAB ？请说明理由；
解答过程：（1）以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立
平面直角坐标系，则 A(2,0) ，
设椭圆方程为
2 2
2
x y 14 b
，不妨设 C 在 x 轴上方，
由椭圆的对称性，| BC | 2 | AC | 2 | OC | | AC | | OC | ，
又 AC BC 0
AC OC ，即 ΔOCA 为等腰直角三角形，
由 A(2,0) 得： C(1,1) ，代入椭圆方程得： 2 4b 3
，
即，椭圆方程为
2 2x 3y 14 4
；
（2）假设总存在实数 λ ，使得 PQ λAB ，即 AB// PQ ，
由 C(1,1) 得 B( 1, 1) ，则 AB
0 ( 1) 1k 2 ( 1) 3
，
若设 CP： y k(x 1) 1 ，则 CQ： y k(x 1) 1 ，
由
2 2
2 2 2
x 3y 1 (1 3k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1 04 4
y k(x 1) 1
，
由 C(1,1) 得 x 1 是方程 2 2 2(1 3k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1 0 的一个根，
由韦达定理得：
2
P P 2
3k 6k 1x x 1 1 3k
，以 k 代 k 得
2
Q 2
3k 6k 1x 1 3k
，
故 P Q P Q
PQ
P Q P Q
y y k(x x ) 2k 1k x x x x 3
，故 AB// PQ ，
即总存在实数 λ ，使得 PQ λAB
.
评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及
探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题.
考点 10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题
直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进
一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围.
例 18．设 G、M 分别是 ABC 的重心和外心，A(0, a) ，B(0,a)(a 0) ，且 GM AB ，
（1）求点 C 的轨迹方程；
（2）是否存在直线 m，使 m 过点 (a,0) 并且与点 C 的轨迹交于 P、Q 两点，且
OP OQ 0 ？若存在，求出直线 m 的方程；若不存在，请说明理由.
解答过程：（1）设 C(x, y) ，则 x yG( , )3 3
，
因为 GM AB ，所以 GM // AB，则 xM( ,0)3
，
由 M 为 ABC 的外心，则| MA | | MC | ，即 2 2 2 2x x( ) a ( x) y3 3
，
整理得：
2 2
2 2
x y 1(x 0)3a a
；
（2）假设直线 m 存在，设方程为 y k(x a) ，
由 2 2
2 2
y k(x a)
x y 1(x 0)3a a
得： 2 2 2 2 2(1 3k )x 6k ax 3a (k 1) 0 ，
设 1 1 2 2P(x , y ),Q(x , y ) ，则
2
1 2 2
6k ax x 1 3k
，
2 2
1 2 2
3a (k 1)x x 1 3k
，
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2y y k (x a)(x a) k [x x a(x x ) a ] ＝
2 2
2
2k a
1 3k
，
由 OP OQ 0 得： 1 2 1 2x x y y 0 ，
即
2 2 2 2
2 2
3a (k 1) 2k a 01 3k 1 3k
，解之得 k 3 ，
又点 (a,0) 在椭圆的内部，直线 m 过点 (a,0) ，
故存在直线 m，其方程为 y 3(x a) .
小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的
结果，然后做出正确的判断；
（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组
成的方程组的求解问题.
专题训练与高考预测
一、选择题
1．如果双曲线经过点(6, 3)，且它的两条渐近线方程是 1y x3
，那么双曲线方程是（）
A． 2 2x y 136 9
B． 2 2x y 181 9
C． 2
2x y 19
D． 2 2x y 118 3
2．已知椭圆 2 2
2 2
x y 13m 5n
和双曲线 2 2
2 2
x y 12m 3n
有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方
程为（ ）
A. 15x y2
B. 15y x2
C. 3x y4
D. 3y x4
3．已知 1 2F ,F 为椭圆 2 2
2 2
x y 1(a b 0)a b
的焦点，M 为椭圆上一点， 1MF 垂直于 x 轴，
且 1 2FMF 60 ，则椭圆的离心率为（ ）
A. 1
2
B. 2
2
C. 3
3
D. 3
2
4．二次曲线 2 2x y 14 m
，当 m [ 2, 1] 时，该曲线的离心率 e 的取值范围是（ ）
A. 2 3[ , ]2 2
B. 3 5[ , ]2 2
C. 5 6[ , ]2 2
D. 3 6[ , ]2 2
5．直线 m 的方程为 y kx 1 ，双曲线 C 的方程为 2 2x y 1 ，若直线 m 与双曲线 C 的右
支相交于不重合的两点，则实数 k 的取值范围是（ ）
A.( 2, 2) B.(1, 2) C.[ 2, 2) D.[1, 2)
6．已知圆的方程为 2 2x y 4 ，若抛物线过点 A( 1,0) ， B(1,0) ，且以圆的切线为准线，
则抛物线的焦点的轨迹方程为（ ）
A.
2 2x y 1(y 0)3 4
B.
2 2x y 1(y 0)4 3
C.
2 2x y 1(x 0)3 4
D.
2 2x y 1(x 0)4 3
二、填空题
7 ． 已 知 P 是 以 1F 、 2F 为 焦 点 的 椭 圆 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 上 一 点 ， 若 021 PFPF
2
1tan 21 FPF ，则椭圆的离心率为 ______________ .
8．已知椭圆 x2+2y2=12，A 是 x 轴正方向上的一定点，若过点 A，斜率为 1 的直线被椭圆
截得的弦长为
3
134 ，点 A 的坐标是______________ .
9．P 是椭圆 2 2x y 14 3
上的点， 1 2F ,F 是椭圆的左右焦点，设 1 2| PF | | PF | k ，则 k 的最大值
与最小值之差是______________ .
10．给出下列命题：
①圆 2 2(x 2) (y 1) 1 关于点 M( 1,2) 对称的圆的方程是 2 2(x 3) (y 3) 1 ；
②双曲线 2 2x y 116 9
右支上一点 P 到左准线的距离为 18，那么该点到右焦点的距离为 29
2
；
③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点 ( 4, 3) 的抛物线方程只能是 2 9y x4
；
F
2
F
1
A
2
A
1
P
N
M
o
y
x
F
Q
o
y
x
④P、Q 是椭圆 2 2x 4y 16 上的两个动点，O 为原点，直线 OP,OQ 的斜率之积为 1
4
，
则 2 2| OP | | OQ | 等于定值 20 .
把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ .
三、解答题
11．已知两点A( 2,0)， B( 2,0) ，动点 P 在 y 轴上的射影为 Q， 2PA PB 2PQ
，
（1）求动点 P 的轨迹 E 的方程；
（2）设直线 m 过点 A，斜率为 k，当 0 k 1 时，曲线 E 的上支上有且仅有一点 C 到直
线 m 的距离为 2 ，试求 k 的值及此时点 C 的坐标.
12．如图， 1F ( 3,0) ， 2F (3,0) 是双曲线 C 的两焦点，直线 4x 3
是双曲线 C 的右准线， 1 2A ,A
是双曲线 C 的两个顶点，点 P 是双曲线 C 右支上异于 2A 的一动点，直线 1A P 、 2A P 交双
曲线 C 的右准线分别于 M,N 两点，
（1）求双曲线 C 的方程；
（2）求证： 1 2FM F N 是定值.
13．已知 OFQ 的面积为 S，且OF FQ 1 ，建立如图所示坐标系，
（1）若 1S 2
，| OF | 2 ，求直线 FQ 的方程；
（2）设| OF| c(c 2) ， 3S c4
，若以 O 为中心，F 为焦点的椭圆过点 Q，求当| OQ |
取
得最小值时的椭圆方程.
B
A
M
Q
E
T
H
P
o
y
x
14．已知点 H( 3,0) ，点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 PQ 上，且满
足 HP PM 0 ， 3PM MQ2
，
（1）当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹 C；
（2）过点 T( 1,0) 作直线 m 与轨迹 C 交于 A、B 两点，若在 x 轴上存在一点
0E(x ,0) ，使得 ABE 为等边三角形，求 0x 的值.
15．已知椭圆 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 的长、短轴端点分别为 A、B，从此椭圆上一点 M 向 x
轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 1F ，向量 AB 与OM 是共线向量．
（1）求椭圆的离心率 e；
（2）设 Q 是椭圆上任意一点， 1F 、 2F 分别是左、右焦点，求∠ 21QFF 的取值范围；
16．已知两点 M（-1，0），N（1，0）且点 P 使 NPNMPNPMMNMP ,, 成公差小于零的等
差数列，
（Ⅰ）点 P 的轨迹是什么曲线？
（Ⅱ）若点 P 坐标为 ),( 00 yx ， 为 PNPM与 的夹角，求 tanθ．
【参考答案】
一. 1．C .提示，设双曲线方程为 1 1( x y)( x y)3 3
，将点 (6, 3) 代入求出 即可.
2．D .因为双 曲线的焦 点在 x 轴上， 故椭圆焦 点为 2 2( 3m 5n ,0) ，双曲 线焦点为
2 2( 2m 3n ,0) ， 由 2 2 2 23m 5n 2m 3n 得 | m | 2 2 | n | ， 所 以 ， 双 曲 线 的 渐 近 线 为
6 | n | 3y x2 | m | 4
.
3．C .设 1| MF | d ，则 2| MF | 2d ， 1 2| FF | 3d ，
1 2
1 2
| FF |c 2c 3d 3e a 2a | MF | | MF | d 2d 3
.
4.C .曲线为双曲线，且 5 12
，故选 C；或用 2a 4 ， 2b m 来计算.
5．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组.
6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义.
二.7．解：设 c 为为椭圆半焦距，∵ 021 PFPF ，∴ 21 PFPF .
又
2
1tan 21 FPF ∴
2
1
2
)2(
1
2
21
22
2
2
1
PF
PF
aPFPF
cPFPF
解得： 2 5 5( ) 9 3,c cea a
． 选 D．
8． 解：设 A（x0，0）（x0＞0），则直线 l 的方程为 y=x-x0，设直线 l 与椭圆相交于 P（x1，
y1），Q（x2、y2），由 y=x-x0 可得 3x2-4x0x+2x02-12=0，
x2+2y2=12
3
4 0
21
xxx ，
3
122 2
0
21
xxx ，则
2
0
2
0
2
0
21
2
2121 2363
2
3
488
9
164)(|| xxxxxxxxx ．
∴ ||13
144
21
2 xxx ，即 2
02363
223
144 x ．
∴x02=4，又 x0＞0，∴x0=2，∴A（2，0）．
9．1； 2 2 2
1 2k | PF | | PF | (a ex)(a ex) a e x .
10．②④.
三. 11．解（1）设动点 P 的坐标为 (x, y) ，则点 Q(0, y) ，PQ ( x,0) ，PA ( 2 x, y) ，
PB ( 2 x, y) ， 2 2PA PB x 2 y ，
因为 2PA PB 2PQ
，所以 2 2 2x 2 y 2x ，
即动点 P 的轨迹方程为： 2 2y x 2 ；
（2）设直线 m： y k(x 2)(0 k 1) ，
依题意，点 C 在与直线 m 平行，且与 m 之间的距离为 2 的直线上，
设此直线为 1m : y kx b ，由
2
| 2k b | 2
k 1
，即 2b 2 2kb 2 ，……①
把 y kx b 代入 2 2y x 2 ，整理得： 2 2 2(k 1)x 2kbx (b 2) 0 ，
则 2 2 2 24k b 4(k 1)(b 2) 0 ，即 2 2b 2k 2 ，…………②
由①②得： 2 5k 5
， 10b 5
，
此时，由方程组
2 2
2 5 10y x C(2 2, 10)5 5
y x 2
.
12．解：（1）依题意得： c 3 ，
2a 4
c 3
，所以 a 2 ， 2b 5 ，
所求双曲线 C 的方程为
2 2x y 14 5
；
（2）设 0 0P(x , y ) ， 1 1M(x , y ) ， 2 2N(x , y ) ，则 1A ( 2,0) ， 2A (2,0) ，
1 0 0A P (x 2, y ) ， 2 0 0A P (x 2, y ) ，
1 1
10A M ( , y )3
， 2 2
2A N ( , y )3
，
因为 1A P
与 1A M
共线，故 0 1 0
10(x 2)y y3
， 0
1
0
10yy 3(x 2)
，同理： 0
2
0
2yy 3(x 2)
，
则 1 1
13FM ( , y )3
， 2 2
5F N ( , y )3
，
所以 1 2FM F N ＝ 1 2
65 y y9
＝ 2
0
2
0
20y65
9 9(x 4)
＝
2
0
2
0
5(x 4)2065 4 109 9(x 4)
.
13．解：（1）因为| OF | 2 ，则 F(2,0) ，OF (2,0) ，设 0 0Q(x , y ) ，则 0 0FQ (x 2,y ) ，
0OF FQ 2(x 2) 1 ，解得 0
5x 2
，
由 0 0
1 1S | OF | | y | | y |2 2
，得 0
1y 2
，故 5 1Q( , )2 2
，
所以，PQ 所在直线方程为 y x 2 或 y x 2 ；
（2）设 0 0Q(x , y ) ，因为| OF | c(c 2) ，则 0 0FQ (x c,y ) ，
由 0OF FQ c(x c) 1 得： 0
1x c c
，
又 0
1 3S c | y | c2 4
，则 0
3y 2
，
1 3Q(c , )c 2
， 2 21 9| OQ | (c )c 4
，
易知，当 c 2 时，| OQ |
最小，此时 5 3Q( , )2 2
，
设椭圆方程为
2 2
2 2
x y 1,(a b 0)a b
，则
2 2
2 2
a b 4
25 9 14a 4b
，解得
2
2
a 10
b 6
，
所以，椭圆方程为
2 2x y 110 6
.
14．解：（1）设 M(x, y) ，由 3PM MQ2
得： yP(0, )2
， xQ( ,0)3
，
由 HP PM 0 得： y 3y(3, )(x, ) 02 2
，即 2y 4x ，
由点 Q 在 x 轴的正半轴上，故 x 0 ，
即动点 M 的轨迹 C 是以 (0,0) 为顶点，以 (1,0) 为焦点的抛物线，除去原点；
（2）设 m : y k(x 1)(k 0) ，代入 2y 4x 得：
2 2 2 2k x 2(k 2)x k 0 …………①
设 1 1A(x , y ) ， 2 2B(x , y ) ，则 1 2x ,x 是方程①的两个实根，
则
2
1 2 2
2(k 2)x x k
， 1 2x x 1 ，所以线段 AB 的中点为
2
2
2 k 2( , )k k
，
线段 AB 的垂直平分线方程为 2
2
2 1 2 ky (x )k k k
，
令 y 0 ，
0 2
2x 1k
，得
2
2E( 1,0)k
，
因为 ABE 为正三角形，则点 E 到直线 AB 的距离等于 3 | AB |2
，
又 2 2
1 2 1 2| AB| (x x ) (y y ) ＝ 2
2
2
4 1 k 1 kk
，
所以， 4
2
2
2 3 1 k 2 1 kk | k |
，解得： 3k 2
， 0
11x 3
.
15．解：（1）∵
a
bycxcF MM
2
1 ,),0,( 则 ，∴
ac
bkOM
2
.
∵ ABOMa
bk AB 与, 是共线向量，∴
a
b
ac
b
2 ，∴b=c,故
2
2e .
（2）设 1 1 2 2 1 2
1 2 1 2
, , ,
2 , 2 ,
FQ r F Q r F QF
r r a F F c
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
21 21 2 1 2 1 2
4 ( ) 2 4cos 1 1 02 2 ( )2
r r c r r rr c a a
r rrr rr rr
当且仅当 21 rr 时，cosθ=0，∴θ ]2,0[ .
16．解：（Ⅰ）记 P（x,y），由 M（-1，0）N（1，0）得
( 1 , ),PM MP x y
),1( yxNPPN ， )0,2( NMMN .
所以 )1(2 xMNMP . 122 yxPNPM ， )1(2 xNPNM .
于是， NPNMPNPMMNMP ,, 是公差小于零的等差数列等价于
0)1(2)1(2
)]1(2)1(2[2
1122
xx
xxyx 即
0
322
x
yx .
所以，点 P 的轨迹是以原点为圆心， 3 为半径的右半圆.
（Ⅱ）点 P 的坐标为 ),( 00 yx 。 212
0
2
0 yxPNPM .
2 22 2 2
0 0 0 0 0 0 0(1 ) (1 ) (4 2 ) (4 2 ) 2 4PM PN x y x y x x x
2
0
1cos .
4
PM PN
PM PN x
所以 因为 0〈 30 x ，
所以
,30,1cos2
1 ,
4
11cos1sin 2
0
2
x
.3
4
1
4
11
cos
sintan 0
2
0
2
0
2
0 yx
x
x
高考文科数学专题复习导数训练题（文）(附参考答案)
一、考点回顾
1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为
主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义.
2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少
的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重
于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函
数、不等式、数列的综合应用.
3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内
只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是
最值.
二、经典例题剖析
考点一：求导公式
例1 )(/ xf 是 123
1)( 3 xxxf 的导函数，则 )1(/f .
考点二：导数的几何意义
例 2. 已 知 函 数 )(xfy 的 图 象 在 点 ))1(,1( fM 处 的 切 线 方 程 是 22
1 xy ， 则
)1()1( /ff .
考点三：导数的几何意义的应用
例 3. 已 知 曲 线 ,23: 23 xxxyC 直 线 ,: kxyl 且 直 线 l 与 曲 线 C 相 切 于 点
,0, 000 xyx 求直线l 的方程及切点坐标.
考点四：函数的单调性
例4.设函数 cbxaxxxf 8332)( 23 在 1x 及 2x 时取得极值.
(1)求 ba, 的值及函数 )(xf 的单调区间；
(2)若对于任意的 ,3,0x 都有 )(xf < 2c 成立，求 c 的取值范围.
考点五：函数的最值
例5.已知 a 为实数， ).)(4()( 2 axxxf (1)求导数 )(/ xf ；(2)若 ,0)1(/ f 求 )(xf 在区间 2,2
上的最值.
考点六：导数的综合性问题
例6. 设函数 )0()( 3 acbxaxxf 为奇函数，其图象在点 )1(,1 f 处的切线与直线
076 yx 垂直，导函数 .12|)( min
/ xf (1)求 cba ,, 的值；
(2)求函数 )(xf 的单调递增区间，并求函数 )(xf 在 3,1 上的最大值和最小值.
例 7．已知 cxbxaxxf 23)( 在区间 1,0 上是增函数,在区间 ,1,0, 上是减函数，又
1 3
2 2f
．
（Ⅰ）求 ( )f x 的解析式；（Ⅱ）若在区间[0 ]( 0)m m， 上恒有 ( )f x x≤ 成立，求 m 的取值范
围．
例 8．设函数 2( ) ( )f x x x a （ xR ），其中 aR ．（Ⅰ）当 1a 时，求曲线 ( )y f x
在点 (2 (2))f， 处的切线方程；（Ⅱ）当 0a 时，求函数 ( )f x 的极大值和极小值；
（Ⅲ）当 3a 时，证明存在 1 0k ， ，使得不等式 2 2( cos ) ( cos )f k x f k x ≥ 对任意的
xR 恒成立．
例 9．已知 ),,()( 23 Rcbacbxxaxxf 在 0, 上是增函数, 3,0 上是减函数,方程
0)( xf 有三个实根，它们分别是 .,2, (1)求b 的值，并求实数 a 的取值范围；(2)求证：
≥ .2
5
三、 方法总结
（一）方法总结
导数是中学限选内容中较为重要的知识，由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有
关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具．导数的概念及其运算是导数
应用的基础，是高考重点考查的对象．要牢记导数公式，熟练应用导数公式求函数的导数，
掌握求导数的方法．应用导数解决实际问题的关键是要建立恰当的数学模型，了解导数概念
的实际背景．应用导数求函数最值及极值的方法在例题讲解中已经有了比较详细的叙述．
（二）高考预测
导数的考查方式以客观题为主，主要考查求导数的基本公式和法则，以及导数的几何意
义．也可以解答题的形式出现，即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合
题．导数的应用是重点，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值、最值、值域问题．
四、强化训练
1．已知曲线
4
2xy 的一条切线的斜率为
2
1 ，则切点的横坐标为（ A ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．函数 ,93)( 23 xaxxxf 已知 )(xf 在 3x 时取得极值，则 a （ D ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
3．函数 32
3
12)( xxxf 在区间 6,0 上的最大值是（ A ）
A．
32
3 B．
16
3 C．12 D．9
4．三次函数 xaxy 3 在 ,x 内是增函数，则 （ A ）
A． 0a B． 0a C． 1a D．
3
1a
5．在函数 xxy 83 的图象上,其切线的倾斜角小于
4
的点中,坐标为整数的点的个数是
（ D ）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．已知函数 ,)( 23 cbxaxxxf 当 1x 时，取得极大值7；当 1x 时，取得极
小值．求这个极小值及 cba ,, 的值．
7．设函数 ).()( 23 Rxcxbxxxf 已知 )()()( / xfxfxg 是奇函数.
（1）求 cb, 的值；（2）求 )(xg 的单调区间与极值.
8．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问
该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
9．已知函数 3 3 1, 5f x x ax g x f x ax ，其中 'f x 是的导函数.
(I)对满足 1 1a 的一切 a 的值，都有 0g x ，求实数 x 的取值范围；
(II)设 2a m ，当实数 m 在什么范围内变化时，函数 y f x 的图象与直线 3y 只有一个
公共点.
10．设函数 2 2( ) 2 1( 0)f x tx t x t x t R， ．(I)求 ( )f x 的最小值 ( )h t ；
(II)若 ( ) 2h t t m 对 (0 2)t ， 恒成立，求实数 m 的取值范围．
11．设函数 ).,(4)1(3)( 2
3
Rbabaxxaxxf
(I)若函数 )(xf 在 3x 处取得极小值 ,2
1 求 ba, 的值；(II)求函数 )(xf 的单调递增区间；
(III) 若函数 )(xf 在 )1,1( 上有且只有一个极值点，求实数 a 的取值范围．
12．已知二次函数 ),,()( 2 Rcbacbxaxxf 满足：对任意 Rx ，都有 )(xf ≥ ,x 且
当 )3,1(x 时，有 )(xf ≤ 2)2(8
1 x 成立．(I)试求 )2(f 的值；(II)若 ,0)2( f 求 )(xf 的
表达式；
(III)在(II)的条件下，若 ,0x 时， )(xf >
4
1
2
xm 恒成立，求实数 m 的取值范围．
13．已知函数 ).,(4)(,6)23(2
1
3)( 223 Rmamxaxxgxxaxaxf
(I)当 3,0,1 xa 时，求 ( )f x 的最大值和最小值；
(II)当 a <2 且 0a 时，无论 a 如何变化，关于 x 的方程 )()( xgxf 总有三个不同实根，求
m 的取值范围．
例题参考答案
例 1 3；例 2 3；例 3
8
3,2
3,4
1xy ；例 4 (1) ,4,3 ba 增区间为 ,2,1, ；
减区间为 2,1 ，
(2) ,91, ； 例 5 (1) ,423)( 2/ axxxf
(2) .27
50)3
4()(,2
9)1()( minmax fxffxf ；
例 6 (1) .0,12,2 cba (2)
.28)2()(,18)3()(;,2,2, minmax fxffxf ；
例 7 解：（Ⅰ） 2( ) 3 2f x ax bx c ，由已知 (0) (1) 0f f ，
即 0
3 2 0
c
a b c
，
，解得
0
3
2
c
b a
，
．
2( ) 3 3f x ax ax ， 1 3 3 3
2 4 2 2
a af
， 2a ， 3 2( ) 2 3f x x x ．
（Ⅱ）令 ( )f x x≤ ，即 3 22 3 0x x x ≤ ， (2 1)( 1) 0x x x ≥ ， 10 2x ≤ ≤ 或
1x≥ ．
又 ( )f x x≤ 在区间 0 m， 上恒成立， 10 2m ≤ ．
例 8 解：（Ⅰ）当 1a 时， 2 3 2( ) ( 1) 2f x x x x x x ，得 (2) 2f ，且
2( ) 3 4 1f x x x ， (2) 5f ．
所 以 ， 曲 线 2( 1)y x x 在 点 (2 2)， 处 的 切 线 方 程 是 2 5( 2)y x ， 整 理 得
5 8 0x y ．
（ Ⅱ ） 解 ： 2 3 2 2( ) ( ) 2f x x x a x ax a x ，
2 2( ) 3 4 (3 )( )f x x ax a x a x a ．
令 ( ) 0f x ，解得
3
ax 或 x a ．
由于 0a ，以下分两种情况讨论．
（1）若 0a ，当 x 变化时， ( )f x 的正负如下表：
x
3
a
∞，
3
a
3
a a
， a ( )a ，∞
( )f x 0 0
因此，函数 ( )f x 在
3
ax 处取得极小值
3
af
，且 34
3 27
af a
；
函数 ( )f x 在 x a 处取得极大值 ( )f a ，且 ( ) 0f a ．
（2）若 0a ，当 x 变化时， ( )f x 的正负如下表：
x a∞， a
3
aa
，
3
a
3
a
，∞
( )f x 0 0
因此，函数 ( )f x 在 x a 处取得极小值 ( )f a ，且 ( ) 0f a ；
函数 ( )f x 在
3
ax 处取得极大值
3
af
，且 34
3 27
af a
．
（Ⅲ）证明：由 3a ，得 13
a ，当 1 0k ， 时， cos 1k x ≤ ， 2 2cos 1k x ≤ ．
由（Ⅱ）知， ( )f x 在 1∞， 上是减函数，要使 2 2( cos ) ( cos )f k x f k x ≥ ， xR
只 要 2 2cos cos ( )k x k x x R≤ 即 2 2cos cos ( )x x k k x R≤
①
设
2
2 1 1( ) cos cos cos 2 4g x x x x
，则函数 ( )g x 在 R 上的最大值为 2 ．
要使①式恒成立，必须 2 2k k ≥ ，即 2k ≥ 或 1k ≤ ．
所以，在区间 1 0 ， 上存在 1k ，使得 2 2( cos ) ( cos )f k x f k x ≥ 对任意的 xR 恒
成立．
例 9 解：(1) )(,23)( 2/ xfbxaxxf 在 0, 上是增函数，在 3,0 上是减函数，
所以当 0x 时， )(xf 取得极小值，
.048,0)2(.0,0)0(/ cafbf
又 方 程 0)( xf 有 三 实 根 ， 023)(.0 2/ bxaxxfa 的 两 根 分 别 为
.3
2,0 21 axx
又 )(xf 在 0, 上是增函数，在 3,0 上是减函数， )(/ xf >0 在 0, 上恒成立，
)(/ xf <0 在 3,0 上恒成立．
由二次函数的性质知， a >0 且
a3
2 ≥ 0,3 < a ≤ .9
2 故实数 a 的取值范围为 .9
2,0
(2) ,2, 是方程 0)( xf 的三个实根，
则 可 设
.2)22()2())(2)(()( 23 axaxaaxxxxaxf
又 ),,()( 23 Rcbacbxxaxxf 有 ,21,1)2(
aa
0 < a ≤ ,9
2 ≥ .2
5
强化训练答案：
6．解： baxxxf 23)( 2/ .
据题意，－1，3是方程 023 2 baxx 的两个根，由韦达定理得
331
3
231
b
a
∴ cxxxxfba 93)(,9,3 23 ， 2,7)1( cf
∴极小值 25239333)3( 23 f
7．解：（1）∵ 3 2f x x bx cx ，∴ 23 2f x x bx c 。从而
3 2 2( ) ( ) ( ) (3 2 )g x f x f x x bx cx x bx c ＝
3 2( 3) ( 2 )x b x c b x c 是
一个奇函数，所以 (0) 0g 得 0c ，由奇函数定义得 3b ；
（2）由（Ⅰ）知
3( ) 6g x x x ，从而
2( ) 3 6g x x ，由此可知，
( , 2) 和 ( 2, ) 是函数 ( )g x 是单调递增区间；
( 2, 2) 是函数 ( )g x 是单调递减区间；
( )g x 在 2x 时，取得极大值，极大值为 4 2 ， ( )g x 在 2x 时，取得极小值，极小
值为 4 2 。
8 ． 解 ： 设 长 方 体 的 宽 为 x （ m ）， 则 长 为 x2 (m) ， 高 为
2
30(m)35.44
1218 ＜＜xxxh
.
故长方体的体积为
2
306935.42 3322 xmxxxxxV
从而 ).1(18)35.4(1818)( 2 xxxxxxV
令 0' xV ，解得 0x （舍去）或 1x ，因此 1x .
当 10 x 时， 0' xV ；当 2
31 x
时， 0' xV ，
故在 1x 处 xV 取得极大值，并且这个极大值就是 xV 的最大值。
从而最大体积 332 1619' mxVV ，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为 33m ．
9．解：（Ⅰ）由题意 23 3 5g x x ax a ，令 23 3 5x x a x ， 1 1a
对 1 1a ，恒有 0g x ，即 0a
∴
1 0
1 0
即
2
2
3 2 0
3 8 0
x x
x x
解得 2 13 x
故 2 ,13x
时，对满足 1 1a 的一切 a 的值，都有 0g x
（Ⅱ） ' 2 23 3f x x m
①当 0m 时， 3 1f x x 的图象与直线 3y 只有一个公共点
②当 0m 时，列表：
x ||, m m ,m m m ,m
'f x 0 0
f x 极大 极小
∴ 1||2|)(||)( 2 mmmfxf 极小 < 1 ，
又∵ f x 的值域是 R ，且在 ,m 上单调递增
∴当 x m 时函数 y f x 的图象与直线 3y 只有一个公共点。
当 x m 时，恒有 f x f m
由题意得 3f m 即 322 1 2 1 3m m m 解得 3 32,0 0, 2m
综上， m 的取值范围是 3 32, 2 .
10．解：（Ⅰ） 2 3( ) ( ) 1( 0)f x t x t t t x t R ， ，
当 x t 时， ( )f x 取最小值 3( ) 1f t t t ，即 3( ) 1h t t t ．
（Ⅱ）令 3( ) ( ) ( 2 ) 3 1g t h t t m t t m ，
由 2( ) 3 3 0g t t 得 1t ， 1t （不合题意，舍去）．
当t 变化时 ( )g t ， ( )g t 的变化情况如下表：
t (01)， 1 (1 2)，
( )g t 0
( )g t 递增 极大值
1 m 递减
( )g t 在 (0 2)， 内有最大值 (1) 1g m ．
( ) 2h t t m 在 (0 2)， 内恒成立等价于 ( ) 0g t 在 (0 2)， 内恒成立，即等价于1 0m ，
所以 m 的取值范围为 1m ．
11 ． 解 ：
(I) .4,2
1)3(,2
3,04)1(69)3(,4)1(2)( /2/ bfaaafaxaxxf
(II) ),2)(2(4)1(2)( 2/ xaxaxaxxf 令 .0)(/ xf 2,2ax
当 a >1 时，由 )(/ xf >0 得 )(xf 的单调递增区间为 ,2,2, a ；
当 a =1 时， 2/ )2()( xxf ≥0，即 )(xf 的单调递增区间为 , ；
当 a <1 时，由 )(/ xf >0 得 )(xf 的单调递增区间为 ,2,2, a ．
(III)由题意知 a <1 且 )1()1( // ff <0，解得
2
1 < a < ,2
1 即实数 a 的取值范围为 ).2
1,2
1(
12．（Ⅰ）由条件知 )2(f ≥2， )2(f ≤ .2)2(,)22(8
1 2 f
（Ⅱ）由 ,0)2( f ,2)2( f 得 .41,2
1 acb 又 )(xf ≥ x 恒成立，即 cxbax )1(2 ≥0
恒成立，
a >0 ， 且
)41(4)12
1( 2 aa ≤ 2)18(,0 a ≤ .2
1
2
1
8
1)(.2
1,2
1,8
1,0 2 xxxfcba
（ III ）
2
1)22
1(8
1)( 2 xmxxg >
4
1 在 ,0x 恒 成 立 ， 即 2)1(42 xmx >0 在
,0x 恒成立 ≥0
①由 <0，解得
2
21 < m <
2
21 ；②{ ，解出 m ≤
2
21
故 m 的取值范围为
2
21, ．
13 ． 解 ： （ Ⅰ ）
]3,0[),3)(2()(,1),3)(2(6)23()( /2/ xxxxfaxaxxaaxxf
)(,2,0 / xfx ≥ )(,0 xf 单调递增； )(,3,2 / xfx ≤ )(,0 xf 单调递减；
,3
14)2()( max fxf min)(xf 为 0)0( f 和
2
9)3( f 的 最 小 者 ，
.0)0()( min fxf
（ Ⅱ ） 令 ),()()( xgxfxh 则
)1)(2(2)2()(,2)12(3)( 2/23 xaxxaaxxhmxxaxaxh
因 )()( xgxf 总有三个不同实根，即 )(xhy 的图象与 x 轴总有三个不同的交点，
1 当 a <0 时 ，
a
2 <1 ， )(xh 的 极 大 值 为 ,61)1( mah )(xh 的 极 小 值 为
,
3
46)2( 2 m
a
a
ah
要使 )(xhy 的图象与 x 轴总有三个不同的交点，只需 )1(h >0 且 )2(ah <0 在 a <0 时恒成立，
易有
m ≥ ma ,|)16( max ≥ ,1 且 m ≤
4
3)4
31(3
4
3
46,|)
3
46( 2
2min2
aa
a
a
a > m,0 ≤0，
1 ≤ m ≤0．
②当 0< a <2 时， ),1)(2(2)2()( 2/ xaxxaaxxh
)(xh 的极大值为 ,61)1( mah )(xh 的极小值为 ,
3
46)2( 2 m
a
a
ah
由题意有 )1(h >0 且 )2(ah <0，此时 m ．
高考复习数学试题(附参考答案)
本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间
120 分钟.
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
)1(2 m ≤0
2)0( f >0
1．设集合 3 3{ | 0}, { || | }, " " " "1 2 2
xP x Q x x m P m Qx
那么 是 的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.公差不为 0 的等差数列 { }na 中, 2
2005 2007 20093 3 0a a a ,数列 { }nb 是等比数列，且
2007 2007b a ,则 2006 2008b b （ ）
A．4 B．8 C．16 D．36
3. 若纯虚数 z 满足 2(2 i) 4 (1 i)z b （其中i 是虚数单位， b 是实数），则 b （ ）
A． 2 B． 2 C．-4 D．4
4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体
积为（ ）
A. 12 3 B. 36 3 C. 27 3 D. 6
5．已知直线 0 CByAx （其中 0,222 CCBA ）与圆 422 yx 交于 NM , ，
O 是坐标原点，则OM ·ON =（ ）
A．- 1 B．- 1 C． - 2 D．2
6．设
0
(sin cos )a x x dx
，则二项式 61( )a x
x
，展开式中含 2x 项的系数是（ ）
A. 192 B. 192 C. -6 D. 6
7．已知对数函数 ( ) logaf x x 是增函数,则函数 (| | 1)f x 的图象大致是（ ）
8 ． 关 于 x 的 方 程 2 ( 1) 1 0( 0, )x a x a b a a b R、 的 两 实 根 为 1 2,x x ， 若
1 20 1 2x x ，则 b
a
的取值范围是（ ）
A． 4( 2, )5
B． 3 4( , )2 5
C． 5 2( , )4 3
D． 5 1( , )4 2
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分.
（一）必做题（9—12 题）
9. 右图是 2008 年北京奥运会上，七位评委为某奥运项目打出
的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩
A B C D
7 9
8 4 4 6 4 7
9 3
数据的平均数为 ；方差为 .
10.已知
0,1)1(
0,cos)( xxf
xxxf
，则 4( )3f 的值为_______．
11. 在如下程序框图中，已知： 0 ( ) xf x xe ，则输出的是_________ _.
12. 设 椭 圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的 两 个 焦 点 分 别 为 1 2,F F ， 点 P 在 椭 圆 上 ， 且
1 2 0PF PF ， 1 2
3tan 3PF F ，则该椭圆的离心率为 ．
（二）选做题（13—15 题，考生只能从中选做两题）
13.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，从极点 O 作直线与另一直线 : cos 4l
相交于点M，在 OM上取一点P，使 12OM OP .设R为l 上任意一点，则RP的最小值 ．
14. （不等式选讲选做题）若关于 x 的不等式 1x x a ( aR)的解集为 ，则 a 的取
值范围是 ．
15. （几何证明选讲选做题）如图，⊙O1 与⊙O2 交于 M、N 两
点，直线 AE 与这两个圆及 MN 依次交于 A、B、C、D、E．且 AD
＝19，BE＝16，BC＝4，则 AE＝ ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分 12 分）
已知在 ABCV 中， A B C ﹑ ﹑ 所对的边分别为 a﹑b﹑c，若 cos
cos
A b
B a
且 sin cosC A
(Ⅰ)求角 A、B、C 的大小；
(Ⅱ)设函数 sin cos 22 2
Cf xx x A
，求函数 f x 的单调递增．．区间，并指出它相
邻两对称轴间的距离.
17. （本小题满分 13 分）
在 2008 年北京奥运会某项目的选拔比赛中, A 、B 两个代表队进行对抗赛, 每队三名
队员, A 队队员是 1 2 3 ,A A A、 、 B 队队员是 1 2 3 ,B B B、 、 按以往多次比赛的统计,
对阵队员之间胜负概率如下表, 现按表中对阵方式出场进行三场比赛, 每场胜队得 1 分,
负队得 0 分, 设 A 队、B 队最后所得总分分别为 、 , 且 3 .
（Ⅰ）求 A 队得分为 1 分的概率；
（Ⅱ）求 的分布列;并用统计学的知识说明哪个队实力较强.
对阵队员 A 队队员胜 A 队队员负
1A 对 1B 2
3
1
3
否
是
开始 输入f0 (x) 0i )()( 1
' xfxf ii 结束1 ii
i =2009 输出fi (x)
18. （本小题满分 13 分）
已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左焦点为 F ，左右顶点分别为 A C、 ，上顶点为 B ，
过 CBF ,, 三点作圆 P ，其中圆心 P 的坐标为 nm, .
(Ⅰ)当 0m n 时，椭圆的离心率的取值范围.
(Ⅱ)直线 AB 能否和圆 P 相切？证明你的结论.
19. （本小题满分 13 分）
在正三角形 ABC 中，E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点，满足 AE:EB＝CF:FA＝CP:PB
＝1:2（如图 1）.将△AEF 沿 EF 折起到 EFA1 的位置，使二面角 A1－EF－B 成直二面角，连
结 A1B、A1P（如图 2）
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面 BEP；
（Ⅱ）求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小；
（III）求二面角 B－A1P－F 的余弦值.
20. （本小题满分 14 分）
已知函数 ( ) logkf x x （ k 为常数， 0k 且 1k ），且数列 ( )nf a 是首项为 4，
公差为 2 的等差数列.
(Ⅰ)求证：数列 na 是等比数列；
(Ⅱ) 若 ( )n n nb a f a ，当 2k 时，求数列 nb 的前 n 项和 nS ；
（III）若 lgn n nc a a ，问是否存在实数 k ，使得 nc 中的每一项恒小于它后面的项？若
存在，求出 k 的范围；若不存在，说明理由．
21. （本小题满分 14 分）
已知函数 F(x)=|2x－t|－x3+x+1（x∈R，t 为常数，t∈R）.
(Ⅰ)写出此函数 F(x)在 R 上的单调区间；
(Ⅱ)若方程 F(x)－k=0 恰有两解，求实数 k 的值．
【答案及详细解析】
一、选择题：本大题理科共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 文科共 10 小题，每小题 5 分，
共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2A 对 2B 2
5
3
5
3A 对 3B 3
7
3
5
1.【解析】A. 0 ( 1) 0( 1) 0 11
x x x x xx
; 3 3 3 3 3| | 0 32 2 2 2 2x x x ,
P Q .选 A.
【链接高考】本题主要考查集合的有关知识,解不等式,以及充要条件等知识.集合是学习其
它知识的基础，在高考中时有出现，通常与函数、不等式的知识综合考查，难度不大，基本
是送分题.
2.【解析】D.解: 2
2005 2007 20093 3 0a a a , 即 2
2007 20076 0a a , 2007 2007( 6) 0a a ,由
2007 2007 0a b 知, 2007 2007 6b a . 2007
2 2
2006 2008 6 36b b b .
【链接高考】 本题主要考查了等差数列和等比数列的基本性质. 纵观近几年的高考，
基本上是考查两个基本数列的通项公式和前 n 项和公式的简单运用.这种趋势近几年还会保
持. 两类基本数列问题,是高考的热点.
3．【解析】C．设 ( 0)z ai a ,则有 (2 i) 4 2 iai b ,即 2 4 2 ia ai b ,即 4,2 2a a b ,
解得 4b .
【链接高考】有关复数的考查，最近五年只是一道选择题，主要考查复数的基本概念和
复数的简单运算.
4．【解析】B.棱柱的高是 4，底面正三角形的高是3 3 ，设底面边长为 a ，则 3 3 32 a ，
6a ，故三棱柱体积 21 36 4 36 32 2V .
【链接高考】三视图是高考的新增考点,不时出现在高考试题中,应予以重视．
5．【解析】C.圆心 O 到直线 0 CByAx 的距离
2 2
1Cd
A B
，所以 2
3AOB ,，
所以OM ·ON =（· cosOA OB
22 2cos 23AOB ，故选 C.
【链接高考】本题是考察平面几何、向量、解析几何有关知识，预测也是今年是高
考考热点，要注意.
6．【解析】A. 00
(sin cos ) ( cos sin ) 2a x x dx x x
，二项式 61(2 )x
x
的通
项公式为 6 6 3
1 6 6
1(2 ) ( ) ( 1) 2r r r r r r r
rT C x C x
x
，令3 2r ，得 1r ，故展开式
中含 2x 项的系数是 1 1 6 1
6( 1) 2 192C .
【链接高考】本小题设计巧妙，综合考查定积分和二项式定理，是一道以小见大的中档
题，不可小视.
7．【解析】B.
log ( 1), 0(| | 1) log (| | 1) log [ ( 1)], 0.
a
a
a
x xf x x x x
由函数 ( ) logaf x x 是增
函数知, 1a .故选 B.
【链接高考】本小题主要考查了对数函数的图象与性质，以及分析问题和解决问题的能
力.这类试题经常出现,要高度重视.
8．【解析】D.设 2( ) ( 1) 1f x x a x a b ，则方程 ( ) 0f x 的两实根 1 2,x x 满足
1 20 1 2x x 的
充要条件是
(0) 1 0
(1) 2 3 0
(2) 3 7 0
f a b
f a b
f a b
，作出点 ( , )a b 满足的可行域为Δ ABC 的内部，其中点
( 2,1)A 、 ( 3,2)B 、 ( 4,5)C ， b
a
的几何意义是Δ ABC 内部任一点 ( , )a b 与原点O 连线
的斜率，而 1
2OAk ， 2
3OBk ， 5
4OCk 作图，易知 5 1( , )4 2
b
a
.
【链接高考】本小题是一道以二次方程的根的分布为载体的线性规划问题，考查化归转
化和数形结合的思想，能力要求较高.
二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分.
（一）必做题（9—12 题）
9.【解析】85 ； 8
5
. 由茎叶图知，去掉一个最高分 93 和一个最低分 79 后，所剩数据 84，
84，86，84，87 的平均数为 84 84 86 84 87 855
；方差为
2 2 2 2 21 8[(84 85) (84 85) (86 85) (84 85) (87 85) ]5 5
.
【链接高考】茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识，也是高考的新增内容，
考生应引起足够的重视，确保稳拿这部分的分数.
10.【解析】 3
2 .当 0x 时, ( ) ( 1) 1f x f x ,故 4 4 1( ) ( 1) 1 ( ) 13 3 3f f f
1( 1) 1 13f 2( ) 23f 2 1 3cos( ) 2 23 2 2
.
【链接高考】本题主要考查分段函数,函数的周期性,三角函数的求值等.有关函数方程问
题时常出现在高考试题中,考生应该进行专题研究.
11. 由 1 2 1 2009( ) ( )' , ( ) '( ) 2 , ( ) 2009x x x x x x xf x xe e xe f x f x e xe f x e xe .
【链接高考】读懂流程图是高考对这部分内容的最基本的要求，也是最高考常见的题型.
本题是把导数的运算与流程图结合在一起的综合题.
12.【解析】 3 1 .由 1 2 0PF PF 知, 1 2PF PF .由 1 2
3tan 3PF F 知, 1 2 30PF F .
则 1 2 2| | | | | | ( s30 sin30 ) ( 3 1) 2PF PF FF co c a ,即 2 3 1
3 1
ce a
.
【链接高考】本题是有关椭圆的焦点三角形问题,却披上了平面向量的外衣,实质是解三
角形知识的运用.
（二）选做题（13—15 题，考生只能从中选做两题）
13.（坐标系与参数方程选做题）【解析】1.设 ,P ， 4
cosOM ， 3cos .故 P
在圆: 2 2 23x y 上,而 R 为直线l : 4x .由图象知, min 1RP .
【链接高考】本小题主要考查直线与圆的极坐标方程的有关知识,以及转化与化归的思
想方法.解决本题的关键是将它们转化为直角坐标系下的直线与圆的位置关系问题来处理.
14. （不等式选讲选做题）【解析】 ( ,1] .因为 1 ( 1) 1x x x x ，所以若不等
式 1x x a 的解集为 ，则 a 的取值范围是 1a .
【链接高考】本小题主要考查含绝对值三角不等式的性质，这类问题是高考选做题中的
常规题，解题方法要熟练掌握.
15.（几何证明选讲选做题）【解析】28．因为 A，M，D，N 四点共圆，所以 AC CD MC CN ．同
理，有 BC CE MC CN ．所以 AC CD BC CE ，即 ( ) ( )AB BC CD BC CD CE ，
所以 AB·CD＝BC·DE．
设 CD ＝ x, 则 AB ＝ AD- BC-CD ＝ 19-4-x=15-x, DE ＝ BE- BC-CD ＝ 16-4-x=12-x, 则
(15 ) 4(12 )x x x ，即 2 19 48 0x x ，解得 3x 或 16x （舍）.
AE＝AB+ DE- BD＝19+16-7=28.
【链接高考】本小题主要考查两圆的位置关系,以及相交弦定理的有关知识,分析问题和
解决问题的能力,以及转化与化归的思想方法.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.【解析】(Ⅰ)由题设及正弦定理知: cos sin
cos sin
A B
B A
,得sin 2 sin 2A B
∴ 2 2A B 或 2 2A B ,即 A B 或
2A B
当 A B 时,有sin( 2 ) cosA A , 即 1sin 2A ,得
6A B , 2
3C ;
当
2A B 时,有sin( ) cos2 A ,即 cos 1A 不符题设
∴
6A B , 2
3C …………………7分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)及题设知: ( ) sin(2 ) cos(2 ) 2sin(2 )6 3 6f x x x x
当 2 [2 ,2 ]( )6 2 2x k k k Z 时, ( ) 2sin(2 )6f x x 为增函数
即 ( ) 2sin(2 )6f x x 的单调递增区间为[ , ]( )3 6k k k Z . ………11分
它的相邻两对称轴间的距离为
2
. ………12 分
【链接高考】 解决本题的关键是,利用正弦定理把三角形边角问题转化为三角函数
问题是解题的关键，三角形与三角函数、向量与三角函数高考考察的热点.
17.【解析】（Ⅰ）设 A 队得分为 1 分的事件为 0A ,
∴ 0
2 3 4 1 2 4 1 3 3 41( ) 3 5 7 3 5 7 3 5 7 105P A . ………… 4 分
（Ⅱ） 的可能取值为 3 , 2 , 1 , 0 ;
0
2 2 3 12( 3) ( ) 3 5 7 105P P A ,
2 2 4 1 2 3 2 3 3 40( 2) 3 5 7 3 5 7 3 5 7 105P
2 3 4 1 2 4 1 3 3 41( 1) 3 5 7 3 5 7 3 5 7 105P ,
1 3 4 12( 0) 3 5 7 105P ,
∴ 的分布列为:
0 1 2 3
………… 10 分
于是 12 41 40 12 1570 1 2 3105 105 105 105 105E , ……………… 11 分
∵ 3 ,
∴ 1583 105E E . ……………………… 12 分
由于 E E , 故 B 队比 A 队实力较强. ……………………… 13 分
【链接高考】本题主要考查的是随机变量的分布列和数学期望问题.这是概率与统计大题
考查的主阵地,预计还有可能与函数、导数、方程、数列以及不等式等知识综合考查.
18. 【解析】(Ⅰ)由题意 BCFC, 的中垂线方程分别为 ,2 2 2
a c b a ax y xb
，
于是圆心坐标为
2
,2 2
a c b ac
b
. …………………………………4 分
nm =
2
02 2
a c b ac
b
，即 2 0ab bc b ac ,
即 0a b b c ,所以 b c ，于是 2 2b c ＞ 2
c 即 2 22a c ，
所以 2 1
2e ,即 0 ＜ e ＜ 2 12 e . ………………7 分
（Ⅱ）假设相切， 则 1 PBAB kk ， ………………………………………9 分
2
2 2
2 , , 1( ) ( )0 2
PB AB PB AB
b acb b ac b b acbk k k ka c b c a a a c a
，……11 分
2 2 2 2, 2 , 0, 2a c ac a ac c ac c c a 即 这与 0 c a 矛盾.
故直线 AB 不能与圆 P 相切. ………………………………………………13 分
【链接高考】 本题主要考查直线与圆、椭圆的位置关系以及分析问题与解决问题的能
力.圆锥曲线与圆的综合题经常出现在高考试题中，要引起足够的重视.
19. 【解析】不妨设正三角形 ABC 的边长为 3 .
（解法一）(I)在图 1 中，取 BE 的中点 D，连结 DF．
∵AE:EB=CF:FA=1:2，∴AF=AD=2，而∠A=600,∴△ADF 是正三角形，
又 AE=DE=1，∴EF⊥AD．…………2 分
P
12
105
41
105
40
105
12
105
在图 2 中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB 为二面角 A1-EF-B 的平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE．
又 BE∩EF=E，∴A1E⊥平面 BEF，即 A1E⊥平面 BEP．……….4 分
(II)在图 2 中，∵A1E 不垂直于 A1B，∴A1E 是平面 A1BP 的斜线．
又 A1E⊥平面 BEP, ∴A1E⊥BP,
从而 BP 垂直于 A1E 在平面 A1BP 内的射影（三垂线定理的逆定理）．
设 A1E 在平面 A1BP 内的射影为 A1Q，且 A1Q 交 BP 于点 Q，则
∠EA1Q 就是 A1E 与平面 A1BP 所成的角，…………………6 分
且 BP⊥A1Q．
在△EBP 中，∵BE=BP=2，∠EBP=600，
∴△EBP 是等边三角形，∴BE=EP．
又 A1E⊥平面 BEP，∴A1B=A1P，∴Q 为 BP 的中点，且 EQ= 3 ，
又 A1E=1,在 Rt△A1EQ ,tan∠EA1Q= 3
1
EA
EQ ,∴∠EA1Q=600．
所以直线 A1E 与平面 A1BP 所成的角为 600．…………………8 分
(III)在图 3 中，过 F 作 FM⊥A1P 于 M，连结 QM，QF．
∵CF=CP=1, ∠C=600. ∴△FCP 是正三角形，∴PF=1．
又 PQ=
2
1 BP=1，∴PF=PQ． ①
∵A1E⊥平面 BEP，EQ=EF= 3 ，
∴A1F=A1Q，∴△A1FP≌△A1QP,
从而∠A1PF=∠A1PQ. ②
由①②及 MP 为公共边知,△FMP≌△QMP，
∴∠QMP=∠FMP=900，且 MF=MQ，
从而∠FMQ 为二面角 B-A1P-F 的平面角.……………10 分
在 Rt△A1QP 中，A1Q=A1F=2，PQ=1，∴A1P= 5 .
∵MQ⊥A1P, ∴MQ=
5
52
1
1
PA
PQQA ,∴MF=
5
52 .
在△FCQ 中，FC=1，QC=2，∠C=600，由余弦定理得 QF= 3 .
在△FMQ 中，cos∠FMQ=
8
7
2
222
MQMF
QFMQMF .
所以二面角 B-A1P-F 的余弦值是 7
8
．.……………..13 分
（解法二）(I)同解法一．
(II)建立分别以 ED、EF、EA 为 x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，则 E(0,0,0),A(0,0,1),
B(2,0,0),F(0, 3 ,0), P (1, 3 ,0),则 (0,0, 1)AE
, (2,0, 1), ( 1, 3,0)AB BP ．
设平面 ABP 的法向量为 1 1 1 1( , , )n x y z ，
由 1n 平面 ABP 知， 1 1,n AB n BP ，即
1 1
1 1
2 0,
3 0.
x z
x y
令 1 3x ，得 1 11, 2 3y z ， 1 ( 3,1,2 3)n ．
1
1 2 2 2 2 2 2
1
3 0 1 0 2 3 ( 1) 3cos , 2| | | | ( 3) 1 (2 3) 0 0 ( 1)
AE nAE n
AE n
,
1, 120AE n
,
所以直线 A1E 与平面 A1BP 所成的角为 600．
(II) (0, 3, 1), ( 1,0,0)AF PF ，设平面 AFP 的法向量为 2 2 2 2( , , )n x y z ．
由 2n 平面 AFP 知， 2 2,n AF n PF ，即
2
2 2
2 0,
3 0.
x
y z
令 2 1y ，得 2 20, 3x z ， 2 (0,1, 3)n ．
1 2
1 1 2 2 2 2 2 2
1 2
3 0 1 1 2 3 3 7cos , 8| | | | ( 3) 1 (2 3) 0 1 ( 3)
n nn n
n n
,
所以二面角 B-A1P-F 的余弦值是 7
8
．.……………..13 分
【链接高考】本题主要考查四棱锥的有关知识,直线与平面垂直,直线于平面所成的角,
二面角的问题,以及分析问题与解决问题的能力.简单几何体是立体几何解答题的主要载体,
特别是棱柱和棱锥.
20.【解析】(Ⅰ) 证：由题意 ( ) 4 ( 1) 2 2 2nf a n n ，即 log 2 2k na n ， ……
1 分
∴ 2 2n
na k ∴
2( 1) 2
21
2 2
n
n
n
n
a k ka k
. ……2 分
∵常数 0k 且 1k ，∴ 2k 为非零常数，
∴数列 na 是以 4k 为首项， 2k 为公比的等比数列. ……3 分
(II) 解：由(1)知， 2 2( ) (2 2)n
n n nb a f a k n ，
当 2k 时， 1 2(2 2) 2 ( 1) 2n n
nb n n . …………4 分
∴ 2543 2)1(242322 n
n nS ， ①
2 nS 4 5 2 32 2 3 2 2 ( 1) 2n nn n . ② ……5 分
②－①，得 3 4 5 2 32 2 2 2 2 ( 1) 2n n
nS n
3 3 4 5 2 32 (2 2 2 2 ) ( 1) 2n nn
∴
3
3 32 (1 2 )2 ( 1) 21 2
n
n
nS n
32nn . ……8 分
(III) 解：由(1)知， 2 2lg (2 2) lgn
n n nc a a n k k ，要使 1n nc c 对一切 *nN 成立，
即 2( 1)lg ( 2) lgn k n k k 对一切 *nN 成立. ……9 分
① 当 1k 时， lg 0k ， 21 ( 2)n n k 对一切 *nN 恒成立；……10 分
② 当 0 1k 时 ， lg 0k ， 21 ( 2)n n k 对 一 切 *nN 恒 成 立 ， 只 需
2
min
1
2
nk n
，……11 分
∵ 1 112 2
n
n n
单调递增，∴当 1n 时，
min
1 2
2 3
n
n
. ……12 分
∴ 2 2
3k ，且 0 1k ， ∴ 60 3k . ……13 分
综上所述，存在实数 6(0, ) (1, )3k 满足条件. ……14 分
【链接高考】本题综合考查数列的基本知识、方法和运算能力，以及分类讨论和化归、
转化的思想方法. 错位相减法是数列求和的一种重要方法，备考复习中要引起重视.
21.【解析】(Ⅰ)
21
2,13
1|2|)(
3
3
3
txtxx
txtxx
xxtxxF
∴
2,13
2,33
)('
2
2
txx
txx
xF .……………..4 分
由－3x2+3=0 得 x1=－1，x2=1，而－3x2－1<0 恒成立，
∴ i) 当
2
t <－1 时，F(x)在区间(－∞，－1)上是减函数，
在区间(－1，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数．
ii) 当 1> 2
t ≥－1 时，F(x)在区间(－∞，
2
t )上是减函数，
在区间( 2
t ，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数．
iii) 当
2
t ≥1 时，F(x)在(－∞，+∞)上是减函数． .……………..8 分
(II)由 1）可知
i) 当
2
t <－1 时，F(x)在 x=－1 处取得极小值－1－t，
在 x=1 处取得极大值 3－t，若方程 F(x)－m=0 恰有两解，
此时 m=－1－t 或 m=3－t．
ii) 当－1≤
2
t <1，F(x)在 x= 2
t 处取值为 128
3
tt ，
在 x=1 处取得极大值 3－t，若方程 F(x)－m=0 恰有两解，
此时 m= 128
3
tt 或 m=3－t．
iii) 当
2
t ≥1 时，不存在这样的实数 m，使得 F(x)－m=0 恰有两解．.……………..14
【链接高考】本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题，需要对参数进行分类
讨论. 在新高考中每年有一道导数综合题,同学们应高度重视.
高三数学（双曲线）复习检测试题 (附参考答案)
一。选择题
1．双曲线
2 2
15 4
x y
的离心率为( )
A．
5
3 B．
3 5
5 C．
2
3 D．
3
2
2．已知双曲线的离心率为 2，焦点是 ( 4,0) ， (4,0) ，则双曲线方程为（ ）
A
2 2
14 12
x y B
2 2
112 4
x y C.
2 2
110 6
x y D.
2 2
16 10
x y
3.已知双曲线 )0( 12
2
2
ay
a
x 的一条准线为
2
3x ，则该双曲线的离心率为（ ）
（A）
2
3 （B）
2
3 （C）
2
6 （D）
3
32
4.设 F1 和 F2 为双曲线
4
2x y2＝1 两个焦点，点 P 在双曲线上，满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2
的面积是（ ）
A．1 B．
2
5 C．2 D． 5
5.已知双曲线
2 2
16 3
x y 的焦点为 1F 、 2F ，点 M 在双曲线上且 1MF x 轴，则 1F 到直线
2F M 的距离为（ ）
（A） 3 6
5
（B） 5 6
6
（C） 6
5
（D） 5
6
6.若椭圆 15411625
2222
yxyx 和双曲线 的共同焦点为 F1，F2，P 是两曲线的一个交点，
则|PF1|·|PF2|的值为（ ）
A.
2
21 B.84 C.3 D.21
7.已知点 ( 2,0), (3,0)A B ,动点 ( , )P x y 满足 2 6PA PB x
,则点 P 的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
8.（北京 3）“双曲线的方程为
2 2
19 16
x y ”是“双曲线的准线方程为 9
5x ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9.（福建 12）双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
（a＞0,b＞0）的两个焦点为 F1、F2，若 P 为其上一点，且
|PF1|=2|PE2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A.（1，3） B.（1，3） C.（3，+∞） D. [3，+∞]
10.已知双曲线
2
2 12
yx 的焦点为 F1、F2，点 M 在双曲线上且 1 2 0,MF MF 则点 M 到 x
轴的距离为（ ）
（A） 4
3
（B） 5
3
（C） 2 3
3
（D） 3
11.（全国Ⅱ11）设 ABC△ 是等腰三角形， 120ABC ，则以 A B， 为焦点且过点C 的
双曲线的离心率为（ ）
A．
2
21 B．
2
31 C． 21 D． 31
12.如图， 1F 和 2F 分别是双曲线 )0,0(12
2
2
2
ba
b
r
a
x 的两个焦点， A 和 B 是以O 为
圆心，以 1FO 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ ABF2 是等边三角形，则
双曲线的离心率为（ ）
（A） 3 （B） 5 （C）
2
5 （D） 31
二。填空题
13.（江西 14）已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的两条渐近线方程为 3
3y x ，若
顶点到渐近线距离为 1，则双曲线方程为 ．
14.设双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的右焦点为 F,右准线l 与两条渐近线交于 P、Q 两点，
如果 PQF 是直角三角形，则双曲线的离心率 _______e
15.设中心在原点的椭圆与双曲线 2x2－2y2＝1 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则
该椭圆的方程是 ．
16.已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为 (10,0)F ,两条渐近线的方程为 4
3y x ,则
该双曲线的标准方程为 .
三。解答题
17 已知双曲线的中心在原点，焦点为 F1 ( )0 2 2， ，F2（0， 2 2 ），
且离心率 2e ，求双曲线的标准方程及其渐近线．
18.（本小题满分 12 分）
设双曲线 C： 1:)0(12
2
2
yxlay
a
x 与直线 相交于两个不同的点 A、B.
（I）求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围：
（II）设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且 .12
5 PBPA 求 a 的值.
19.(12 分)双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的两条准线间距离为 3,右焦点到直线
1 0x y 的距离为
2
2 ．
(1)求双曲线 C 的方程;
(2)双曲线 C 中是否存在以点
1(1, )2P
为中点的弦,并说明理由．
20.（全国Ⅰ22）（本小题满分 12 分）
双曲线的中心为原点O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 1 2l l， ，经过右焦点 F 垂直于 1l
的直线分别交 1 2l l， 于 A B， 两点．已知 OA AB OB
、 、 成等差数列，且 BF
与 FA
同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程．
21.(天津 22)（本小题满分 14 分）
已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是 1( 3 0)F ， ，一条渐近线的方程是 5 2 0x y ．
（Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）若以 ( 0)k k 为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点 M N， ，且线段 MN 的
垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 81
2
，求 k 的取值范围．
22.（本大题满分 14 分）如图，F 为双曲线 C：
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的右焦点。P 为双
曲线 C 右支上一点，且位于 x 轴上方，M 为左准线上一点，O 为坐标原点。已知四边形OFPM
为平行四边形， PF OF 。
（Ⅰ）写出双曲线 C 的离心率 e 与 的关系式；
（Ⅱ）当 1 时，经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交双曲线于 A、B 点，若 12AB ，
求此时的双曲线方程。
O F
x
y
PM
第 22 题图
H
答 案
一。选择题答案
1－5 ＤＡＡＡＣ 6－10 ＤＤＡＢＣ 11 Ｂ 12 D
二。填空题答案
13.
2 23 14 4
x y 。 14。 2 15.
2
1 x2＋y2＝1 16.
2 2
136 64
x y
三。解答题答案。
17. 解：
2 2
1,4 4
y x y x
18. （本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想
和综合解题能力.满分 14 分.
解：（I）由 C 与 t 相交于两个不同的点，故知方程组
.1
,12
2
2
yx
y
a
x
有两个不同的实数解.消去 y 并整理得 （1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ① ……2 分
.120
.0)1(84
.01
224
2
aa
aaa
a 且解得所以
双曲线的离心率
分的取值范围为即离心率
且
且
6).,2()2,2
6(
22
6
,120.111
2
2
e
ee
aa
aa
ae
（II）设 )1,0(),,(),,( 12211 PyxByxA
.12
5).1,(12
5)1,(,12
5
212211 xxyxyxPBPA 由此得 ……8 分
由于 x1，x2 都是方程①的根，且 1－a2≠0，
分所以由
得消去所以
14.13
17,0
60
289
1
2,,.
1
2
12
5,
1
2
12
17
2
2
22
2
2
22
2
2
aa
a
ax
a
ax
a
ax
19.解:(1)由已知设右焦点 ( ,0)c ,则 2 2 2c a b
由已知:
2
2 3
| 1| 2
22
a
c
cd
∴ 3a 1b 2c
∴双曲线 C 的方程为:
2
2 13
x y
(2)假设存在以 P 为中点的弦 AB．设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
则:
2
21
1
2
22
2
13
13
x y
x y
∴
2 2
2 21 2
1 2( ) 03
x x y y
∴
1 2 1 2
1 2 1 2
( )
3( )AB
y y x xk x x y y
∵P 为中点 ∴ 1 2 2x x , 1 2 1y y ∴
2
3ABk
∴此时直线 AB:
1 2 ( 1)2 3y x
即
2 1
3 6y x
联立 AB 与双曲线方程有:
2
2
2 1
3 6
13
y x
x y
代简得: 24 8 37 0x x
∵ 28 4 4 37 0 ∴无解
故不存在以 P 为中点的弦
20. 解：（1）设 OA m d ， AB m ，OB m d
由勾股定理可得： 2 2 2( ) ( )m d m m d
得：
1
4d m
，
tan bAOF a
，
4tan tan 2 3
ABAOB AOF OA
由倍角公式
2
2 4
31
b
a
b
a
，解得
1
2
b
a
则离心率
5
2e
．
（2）过 F 直线方程为
( )ay x cb
与双曲线方程
2 2
2 2 1x y
a b
联立
将 2a b ， 5c b 代入，化简有
2
2
15 8 5 21 04 x xb b
2 2
2
1 2 1 2 1 24 1 1 ( ) 4a ax x x x x xb b
将数值代入，有
2 232 5 284 5 415 5
b b
解得 3b
最后求得双曲线方程为：
2 2
136 9
x y
．
21. （Ⅰ）解：设双曲线C 的方程为
2 2
2 2 1( 0 0)x y a ba b
， ，由题设得
2 2 9
5 .2
a b
b
a
，
解得
2
2
4
5.
a
b
，
所以双曲线C 的方程为
2 2
14 5
x y ．
（Ⅱ）解：设直线l 的方程为 ( 0)y kx m k ，点 1 1( )M x y， ， 2 2( )N x y， 的坐标满足方
程组
2 2
1.4 5
y kx m
x y
， ①
②
将①式代入②式，得
2 2( ) 14 5
x kx m ，整理得
2 2 2(5 4 ) 8 4 20 0k x kmx m ．
此方程有两个不等实根，于是 25 4 0k ，且
2 2 2( 8 ) 4(5 4 )(4 20) 0km k m ．整理得
2 25 4 0m k ． ③
由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标 0 0( )x y， 满足
1 2
0 2
4
2 5 4
x x kmx k
， 0 0 2
5
5 4
my kx m k
．
从而线段 MN 的垂直平分线的方程为
2 2
5 1 4
5 4 5 4
m kmy xk k k
．
此直线与 x 轴， y 轴的交点坐标分别为 2
9 05 4
km
k
， ， 2
90 5 4
m
k
， ．由题设可得
2 2
1 9 9 81
2 5 4 5 4 2
km m
k k
．
整理得
2 2
2 (5 4 )km k
， 0k ．
将上式代入③式得
2 2
2(5 4 ) 5 4 0k kk
，
整理得
2 2(4 5)(4 5) 0k k k ， 0k ．
解得 50 2k 或 5
4k ．
所以 k 的取值范围是 5 5 5 50 04 2 2 4
∞， ， ， ，∞ ．
22.解：∵四边形OFPM 是 ，∴| | | |OF PM c ，作双曲线的右准线交 PM 于 H，则
2
| | | | 2 aPM PH c
，又
2 2
2 2 2 2 2
| | | |
| | 2 22 2
PF OF c c ee a aPH c a ec cc c
，
2 2 0e e 。
（Ⅱ）当 1 时， 2e ， 2c a ， 2 23b a ，双曲线为
2 2
2 2 14 3
x y
a a
四边形OFPM
是菱形，所以直线 OP 的斜率为 3 ，则直线 AB 的方程为 3( 2 )y x a ，代入到双曲线方
程得： 2 29 48 60 0x ax a ，
又 12AB ，由 2 2
1 2 1 21 ( ) 4AB k x x x x 得：
2
248 6012 2 ( ) 49 9
a a ，解
得
2 9
4a
，则
2 27
4b
，所以
2 2
1279
4
x y
为所求。
高三数学复习模拟试卷（一）(附参考答案)
班级 姓名 成绩
一、填空题（本大题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分。）
1、已知全集 I { xx | R }，集合 A { xx | ≤1 或 x ≥3}，集合 B { | 1x k x k ，k R }，
且 BACI )( ，则实数 k 的取值范围是
2、已知 cossin2 ，则
2cos
12sin2cos 的值是
3、设 ,, 为两两不重合的平面， l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若 , ，则 // ；②若 //,//,, nmnm ，则 // ；
③若 // ， l ，则 //l ；④若 //,,, lnml ，则 nm // 。
其中正确命题的个数有 个
4、点 M（a,b）（ab≠0）是圆 C：x2 + y2 = r2 内一点，直线l 是以 M 为中点的弦所在的直线，
直线 m 的方程是 ax + by = r2，那么直线l 与直线 m 的关系是 。
5、在等比数列 }{ na 中，如果 53 aa 和 是一元二次方程 0452 xx 的两个根，那么 642 aaa
的值为
6、函数 aaxxf 213)( 在（－1，1）上存在 0x ，使 0)( 0 xf ，则 a 的取值范围是
7、定义在 R 上的奇函数 )(xf ，满足 1)2( f ， )2()()2( fxfxf ，则 )1(f 等于
8、下图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体的个数是 个
9、如图，该程序运行后输出的结果为 ．
10、若函数 2( ) log (2 ), 0, 1af x x x a a 在区间 1(0, )2
内恒有 ( ) 0f x ,则 ( )f x 的
单调递增区间是
11、已知 0a 且 a≠1， 2( ) xf x x a 当 x ∈[-1,1]时，均有 1( ) 2f x ，
则实数 a 的范围是
12、等差数列{ }na 中， nS 是其前 n 项和， 2007 2005
1 2008, 2,2007 2005
S Sa
则 2008S 的值为 ．
13、设椭圆 1243 22 yx 上存在两点关于直线 mxy 4 对称，则 m 的取值范围是
14．给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是 ．
①若 Zkk ,2,coscos 则 ；②函数 )32cos(2 xy 的图象关于 x=
12
对
称；③函数 ))(cos(sin Rxxy 为偶函数，④函数 ||sin xy 是周期函数，且周期为 2 ；
二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15、 （本小题满分 15 分）已知函数 2( ) (2cos sin )2
xf x a x b
⑴ 当 1a 时，求 ( )f x 的单调递增区间；
⑵ 当 0a ，且 [0, ]x 时， ( )f x 的值域是[3,4]，求 a b、 的值．
16、（本小题满分 15 分）设 o 点为坐标原点，曲线 2 2 2 6 1 0x y x y 上有两点 P Q、
满足关于直线 04 myx 对称，又满足 .0OQOP
（1）求 m 的值；
（2）求直线 PQ 的方程.
17、（本小题满分 15 分） 已知矩形 ABCD 中，AB＝2AD＝4，E 为 CD 的中点，沿 AE 将 AED
折起，使 DB＝2 3 ，O、H 分别为 AE、AB 的中点．
（1）求证：直线 OH//面 BDE；
（2）求证：面 ADE 面 ABCE；
18、(本小题满分 15 分)在等差数列 na 中， 1 51, 9,a a 在数列 nb 中， 1 2b ，且
12 1n nb b ，(n≥2)
（1）求数列 na 和 nb 的通项公式；
（2）设 31 2
1 2 3
... ,1 1 1 1
n
n
n
a aa aT b b b b
求 nT .
19、（本小题满分 15 分）某民营企业生产 A，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的
利润与投资成正比，其关系如图 1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图
2。（注：利润与投资单位是万元）
（1）分别将 A，B 两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式；
（2）该企业已筹集到 10 万元资金，并全部投入 A，B 两种产品的生产，问：怎样分配这
10 万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？（精确到 1 万元）。
20、 （本小题满分 14 分）已知函数： 1( ) ( )x af x a R x aa x
且
（1）当 ( )f x 的定义域为 1[ 1, ]2a a 时，求函数 ( )f x 的值域；
（2）设函数 2( ) 1 | ( ) ( ) |g x x x a f x ，求函数 ( )g x 的最小值。
高三数学模拟试卷（一）参考答案
一、填空题（本大题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分。）
1、已知全集 I { xx | R }，集合 A { xx | ≤1 或 x ≥3}，集合 B { | 1x k x k ，k R }，
且 BACI )( ，则实数 k 的取值范围是 0k 或 3k
2、已知 cossin2 ，则
2cos
12sin2cos 的值是 3
3、设 ,, 为两两不重合的平面， l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若 , ，则 // ；②若 //,//,, nmnm ，则 // ；
③若 // ， l ，则 //l ；④若 //,,, lnml ，则 nm // 。
其中正确命题的个数有 2 个
4、点 M（a,b）（ab≠0）是圆 C：x2 + y2 = r2 内一点，直线l 是以 M 为中点的弦所在的直线，
直线 m 的方程是 ax + by = r2，那么直线l 与直线 m 的关系是平行。
5、在等比数列 }{ na 中，如果 53 aa 和 是一元二次方程 0452 xx 的两个根，那么 642 aaa
的值为 8
6、函数 aaxxf 213)( 在（－1，1）上存在 0x ，使 0)( 0 xf ，则 a 的取值范围是
5
11 aa 或
7、定义在 R 上的奇函数 )(xf ，满足 1)2( f ， )2()()2( fxfxf ，则 )1(f 等于
2
1
8、下图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体的个数是 5
个
9、如图，该程序运行后输出的结果为 63 ．
10、若函数 2( ) log (2 ), 0, 1af x x x a a 在区间 1(0, )2
内恒有 ( ) 0f x ,则 ( )f x 的
单调递增区间是 1( , )2
11、已知 0a 且 a≠1， 2( ) xf x x a 当 x ∈[-1,1]时，均有 1( ) 2f x ，
则实数 a 的范围是 1( ,1) (1,2)2
12、等差数列{ }na 中， nS 是其前 n 项和， 2007 2005
1 2008, 2,2007 2005
S Sa
则 2008S 的值为 2008 ．
13、设椭圆 1243 22 yx 上存在两点关于直线 mxy 4 对称，则 m 的取值范围是
)13
132,13
132(
14．给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是①②④．
①若 Zkk ,2,coscos 则 ；②函数 )32cos(2 xy 的图象关于
x=
12
对称；
③函数 ))(cos(sin Rxxy 为偶函数，④函数 ||sin xy 是周期函数，且周期为 2 ；
二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15、 （本小题满分 15 分）已知函数 2( ) (2cos sin )2
xf x a x b
⑴ 当 1a 时，求 ( )f x 的单调递增区间；
⑵ 当 0a ，且 [0, ]x 时， ( )f x 的值域是[3,4]，求 a b、 的值．
解：（1） 1)4sin(2sincos1)( bxbxxxf
所以递增区间为 Zkkk ],42,4
32[
（2）
3,12
3)2
2(2,42
]1,2
2[)4sin(],4
5,4[4],,0[
)4sin(2)cos(sin)(
ba
baabaa
xxx
baxabaxxaxf
又
16、（本小题满分 15 分）
设 o 点为坐标原点，曲线 2 2 2 6 1 0x y x y 上有两点 P Q、 满足关于直线
04 myx 对称，又满足 .0OQOP
（1）求 m 的值；
（2）求直线 PQ 的方程.
解：（1）曲线方程为 9)3()1( 22 yx ，表示圆心为（－1，3），半径为 3 的圆.
,04, 对称在圆上且关于直线点 myxQP ∴圆心（－1，3）在直线上，
代入直线方程得 1m .
（2）∵直线 PQ 与直线 4y x 垂直， bxyPQyxQyxP 方程设 ),,(),,( 2211
将直线 bxy 代入圆方程. 得 .016)4(22 22 bbxbx
232232,0)16(24)4(4 22 bbbb 得
由韦达定理得
2
16),4(
2
2121
bbxxbxx
bbbxxxxbbyy 42
16)(
2
2121
2
21
2
1 2 1 20, 0, 6 1 4 0.
1 (2 3 2,2 3 2). 1.
OP OQ x x y y b b b
b y x
即
解得 所求的直线方程为
17、（本小题满分 15 分）
已知矩形 ABCD 中，AB＝2AD＝4，E 为 CD 的中点，沿 AE 将 AED 折起，
使 DB＝2 3 ，O、H 分别为 AE、AB 的中点．
（1）求证：直线 OH//面 BDE；
（2）求证：面 ADE 面 ABCE；
解：(1)证明∵O、H 分别为 AE、AB 的中点
∴OH//BE，又 OH 不在面 BDE 内 ∴直线 OH//面 BDE……………………6 分
(2) O 为 AE 的中点 AD＝DE，∴DQ AE ∵DO= 2 ，DB=2 3 ，
BO2＝32+12=10∴ 2 2 2DB DO BO ∴ DO OB 又因为 AE 和 BO 是相交直线
所以，DO 面 ABCE， 又 OD 在面 ADE 内 ∴面 ADE 面 ABCE
18、(本小题满分 15 分)
在等差数列 na 中， 1 51, 9,a a 在数列 nb 中， 1 2b ，且 12 1n nb b ，(n≥2)
（1）求数列 na 和 nb 的通项公式；
（2）设 31 2
1 2 3
... ,1 1 1 1
n
n
n
a aa aT b b b b
求 nT .
解：(1) an=2n-1
由 12 1n nb b ,得：bn-1=2(bn-1-1) (n≥2)
∴ 1nb 是以 1 1 1b 为首项，2 为公比的等比数列；
∴ 11 1 2n
nb 故 bn=2n-1+1
（2） 1 2
0 2 1 1
1 2
2 1 2 2 1 2 1
1 1 1 2 2 2
n
n n
n
aa a nT b b b
2 1
3 5 2 3 2 11 2 4 2 2n n
n n
①
则 1
1 1 3 5 2 3 2 1
2 2 4 8 2 2n n n
n nT
②
①－②可得：
2 3 1
1 1 1 1 1 2 11 2( )2 2 2 2 2 2n n n
nT
11 11 ( ) 2 12 21 2 1 21 2
n
n
n
21 11 2 2 12 2
n n
n
1 13 4 2 1 3 2 32 2
n n
n n
所以 12
326
nn
nT
19、（本小题满分 15 分）
某民营企业生产 A，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资成正比，
其关系如图 1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图 2。（注：利润与
投资单位是万元）
（1）分别将 A，B 两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式；
（2）该企业已筹集到 10 万元资金，并全部投入 A，B 两种产品的生产，问：怎样分配这
10 万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？（精确到 1 万元）。
解：（I）由图象知，A，B 两种产品的利润表示为投资的函数分别为：
1
4y x ； 5
4y x
（Ⅱ）设给 B 投资 x 万元，则给 A 投资 10-x 万元，利润为 y 万元，
1 5(10 ) ,(0 10)4 4y x x x
1 5 1
4 4 2
y
x
25(0, )4x 时， 0y ；
25( ,10)4x 时， 0y ，所以 25
4x 时，y 有极大值.
又函数在定义域上只有一个极值点，所以 25
4x 时，y 有最大值 65
16
即，给 A 投资15
4
万元，给 B 投资 25
4
万元时，企业可获最大利润约为 4 万元。
20、 （本小题满分 14 分）
已知函数： 1( ) ( )x af x a R x aa x
且
（1）当 ( )f x 的定义域为 1[ 1, ]2a a 时，求函数 ( )f x 的值域；
（2）设函数 2( ) 1 | ( ) ( ) |g x x x a f x ，求函数 ( )g x 的最小值。
（1）解：
( ) 1 1( ) 1 , .......2
1 1 1,2 2
1 1 11,1 2, 1 12
.......4
a xf x a x a x
x a a x a
a x a x a x
分
当a-1 时，-
0
即f(x)的值域为[0,1] 分
（2）
2
2
2
2
2
, [ 1, ) ( , )1( ) 1 | ( ) |
2 , ( , 1)
1 1( ) , [ 1, ) ( , )2 4 ....6
1 9( ) , ( , 1)2 4
x x a x a a ax ag x x x a a x x x a x a
x a x a a a
x a x a
分
①若 1
2
a-1 - 且 1
2
a - ，即 1 1, ,2 2
a 且a 时
当 [ 1, ) ( , )x a a a 时， 1 1( ) ( )2 4g x g a
当 ( , 1)x a 时，
2( ) ( 1) 2g x g a a a
2 21 1( 2 ) ( ) ( ) 04 2a a a a
即 1 1, ,2 2
a 且a 时 函数的最小值为 1
4 a ………9 分
②若 1 1 1 31 ,2 2 2 2a a 即 时 ，
当 [ 1, ) ( , )x a a a 时， 2( ) ( 1) 2g x g a a a
当 ( , 1)x a 时， ( ) ( 1)g x g a 2 2a a
1 3
2 2a 即 时，函数的最小值为 2 2a a ………11 分
③若 1 31 2 2a a ，即 时，
当 [ 1, ) ( , )x a a a 时， 2( ) ( 1) 2g x g a a a
当 ( , 1)x a 时， 21 9 9( ) ( ) 22 4 4g x g a a a a 且
2 29 32 ( ) ( ) 04 2a a a a
即 3
2a 时，函数的最小值为 9
4a ………13 分
综上可得：
min
1 1 1, ( )4 2 2
1)2
( ) 1 32 ( )2 2
9 3( )4 2
a a a
g x
a a
a a
2
且
不存在 （a=
a ………15 分
