（浙教版）九年级数学下册 同步备课系列专题3

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第 3 章 投影与三视图 3.4 简单几何体的表面展开图（第 1 课时） 一、选择题 1．若圆锥的母线长 20cm，底面圆的直径长 10cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（ ） A．30° B．60° C．90° D．180° 【答案】C 【分析】 设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为 n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面 的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 2010 180 n    ，然后解关于 n 的方程即可． 【详解】 解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为 n°， 根据题意得 2010 180 n    ，解得 n=90， 即这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 90°． 故选：C． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径 等于圆锥的母线长． 2．为落实好扶贫工作，某村驻村干部帮助村民修建了一个粮仓，该粮仓的屋顶是一个圆锥，为了合理购买、 不浪费原材料，需要进行计算 1 个屋顶的侧面积大小，该圆锥母线长为 5m，底面圆周长为8 m ，则 1 个 屋顶的侧面积等于（ ） 2m ．（结果保留 ） A． 40 B． 20 C．16 D．80 【答案】B 【分析】 先根据底面周长可求得底面圆的半径，再根据圆锥的侧面积公式计算即可求解． 【详解】 解：∵2πr=8π， ∴r=4， 又∵母线 l=5， ∴圆锥的侧面积＝πrl＝π×4×5＝20π． 故选：B． 【点睛】 本题考查了圆锥的侧面积计算方法，牢记有关圆锥和扇形之间的对应关系是解决本题的关键． 3．有一个棱长为 5 的正方体木块，从它的每一个面看都有一个穿透的完全相同的孔（如图中的阴影部分）， 则这个立体图形的内、外表面的总面积是 ( ) A．192 B．216 C．218 D．225 【答案】B 【分析】 根据三视图得出立体图形的表面积即可． 【详解】 根据图示可得：八个棱长为 2 的正方体分别在 8 个顶角， 12 个棱长为 1 的正方体分别在 12 条棱的中间， 所以总面积＝（2×2×6）×8＋（1×1×6）×12−4×12＝216． 故选 B 【点睛】 此题考查由三视图判断几何体，关键是根据三视图得出几何体的面积． 4．若圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为 265 cm ，则该圆锥的高是（ ） A．13cm B．12cm C．11cm D．10cm 【答案】B 【分析】 先根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 和扇形面积公式得到 1 2 •2π•5•OA=65π，可求出 OA=13，然后利用勾股定理计算圆锥的高． 【详解】 解：根据题意得 1 2 •2π•5•OA=65π，解得：OA=13， 所以圆锥的高= 2 213 5 12- = ． 故选：B． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径 等于圆锥的母线长． 5．一个圆锥的底面直径为 4 cm，其侧面展开后是圆心角为 90°的扇形，则这个圆锥的侧面积等于（ ） A．4πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．16πcm2 【答案】D 【分析】 设展开后的圆半径为 r，根据圆锥性质可知底面周长就等于展开后扇形的弧长，然后算出展开后扇形的半径， 进而计算出扇形的面积． 【详解】 解：设展开后的扇形半径为 r，由题可得： 4 = 2 r 解得 r=8 ∴S 扇形= 1 4  ×82 =16 故选：D 【点睛】 此题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥侧面展开图与各部分对应情况是解题关键． 6．已知圆锥的底面半径为 3cm，母线长为 6cm，则圆锥的侧面积是（ ） A．18cm2 B． 218 cm C．27cm2 D． 227 cm 【答案】B 【分析】 已知底面半径即可求得底面周长，即展开图中，扇形的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】 解：底面周长是 2×3π=6π， 则圆锥的侧面积是： 1 2 ×6π×6=18π（cm2）． 故选：B． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 7．如图是某工件的三视图．则此工件的表面积为（ ） A．20πcm2 B．36πcm2 C．56πcm2 D．24πcm2 【答案】B 【分析】 根据三视图，可得几何体是圆锥，根据勾股定理，可得圆锥的母线长，根据扇形的面积公式，可得圆锥的 侧面积，根据圆的面积公式，可得圆锥的底面积，可得答案． 【详解】 解：由三视图，得： OB=8÷2=4cm，OA=3cm， 由勾股定理得 AB= 2 23 4 =5cm， 圆锥的侧面积为： 1 2 ×8π×5=20πcm²， 圆锥的底面积为：π×4²=16πcm²， ∴圆锥的表面积为：20π+16π=36πcm². 故答案为：B. 【点睛】 本题考查了由三视图判断几何体，利用三视图得出圆锥是解题关键，注意圆锥的侧面积等于圆锥的底面周 长与母线长乘积的一半． 8．如图，矩形的长与宽分别为 a 和 b，在矩形中截取两个大小相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形 作为圆柱的侧面，刚好能组合成一个没有空隙的圆柱，则 a 和 b 要满足的数量关系是( ) A． 1 2 1 a b   B． 2 2 1 a b   C． 1 2 2 a b   D． 2 1 a b   【答案】D 【分析】 利用圆柱的底面周长等于剩余长方形的长，列出方程，整理可得答案． 【详解】 解：组成圆柱后，圆柱的底面周长=剩余长方形的长． ,2 2 a ab   即  1 2 ,a b   整理得： 2 1 a b   ． 故选：D． 【点睛】 本题考查的是圆柱的展开图，解决本题的关键是得到圆柱的底面周长和剩余长方形的长之间的等量关系． 二、填空题 9．圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长为 10π cm，扇形面积为 65π cm2，则圆锥的高为______cm． 【答案】12 【分析】 圆锥的侧面积= 1 2 弧长母线长，把相应数值代入即可求解可得圆锥的母线长，然后可以利用勾股定理求 得圆锥的高． 【详解】 解：设扇形的母线长为 R， 由题意得 65π＝ 1 2 ×10π×R， 解得 R＝13 cm． 设圆锥的底面半径为 r， 则 10π＝2πr， 解得 r＝5 cm， ∴圆锥的高为 2 213 5 ＝12 cm． 故答案为：12 ． 【点睛】 本题考查了圆锥侧面积公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 10．小红在手工制作课上，用面积为 215 cm ，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥 的底面半径为_______ cm ． 【答案】1 【分析】 根据扇形的面积公式与圆的周长公式，即可求解． 【详解】 由 1= 2S lR扇形 得：扇形的弧长= 2 15 15 2    （厘米）， 圆锥的底面半径= 2 2 1    （厘米）． 故答案是：1． 【点睛】 本题主要考查圆锥的底面半径，掌握圆锥的侧面扇形弧长等于底面周长，是解题的关键． 11．已知圆锥的轴截面是边长为 6 的等边三角形，则这个圆锥侧面展开图的圆心角为______度． 【答案】180 【分析】 先根据等边三角形的性质可得圆锥的底面半径和母线长，再根据圆锥的侧面积公式和扇形的面积公式即可 得． 【详解】 设这个圆锥侧面展开图的圆心角为 n 度， 圆锥的轴截面是边长为 6 的等边三角形， 圆锥的底面直径和母线长均为 6， 由圆锥的侧面积公式得： 1 6 6 182S     圆锥侧 ， 又 圆锥的侧面展开图是扇形， 26 18360 nS    圆锥侧 ， 解得 180n  ， 即这个圆锥侧面展开图的圆心角为 180 度， 故答案为：180 ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、圆锥的侧面积公式、扇形的面积公式，掌握理解圆锥的侧面展开图为扇形 是解题关键． 12．圆锥的侧面展开图的面积为 6 ，母线长为 3，则该圆锥的底面半径为_________． 【答案】 2 【分析】 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【详解】 解：设底面周长为 C，底面半径为 r． ∵侧面展开图的面积为 6π， ∴6π= 1 2 C×3，C=4π=2πr， ∴r=2． 故答案为：2． 【点睛】 本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 13．如图，用一张半径为 10cm 的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的 高为 8cm，那么这张扇形纸板的弧长是_______cm，制作这个帽子需要的纸板的面积为_______cm2． 【答案】12π 60π 【分析】 首先根据底面半径求得圆锥的底面的周长，从而求得扇形的弧长和面积； 【详解】 ∵扇形的半径为 10cm，做成的圆锥形帽子的高为 8cm， ∴圆锥的底面半径为 2 210 8 6  ， ∴底面周长为 2 6 12 cm   ， ∴这张扇形纸板的弧长是12 cm ， 扇形的面积为 21 1 10 12 602 2lr cm     ． 故答案是：12 ； 60 ． 【点睛】 本题主要考查了扇形弧长计算和面积计算，准确分析计算是解题的关键． 14．如图，长方体的棱 AB 长为 3，棱 BC 长为 4，棱 BF 长为 2，一只蚂蚁从点 A 出发，在长方体表面沿 如图所示的路径到棱 CG 的中点 P 处吃食物，那么它爬行的最短路程是______． 【答案】5 2 【分析】 分三种情况讨论：当展开面 ,ABFE BFGC，当展开面： , ,ABFE FEHG GHDC 时，当展开面： , ,ADHE HEFG FGCB 时，再利用勾股定理求解 AP ,再通过比较，可得答案． 【详解】 解：如图，当展开面 ,ABFE BFGC， 由题意得： 1 13 4 7 12 2AC AB BC PC GC BF       ， ， 2 2 2 27 1 50 5 2AP AC PC       ， 如图，当展开面： , ,ABFE FEHG GHDC 时， 由题意得： 3 2 4 1 7AB BP BF GF PG       ， ， 2 23 7 58AP    ， 如图，当展开面： , ,ADHE HEFG FGCB 时， 由题意得： 4 2 3 1 6AD DP DH HG GP       ， ， 2 24 6 52 2 13AP     ， 由 50 ＜ 52 ＜ 58 ， 所以蚂蚁爬行的最短路程是 5 2. 故答案为：5 2. 【点睛】 本题考查的是勾股定理的应用，最短路径问题，两点之间，线段最短，掌握把立体图形展开成平面图形， 再利用勾股定理求解最短距离是解题的关键． 三、解答题 16．已知一个圆锥的轴截面△ABC 是等边三角形，它的表面积为 75πcm²，求这个圆维的底面的半径和母线 长． 【答案】这个圆锥的底面半径为 5cm，母线长为 10cm． 【分析】 根据圆锥的母线即为其侧面展开图的扇形半径，圆锥底面圆的周长等于扇形弧长，可设底面半径为 r，则易 得圆锥的母线长即为扇形半径为 2r，利用圆锥表面积公式求解即可． 【详解】 解：设这个圆锥的底面半径为 rcm， ∵圆锥的轴截面△ABC 是等边三角形，∴圆锥母线的长为 2rcm， ∵圆锥的母线即为扇形半径，圆锥底面圆的周长等于扇形弧长，扇形面积+底面圆的面积＝圆锥表面积． ∴ 1 2 ×2πr×2r+πr2＝75π， 解得：r＝5，∴2r＝10． 故这个圆锥的底面半径为 5cm，母线长为 10cm． 【点睛】 此题主要考查了圆锥的相关知识，明确圆锥的母线即为其侧面展开图的扇形半径，圆锥底面圆的周长等于 扇形弧长是解题关键． 16．下图是一个长方体的三视图（单位：cm），其中俯视图为正方形，求这个长方体的表面积． 【答案】  266 cm 【分析】 根据三视图图形得出 AC=BC=3，EC=4，然后求出这个长方体的表面积． 【详解】 解：如图所示：AB=3 2 ， ∵AC2+BC2=AB2， ∴AC=BC=3， ∴正方形 ACBD 面积为：3×3=9， 侧面积为：4AC×CE=3×4×4=48， 故这个长方体的表面积为：48+9+9=  266 cm ． 【点睛】 此题主要考查了利用三视图求长方体的表面积，得出长方体各部分的边长是解决问题的关键． 17．如图，在单位长度为 1 的正方形网格中，一段圆弧经过格点 A、B、C． （1）画出该圆弧所在圆的圆心 D 的位置（不用写作法，保留作图痕迹，用水笔描清楚），并连接 AD、CD． （2）⊙D 的半径为 （结果保留根号）； （3）若用扇形 ADC 围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是 ； 【答案】（1）图见解析；（2） 2 5 ；（3） 5 2 【分析】 （1）根据垂进定理，作出 AB、BC 的垂直平分线交点为圆心 D． （2）根据正方形网格长度，运用勾股定理求出半径． （3）根据圆锥特点，先求出 ABC 的弧长，利用圆锥的底面圆周长等于弧长的长度，便可解答． 【详解】 解：（1） （2）⊙D 的半径 AD 2 22 4 2 5   （3）根据图上信息，可知道 AOD DFC  ADO DCF   90ADC   ABC 的长度 l= 90 2 5 180    = 5 扇形 ADC 围成一个圆锥的侧面,则圆锥的底面圆周长等于弧长的长度．  圆锥的底面圆半径 5 5 2 2    【点睛】 本题考查了垂径定理，弧长公式得计算，属于基础题． 18．如图，若干个完全相同的小正方体堆成一个几何体． （1）请在右图方格中画出该几何体的左视图和俯视图． （2）用小立方体搭一个几何体，使得它的左视图和俯视图与你在方格中所画的一致，则这样的几何体最少 要______个小立方块，最多要______个小立方块． （3）若小正方体的棱长为 2cm ，请求出图 1 中几何体的表面积． 【答案】（1）画图见解析；（2）9；14；（3） 2144cm 【分析】 （1）根据左视图和俯视图的定义解答即可； （2）由俯视图易得最底层有 6 个小正方体，第二层最少有 2 个小正方体，第三层最少有 1 个小正方体，进 而可得最少个数；由俯视图易得最底层有 6 个小正方体，第二层最多有 5 个小正方体，第三层最多有 3 个 小正方体，从而可得最多个数； （3）先求出看到的正方形的个数，所得的和再乘以一个正方形的面积即可． 【详解】 解：（1）如图所示： （2）由俯视图易得最底层有 6 个小正方体，第二层最少有 2 个小正方体，第三层最少有 1 个小正方体，所 以最少有 6 2 1 9   个小正方体； 由俯视图易得最底层有 6 个小正方体，第二层最多有 5 个小正方体，第三层最多有 3 个小正方体，所以最 多有 6 5 3 14   个小正方体． 故答案为：9，14； （3）这个几何体的表面积为：  2 26 2 6 2 6 2 2 144cm       ． 【点睛】 本题考查了几何体的三视图和表面积的计算，属于常考题型，正确理解题意、明确求解的方法是解题的关 键． 19．有一个正方体，六个面上分别写有数字 1，2，3，4，5，6，如图是我们能看到的三种情况，如果记 6 的对面数字为 a，2 的对面数字为 b，那么 a+b 的值为_____． 【答案】7 【分析】 从图形进行分析，结合正方体的基本性质，得到对面的数字，即可求得结果． 【详解】 一个正方体已知 1，4，6，第二个正方体已知 1，2，3，第三个正方体已知 2，5，6，且不同的面上写的数 字各不相同，可求得 1 的对面数字为 5，6 的对面数字为 3，2 的对面数字为 4 ∴a+b=7 故答案为：7． 【点睛】 本题考查正方体相对两个面的数字，根据相邻的面确定出对面上的数字是解题的关键． 20．已知图为一几何体从不同方向看的图形： （1）写出这几个几何体的名称； （2）若长方形的高为 10 厘米，三角形的边长为 4 厘米，求这个几何体的侧面积． 【答案】（1）正三棱柱（2）120cm2． 【分析】 （1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是正三角形，可得到此几何体为正三棱柱； （2）侧面积为 3 个长方形，它的长和宽分别为 10，4，计算出一个长方形的面积，乘 3 即可． 【详解】 （1）∵主视图和左视图是长方形，根据俯视图是正三角形， ∴这个几何体为正三棱柱； （2）3×10×4＝120（cm2）， 答：这个几何体的侧面积为 120cm2． 【点睛】 此题主要考查了由三视图判断几何体的形状，用到的知识点为：棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边 形就是几棱柱．