2020年高中数学新教材同步必修第二册 第7章 7.1.2 复数的几何意义

2020年高中数学新教材同步必修第二册 第7章 7.1.2 复数的几何意义

7.1.2 复数的几何意义 学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一 一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方 法. 知识点一 复平面 思考 有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？ 答案 不正确.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应 的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是 z＝0＋0i＝0，表示的是实数. 知识点二 复数的几何意义 1.复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点 Z(a，b). 2.复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ→ . 知识点三 复数的模 1.定义：向量OZ→的模叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. 2.记法：复数 z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. 3.公式：|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2. 知识点四 共轭复数 1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不 等于 0的两个共轭复数也叫共轭虚数. 2.表示：z的共轭复数用 z 表示，即若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi. 1.复平面内的点与复数是一一对应的.( √ ) 2.复数的模一定是正实数.( × ) 3.若|z1|＝|z2|，则 z1＝z2.( × ) 4.两个复数互为共轭复数，则它们的模相等.( √ ) 一、复数与复平面内的点的关系 例 1 已知复数 z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中 a∈R.当复数 z在复平面内对应的点 Z满足下列 条件时，求 a的值(或取值范围). (1)在实轴上； (2)在第三象限. 解 (1)若 z对应的点 Z在实轴上，则有 2a－1＝0，解得 a＝1 2 . (2)若 z对应的点 Z在第三象限，则有 a2－1<0， 2a－1<0， 解得－1z2 B.z1|z2| D.|z1|<|z2| 答案 D 解析 |z1|＝|5＋3i|＝ 52＋32＝ 34，|z2|＝|5＋4i|＝ 52＋42＝ 41. 因为 34< 41，所以|z1|<|z2|. (2)已知 00，解得－20，则 z在复平面内对应的点一 定在实轴上方. 6.复数 z＝x－2＋(3－x)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数 x的取值范围是________. 答案 (3，＋∞) 解析 ∵复数 z在复平面内对应的点在第四象限， ∴ x－2>0， 3－x<0， 解得 x>3. 7.若复数 z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中 m∈R，则|z|＝________. 答案 3 解析 复数 z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)， 所以 m－2＝0且 m＋1≠0，解得 m＝2，所以 z＝3i， 所以|z|＝3. 8.复数 4＋3i与－2－5i分别表示向量OA→与OB→，则向量AB→表示的复数是________. 答案 －6－8i 解析 因为复数 4＋3i与－2－5i分别表示向量OA→与OB→， 所以OA→＝(4,3)，OB→＝(－2，－5)， 又AB→＝OB→－OA→＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)， 所以向量AB→表示的复数是－6－8i. 9.在复平面内，O是原点，向量OA→对应的复数为 2＋i. (1)如果点 A关于实轴的对称点为点 B，求向量OB→对应的复数； (2)如果(1)中的点 B关于虚轴的对称点为点 C，求点 C对应的复数. 解 (1)设向量OB→对应的复数为 z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)， 则点 B的坐标为(x1，y1)， 由题意可知，点 A的坐标为(2,1). 根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1， 故 z1＝2－i. (2)设点 C对应的复数为 z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)， 则点 C的坐标为(x2，y2)， 由对称性可知，x2＝－2，y2＝－1， 故 z2＝－2－i. 10.设 z＝x＋yi(x，y∈R)，若 1≤|z|≤ 2，判断复数 w＝x＋y＋(x－y)i的对应点的集合表示什 么图形，并求其面积. 解 |w|＝ x＋y2＋x－y2＝ 2x2＋y2＝ 2|z|，而 1≤|z|≤ 2，故 2≤|w|≤2.所以 w 对应点 的集合是以原点为圆心，半径为 2和 2的圆所夹圆环内点的集合(含内外圆周)，其面积 S＝ π[22－( 2)2]＝2π. 11.已知 a为实数，若复数 z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数，则复数 a－ai在复平面内对应 的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 解析 若复数 z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是纯虚数， 则 a2－3a－4＝0， a－4≠0， 得 a＝4或 a＝－1， a≠4， 即 a＝－1， 则复数 a－ai＝－1＋i对应的点为(－1,1)，位于第二象限. 12.在复平面内，把复数 3－ 3i 对应的向量按顺时针方向旋转 π 3 ，所得向量对应的复数是 ( ) A.2 3 B.－2 3i C. 3－3i D.3＋ 3i 答案 B 解析 复数对应的点为(3，－ 3)，对应的向量按顺时针方向旋转 π 3 ，则对应的点为(0，－2 3)， 所得向量对应的复数为－2 3i. 13.设 A，B为锐角三角形的两个内角，则复数 z＝(cos B－tan A)＋itan B对应的点位于复平 面的( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 解析 因为 A，B为锐角三角形的两个内角，所以 A＋B>π 2 ，即 A>π 2 －B，sin A>cos B，cos B －tan A＝cos B－sin A cos A 0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象限， 故选 B. 14.若复数 3－5i,1－i 和－2＋ai 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数 a 的值为 ________. 答案 5 解析 由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知 a＝5. 15.已知复数 z满足|z|2－3|z|＋2＝0，则复数 z对应点的轨迹是( ) A.一个圆 B.两个圆 C.两点 D.线段 答案 B 解析 由|z|2－3|z|＋2＝0，得(|z|－1)·(|z|－2)＝0， 所以|z|＝1或|z|＝2. 由复数模的几何意义知，z对应点的轨迹是两个圆. 16.已知O为坐标原点，OZ1→ 对应的复数为－3＋4i，OZ2→ 对应的复数为 2a＋i(a∈R).若OZ1→ 与OZ2→ 共线，求 a的值. 解 因为OZ1→ 对应的复数为－3＋4i， OZ2→ 对应的复数为 2a＋i， 所以OZ1→ ＝(－3,4)，OZ2→ ＝(2a,1). 因为OZ1 → 与OZ2 → 共线，所以存在实数 k使OZ2 → ＝kOZ1 → ， 即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)， 所以 2a＝－3k， 1＝4k， 所以 k＝1 4 ， a＝－ 3 8 . 即 a的值为－ 3 8 .