高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案+数列常见题型总结+必做习题精选

高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案+数列常见题型总结+必做习题精选

高中数学高考三角函数重点题型解析 及常见试题、答案+数列常见题型总结+必做习题精选 高考三角函数重点题型解析及常见试题(附参考答案) 三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值）， 三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应 用，平面向量的基本问题及其应用． 题型 1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正 余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题． 例 1 若 x 是三角形的最小内角，则函数 sin cos sin cosy x x x x   的最大值是 （ ） A． 1 B． 2 C． 1 22   D． 1 22  分析：三角形的最小内角是不大于 3  的，而  2sin cos 1 2sin cosx x x x   ，换元解 决． 解析：由 0 3x   ，令 sin cos 2 sin( ),4t x x x     而 7 4 4 12x     ，得 1 2t  ． 又 2 1 2sin cost x x  ，得 2 1sin cos 2 tx x  ， 得 2 21 1 ( 1) 12 2 ty t t     ，有 2( 2) 1 11 0 2 22 2y       ．选择答案 D． 点评：涉及到sin cosx x 与sin cosx x 的问题时，通常用换元解决． 解法二： 1sin cos sin cos 2 sin sin 24 2y x x x x x x         ， 当 4x  时， max 12 2y   ，选 D。 例 2．已知函数 2( ) 2 sin cos 2 cosf x a x x b x  ．，且 (0) 8, ( ) 126f f   ． （1）求实数 a ，b 的值；（2）求函数 )(xf 的最大值及取得最大值时 x 的值． 分析：待定系数求 a ，b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题． 解析：函数 )(xf 可化为 ( ) sin 2 cos2f x a x b x b   ． （1）由 (0) 8f  ， ( ) 126f   可得 (0) 2 8f b  ， 3 3( ) 126 2 2f a b    ，所以 4b  ， 4 3a  ． （2） ( ) 4 3sin 2 4cos2 4 8sin(2 ) 46f x x x x       ， 故当 2 26 2x k    即 ( )6x k k Z   时，函数  f x 取得最大值为12． 点评：结论  2 2sin cos sina b a b       是三角函数中的一个重要公式，它 在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应 用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数部分高考命题 的重点内容． 题型 2 三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考 所重点考查的问题之一． 例 3．（2009 年福建省理科数学高考样卷第 8 题）为得到函数 πcos 2 3y x     的图象， 只需将函数 sin 2y x 的图象 A．向左平移 5π 12 个长度单位 B．向右平移 5π 12 个长度单位 C．向左平移 5π 6 个长度单位 D．向右平移 5π 6 个长度单位 分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决． 解析：函数 π 5 5cos 2 sin 2 sin 2 sin 23 3 2 6 12y x x x x                                 ， 故要将函数 sin 2y x 的图象向左平移 5π 12 个长度单位，选择答案 A． 例 4 （2008 高考江西文 10）函数 tan sin tan siny x x x x    在区间 3( , )2 2   内的 图象是 分析：分段去绝对值后，结合选择支分析判断． 解析：函数 2tan , tan sintan sin tan sin 2sin , tan sin x x xy x x x x x x x        当 时 当 时 ．结合选择支 xo 3 2  2  y A 2 -  x B o 3 2  2  y 2 -  2 xo 3 2  2  y C -  xo 3 2  2  y D 2 -  2 和一些特殊点，选择答案 D． 点评：本题综合考察三角函数的图象和性质，当不注意正切函数的定义域或是函数分段 不准确时，就会解错这个题目． 题型 3 用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解 决． 例 5 （2008 高考山东卷理 5）已知 π 4cos sin 36 5        ，则 7πsin 6     的值 是 A． 2 3 5  B． 2 3 5 C． 4 5  D． 4 5 分析：所求的 7πsin sin( )6 6        ，将已知条件分拆整合后解决． 解析： C ． 4 3 3 3 4 3 4cos sin sin cos sin6 5 2 2 5 6 5                        ， 所以 7 4sin sin6 6 5                  ． 点评：本题考查两角和与差的正余弦、诱导公式等三角函数的知识，考查分拆与整合的 数 学思想和运算能力．解题的关键是对 π 4cos sin 36 5        的分拆与整合． 例 6（2008 高考浙江理 8）若 cos 2sin 5,    则 tan = A． 2 1 B． 2 C． 2 1 D． 2 分析：可以结合已知和求解多方位地寻找解题的思路． 方法一：  5 sin 5    ，其中 1 2sin ,cos 5 5    ，即 1tan 2   ， 再由  sin 1    知道  2 2k k      Z ，所以 2 2k      ， 所以 sin cos2tan tan 2 tan 22 2 sincos 2 k                                       ． 方法二：将已知式两端平方得  2 2 2 2 2 2 2 cos 4cos sin 4sin 5 5 sin cos sin 4sin cos 4cos 0 tan 4tan 4 0 tan 2                             方法三：令sin 2cos t   ，和已知式平方相加得 25 5 t  ，故 0t  ， 即sin 2cos 0   ，故 tan 2  ． 方法四：我们可以认为点  cos ,sinM   在直线 2 5x y   上， 而点 M 又在单位圆 2 2 1x y  上，解方程组可得 5 5 2 5 5 x y       ， 从而 tan 2y x    ．这个解法和用方程组 2 2 cos 2sin 5 sin cos 1           求解实质上是一致 的． 方法五： 只能是第三象限角，排除 C．D．，这时直接从选择支入手验证， 由 于 1 2 计 算 麻 烦 ， 我 们 假 定 tan 2  ， 不 难 由 同 角 三 角 函 数 关 系 求 出 2 5 5sin ,cos5 5      ，检验符合已知条件，故选 B． 点评：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知  1sin cos , 0,5       ，求 tan  的值（人教 A 版必修 4 第三章复习题 B 组最后 一题第一问）”之类的题目 ，背景是熟悉的，但要解决这个问题还需要考生具有相当的 知识迁移能力． 题型 4 正余弦定理的实际应用：这类问题通常是有实际背景的应用问题，主要表现在 航海和测量上，解决的主要方法是利用正余弦定理建立数学模型． 例 7．（2008 高考湖南理 19）在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设 为警戒水域．点 E 正北55 海里处有一个雷达观测站 A ．某时刻测得一艘匀速直线行驶 的船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B ，经过 40 分钟又测得该 船已行驶到点 A 北偏东 45  (其中 26sin 26   ， 0 90   )且与点 A 相距 10 13 海里的位置C ． （1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）； （2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由． 分析：根据方位角画出图形，如图．第一问实际上就是求 BC 的长，在 ABC 中用余 弦定理即可解决；第二问本质上求是求点 E 到直线 BC 的距离，即可以用平面解析几何 的方法，也可以通过解三角形解决． 解析：（1）如图， 40 2AB  2 ， 10 13AC  ， 26,sin .26BAC     由于 0 90   ，所以 226 5 26cos 1 ( ) .26 26     由余弦定理得 2 2 2 cos 10 5.BC AB AC AB AC      所以船的行驶速度为 10 5 15 52 3  （海里/小时）． （2）方法一 ： 如上面的图所示，以 A 为原点建立平面直角坐标系， 设点 ,B C 的坐标分别是    1 1 2 2, , ,B x y C x y ， BC 与 x 轴的交点为 D ． 由题设有， 1 1 2 402x y AB   ， 2 cos 10 13 cos(45 ) 30x AC CAD      ， 2 sin 10 13sin(45 ) 20.y AC CAD      所以过点 ,B C 的直线l 的斜率 20 210k   ，直线l 的方程为 2 40y x  ． 又点  0, 55E  到直线l 的距离 | 0 55 40 | 3 5 7 1 4 d      ，所以船会进入警戒水域． 解法二： 如图所示，设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点Q ．在 ABC 中，由余弦 定理得， 2 2 2 cos 2 AB BC ACABC AB BC     = 2 2 240 2 10 5 10 13 2 40 2 10 5        = 3 10 10 ． 从而 2 9 10sin 1 cos 1 .10 10ABC ABC       在 ABQ 中，由正弦定理得， 1040 2sin 10 40sin(45 ) 2 2 10 2 10 AB ABCAQ ABC       ． 由于 55 40AE AQ   ，所以点Q 位于点 A 和点 E 之间，且 15EQ AE AQ   ． 过点 E 作 EP BC 于点 P ，则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离． 在 QPERt 中， 5sin sin sin(45 ) 15 3 5 7.5PE QE PQE QE AQC QE ABC             所以船会进入警戒水域． 点评：本题以教材上所常用的航海问题为背景，考查利用正余弦定理解决实际问题的能 力，解决问题的关键是根据坐标方位画出正确的解题图． 本题容易出现两个方面的错 误，一是对方位角的认识模糊，画图错误；二是由于运算相对繁琐，在运算上出错． 题型 5 三角函数与平面向量的结合：三角函数与平面向量的关系最为密切，这二者的 结合有的是利用平面向量去解决三角函数问题，有的是利用三角函数去解决平面向量 问题，更多的时候是平面向量只起衬托作用，三角函数的基本问题才是考查的重点． 例 8 （ 2009 年 杭 州 市 第 一 次 高 考 科 目 教 学 质 量 检 测 理 科 第 18 题 ） 已 知 向 量 )1,(sin),2cos,cos2( xbxxa   ，（ 0 ），令 baxf )( ，且 )(xf 的周期为  ． (1) 求 4f      的值；(2)写出  f x 在 ]2,2[  上的单调递增区间． 分析：根据平面向量数量积的计算公式将函数  f x 的解析式求出来，再根据 )(xf 的 周期为 就可以具体确定这个函数的解析式，下面只要根据三角函数的有关知识解决即 可． 解 析 ： (1) xxxbaxf  2cossincos2)(  xx  2cos2sin  )42sin(2   x ， ∵ )(xf 的 周 期 为  ． ∴ 1 ， )42sin(2)(  xxf ， 12cos2sin)4(  f ． (2) 由于 )42sin(2)(  xxf ， 当  kxk 224222  （ Zk  ）时，  f x 单增， 即  kxk  88 3 （ Zk  ），∵ x ]2,2[  ∴  f x 在 ]2,2[  上的单调递增区间为 ]8,8 3[  ． 点评：本题以平面向量的数量积的坐标运算为入口，但本质上是考查的三角函数的性质， 这是近年来高考命题的一个热点． 例 9 （2009 江苏泰州期末 15 题） 已知向量  3sin ,cosa   ，  2sin ,5sin 4cosb     ， 3 ,22      ，且 a b  ． （1）求 tan 的值； （2）求 cos 2 3      的值． 分析：根据两个平面向量垂直的条件将问题转化为一个三角函数的等式，通过这个等式 探究第一问的答案，第一问解决后，借助于这个结果解决第二问． 解 析 ： （ 1 ） ∵ a b  ， ∴ 0a b   ． 而  3sin ,cosa   ，  2sin ,5sin 4cosb     ， 故 2 26sin 5sin cos 4cos 0a b          ， 由 于 cos 0  ， ∴ 26tan 5tan 4 0    ， 解得 4tan 3    ，或 1tan 2   ．∵ 3π 2π2      ， ， tan 0  ， 故 1tan 2   （舍去）．∴ 4tan 3    ． （2）∵ 3π 2π2      ， ，∴ 3π π2 4  （ ， ）． 由 4tan 3    ，求得 1tan 2 2    ， tan 22   （舍去）． ∴ 5 2 5sin cos2 5 2 5    ， ， cos 2 3       π πcos cos sin sin2 3 2 3    2 5 1 5 3 5 2 5 2      2 5 15 10  ． 点评：本题以向量的垂直为依托，实质上考查的是三角恒等变换．在解题要注意角的范 围对解题结果的影响． 题型 6 三角形中的三角恒等变换：这是一类重要的恒等变换，其中心点是三角形的内 角和是 ，有的时候还可以和正余弦定理相结合，利用这两个定理实现边与角的互化， 然后在利用三角变换的公式进行恒等变换，是近年来高考的一个热点题型． 例 10．（安徽省皖南八校 2009 届高三第二次联考理科数学 17 题）三角形的三内角 A ， B ，C 所对边的长分别为 a ，b ，c ，设向量 ( , ), ( , )m c a b a n a b c      ，若 / /m n   ， （1）求角 B 的大小； （2）求sin sinA C 的取值范围． 分析：根据两个平面向量平行的条件将向量的平行关系转化为三角形边的关系，结合余 弦定理解决第一问，第一问解决后，第二问中的角 ,A C 就不是独立关系了，可以用其 中的一个表达另一个，就把所要解决的问题归结为一个角的三角函数问题． 解析：（1） / / , ( ) ( )( )m n c c a b a a b       ， 2 2 2 2 2 2 , 1a c bc ac b a ac        ． 由余弦定理，得 1cos ,2 3B B   ． （2） 2, 3A B C A C       ， 2 2 2sin sin sin sin( ) sin sin cos cos sin3 3 3A C A A A A A          3 3sin cos 3sin( )2 2 6A A A     2 50 ,3 6 6 6A A         1 3sin( ) 1, sin sin 32 6 2A A C        点评：本题从平面向量的平行关系入手，实质考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等 变换，解决三角形中的三角恒等变换要注意三角形内角和定理和角的范围对结果的影 响． 题型 7 用平面向量解决平面图形中的问题：由于平面向量既有数的特征（能进行类似 数的运算）又具有形的特征，因此利用平面向量去解决平面图形中的问题就是必然的 了，这在近年的高考中经常出现．考试大纲明确指出用会用平面向量解决平面几何问 题． 例 11. 如图，已知点 G 是 ABO 的重心，点 P 在 OA 上，点 Q 在 OB 上，且 PQ 过 ABO 的重心G ，OP mOA ，OQ nOB ，试证明 1 1 m n  为常数，并求出这个常 数． 分析：根据两向量共线的充要条件和平面向量基本定理，把题目中需要的向量用基向量 表达出来，本题的本质是点 , ,P G Q 共线，利用这个关系寻找 ,m n 所满足的方程． 解析：令 OA a  ， OB b  ，则 OP ma  ， OQ nb  ，设 AB 的中点为 M ， 显然 1 ( ).2OM a b    ，因为G 是 ABC 的重心，所以 2 1 ( )3 3OG OM a b       ．由 P、 G 、Q 三点共线，有 PG  、GQ  共线，所以，有且只有一个实数  ，使 PG GQ  ， 而 1 1 1( ) ( )3 3 3PG OG OP a b ma m a b               ， 1 1 1( ) ( )3 3 3GQ OQ OG nb a b a n b                ， 所以 1 1 1 1( ) [ ( ) ]3 3 3 3m a b a n b         ． 又因为 a  、b 不共线，由平面向量基本定理得        )3 1(3 1 3 1 3 1 n m   ，消去  ， 整理得3mn m n  ，故 311  nm ．结论得证．这个常数是3 ． 【点评】平面向量是高中数学的重要工具，它有着广泛的应用，用它解决平面几何问题 是一个重要方面，其基本思路是根据采用基向量或坐标把所要解决的有关的问题表达出 来，再根据平面向量的有关知识加以处理．课标区已把几何证明选讲列入选考范围，应 引起同学们的注意． 题型 8 用导数研究三角函数问题：导数是我们在中学里引进的一个研究函数的重要工 具，利用导数探讨三角函数问题有它极大的优越性，特别是单调性和最值． 例 12. 已知函数 2 2( ) cos 2 sin cos sinf x x t x x x   ，若函数 ( )f x 在区间 ( , ]12 6   上 是增函数，求实数t 的取值范围． 分析：函数的  f x 导数在 ( , ]12 6   大于等于零恒成立． 解析：函数 ( )f x 在区间 ( , ]12 6   上是增函数，则等价于不等式 ( ) 0f x  在区间 ( , ]12 6   上 恒 成 立 ， 即 ( ) 2sin 2 2 cos2 0f x x t x     在 区 间 ( , ]12 6   上 恒 成 立 ， 从 而 tan 2t x 在区间 ( , ]12 6   上恒成立， 而函数 tan 2y x 在区间 ( , ]12 6   上为增函数， 所以函数 tan 2y x 在区间 ( , ]12 6   上的最大值为 max tan(2 ) 36y    ，所以 3t  为所求． 点评：用导数研究函数问题是导数的重要应用之一，是解决高中数学问题的一种重要的 思想意识．本题如将 ( )f x 化为   2sin 2 cos2 1sin(2 )f x t x x t x      的形式， 则 与t 有关，讨论起来极不方便，而借助于导数问题就很容易解决． 题型 9 三角函数性质的综合应用：将三角函数和其它的知识点相结合而产生一些综合 性的试题，解决这类问题往往要综合运用我们的数学知识和数学思想，全方位的多方 向进行思考． 例 13. 设二次函数 2( ) ( , )f x x bx c b c R    ，已知不论  ，  为何实数，恒有 (sin ) 0f   和 (2 cos ) 0f   ． （1）求证： 1b c   ； （2）求证： 3c  ； （3）若函数 (sin )f  的最大值为8 ，求b ， c 的值． 分析：由三角函数的有界性可以得出  1 0f  ，再结合有界性探求． 解 析 ：（ 1 ） 因 为 1 sin 1   且 (sin ) 0f   恒 成 立 ， 所 以 (1) 0f  ， 又 因 为 1 2 cos 3   且 (2 cos ) 0f   恒 成 立 ， 所 以 (1) 0f  ， 从 而 知 (1) 0f  ， 1 0b c   ，即 1b c   ． （2）由1 2 cos 3   且 (2 cos ) 0f   恒成立得 (3) 0f  ， 即 9 3 0b c   ， 将 1b c   代如得9 3 3 0c c    ，即 3c  ． （3） 2 2 21 1(sin ) sin ( 1 )sin (sin ) ( )2 2 c cf c c c              ， 因为 1 22 c  ，所以当 sin 1   时 max[ (sin )] 8f   ， 由 1 8 1 0 b c b c        ， 解得 4b   ， 3c  ． 点评：本题的关键是 1b c   ，由 (sin ) 0 (2 cos ) 0 f f       利用正余弦函数的有界性得出     1 0 1 0 f f   ，从而 (1) 0f  ，使问题解决，这里正余弦函数的有界性在起了重要作用． 【专题训练与高考预测】 一、选择题 1．若 [0,2 )  ，且 2 21 cos 1 sin sin cos        ，则 的取值范围是（ ） A．[0, ]2  B．[ , ]2   C． 3[ , ]2  D． 3[ ,2 )2   2．设 是锐角，且 lg(1 cos ) m  ， 1lg1 cos n  ，则 lgsin  （ ） A． m n B． 1 1( )2 m n  C． 2 m n D． 1 1( )2 nm  3．若 0 0| | 2sin15 ,| | 4cos15a b   ， a  与b  的夹角为30。，则 a b   （ ） A． 3 2 B． 3 C． 2 3 D． 1 2 4．若 O 为 ABC 的内心，且满足 ( ) ( 2 ) 0OB OC OB OC OA         ，则 ABC 的形状为 （ ） A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 5．在 ABC 中，若 C c B b A a coscoscos  ，则 ABC 是 （ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 6．已知向量 )02( ，  OB 、 )22( ，  OC 、 )sin2cos2( ，  CA ，则直线OA 与直线OB 的夹角的取值范围是 （ ） A． ]12 5 12[  ， B． ]12 5 4[  ， C． ]212 5[  ， D． ]40[ ， 二、填空题 7． 6 6 2 2sin cos 3sin cosx x x x  的化简结果是__________． 8．若向量 a  与b  的夹角为 ，则称 a b  为它们的向量积，其长度为| | | | | | sina b a b       ， 已知| | 1a  ，| | 5b  ，且 4a b    ，则| |a b   _______________． 9． 一货轮航行到某处，测得灯塔 S 在货轮的北偏东15 ，与灯塔 S 相距 20 海里，随后货 轮按北偏西30 的方向航行 30 分钟后，又得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为 每小时 海里． 三、解答题 10． 已知： 1tan( ) 3     ， 2 2 sin 2( ) 4cos2tan( ) 10cos sin 2             ． （1）求 tan( )  的值； （2）求 tan  的值． 11． 已知函数   23sin 2 2sin ( )6 12f x x x         x R ． （1）求函数  f x 的最小正周期； （2）求使函数  f x 取得最大值的 x 的集合． 12．已知向量 (cos ,sin )a   ， (cos ,sin )b   ， 2 5 5a b   ． （1）求 cos( )  的值; （2）若 0 2   ， 02     ， 且 5sin 13    ， 求sin ． 【参考答案】 1．解析：B 由已知可得sin 0  ，且 cos 0  ，故得正确选项 B． 2 ． 解 析 ： C lg(1 cos ) n   与 lg(1 cos ) m  相 加 得 2lg(1 cos ) m n   ， ∴ 2lgsin m n   ，故选 C． 3．解析：B 4sin30 cos30 2sin60 3a b     。 。 。 ，选 B． 4．解析：A 已知即 ( ) 0CB AB AC     ，即边 BC 与顶角 BAC 的平分线互相垂直，这表 明 ABC 是一个以 AB、AC 为两腰的等腰三角形． 5．解析：B 依题意，由正弦定理得sin cosA A ，且sin cosB B ，sin cosC C ，故得． 6．解析：A 由 2||   CA 为定值，∴ A 点的轨迹方程为 2)2()2( 22  yx ，由图形易知 所求角的最大、最小值分别是该圆的切线与 x 轴的夹角，故得． 7 ． 解 析 ： 1 原 式 2 2 3 4 2 2 4 2 2(sin cos ) 3sin cos 3sin cos 3sin cosx x x x x x x x     1 ． 8．解析：3 由夹角公式得 4cos 5    ，∴ 3sin 5   ，∴ 3| | 1 5 35a b      ． 9． 20( 6 2) 解析 ：设轮 速度为 x 海里/ 小时 ，作出示 意图，由 正弦定理 得 1 202 sin30 sin105 x   ，解得 20( 6 2)x   ． 10．解析：（1）∵ 1tan( ) 3     ∴ 1tan 3    ， ∵ 2 2 sin( 2 ) 4costan( ) 10cos sin 2           2 2 sin 2 4cos 10cos sin 2       2 2 2sin cos 4cos 10cos 2sin cos         2cos (sin 2cos ) 2cos (5cos sin )         sin 2cos tan 2 5cos sin 5 tan           ∴ 1 2 53tan( ) 1 165 3         ． （2）∵ tan tan[( ) ]      tan( ) tan 1 tan( ) tan           ，∴ 5 1 3116 3tan 5 1 431 16 3       ． 11．解析：（1）因为   3sin(2 ) 1 cos26 12f x x x         3 12 sin 2 cos 2 12 6 2 6 2sin 2 16 6 2sin 2 13 x x x x                                       所以  f x 的最小正周期 2 2T    ． （2）当  f x 取最大值时，sin 2 13x      ，此时 2 23 2x k     k Z ，即 5 12x k    k Z ，所以所求 x 的集合为 5 12x x k        k Z ． 12．解析：（1） (cos ,sin )a    ， (cos ,sin )b   ，  cos cos sin sina b          ， ． 2 5 5a b    ，    2 2 2 5cos cos sin sin 5         ， 即   42 2cos 5     ，   3cos 5     ． （2） 0 , 0, 02 2               ，   3cos 5    ，   4sin .5     5sin 13    ， 12cos 13   ，      sin sin sin cos cos sin                   4 12 3 5 33 5 13 5 13 65          ． 高中数学复习系列---数列（常见、常考题型总结）(附 参考答案) 题型一：求值类的计算题（多关于等差等比数列） A）根据基本量求解（方程的思想） 1、已知 nS 为等差数列 na 的前 n 项和， 63,6,9 94  nSaa ，求 n ； 2、等差数列 na 中， 4 10a  且 3 6 10a a a， ， 成等比数列，求数列 na 前 20 项的和 20S ． 3、设 na 是公比为正数的等比数列，若 16,1 51  aa ，求数列 na 前 7 项的和. 4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为 37 ，中间 两数之和为 36，求这四个数. B）根据数列的性质求解（整体思想） 1、已知 nS 为等差数列 na 的前 n 项和， 1006 a ，则 11S ； 2、设 nS 、 nT 分别是等差数列 na 、 na 的前 n 项和， 3 27   n n T S n n ，则  5 5 b a . 3、设 nS 是等差数列 na 的前 n 项和，若  5 9 3 5 ,9 5 S S a a 则 （ ） 4、等差数列{ }na ,{ }nb 的前 n 项和分别为 nS , nT ,若 2 3 1 n n S n T n   ,则 n n a b =（ ） 5、已知 nS 为等差数列 na 的前 n 项和， )(, mnnSmS mn  ，则 nmS . 6、在正项等比数列 na 中， 1 5 3 5 3 72 25a a a a a a   ，则 3 5a a  _______。 7、已知数列 na 是等差数列，若 4 7 10 17a a a   , 4 5 6 12 13 14 77a a a a a a       且 13ka  ,则 k  _________。 8、已知 nS 为等比数列 na 前 n 项和， 54nS ， 602 nS ，则 nS3 . 9、在等差数列 na 中，若 4,1 84  SS ，则 20191817 aaaa  的值为（ ） 10、在等比数列中，已知 9 10 ( 0)a a a a   ， 19 20a a b  ，则 99 100a a  . 11、已知 na 为等差数列， 20,8 6015  aa ，则 75a . 12、等差数列 na 中，已知 84 8 16 1 , .3 SS S S  求 = . 题型二：求数列通项公式： A） 给出前几项，求通项公式 1,0,1,0,…… ,,21,15,10,6,3,1  3，-33,333，-3333,33333…… B）给出前 n 项和求通项公式 1、⑴ nnSn 32 2  ； ⑵ 13  n nS . 2、设数列 na 满足 2 * 1 2 33 3 ( )3n na a a a n N    n-1…+3 ，求数列 na 的通项公式 C）给出递推公式求通项公式 a、⑴已知关系式 )(1 nfaa nn  ，可利用迭加法或迭代法； 11232211 )()()()( aaaaaaaaaa nnnnnnn    例：已知数列 na 中， )2(12,2 11   nnaaa nn ，求数列 na 的通项公式； b、已知关系式 )(1 nfaa nn  ，可利用迭乘法. 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 aa a a a a a a a a aa n n n n n n n        例、已知数列 na 满足： 1 1 1( 2), 21 n n a n n aa n    ，求求数列 na 的通项公式； c、构造新数列 1°递推关系形如“ qpaa nn 1 ”，利用待定系数法求解 例、已知数列 na 中， 32,1 11   nn aaa ，求数列 na 的通项公式. 2°递推关系形如“，两边同除 1np  或待定系数法求解 例、 n nn aaa 32,1 11   ，求数列 na 的通项公式. 3°递推已知数列 na 中，关系形如“ nnn aqapa   12 ”，利用待定系数法求解 例、已知数列 na 中， nnn aaaaa 23,2,1 1221   ，求数列 na 的通项公式. 4°递推关系形如" 1 1n n n na pa qa a   （p,q 0),两边同除以 1n na a  例 1、已知数列 na 中， 1 12 2n n n na a a a    1（n 2),a ，求数列 na 的通项公式. 例 2、数列 na 中， )(4 2,2 11   Nna aaa n n n ，求数列 na 的通项公式. d、给出关于 nS 和 ma 的关系 例 1、设数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知 )(3, 11   NnSaaa n nn ，设 n nn Sb 3 ， 求数列 nb 的通项公式． 例 2、设 nS 是数列 na 的前 n 项和， 11 a ， )2(2 12     nSaS nnn . ⑴求 na 的通项； ⑵设 12  n Sb n n ，求数列 nb 的前 n 项和 nT . 题型三：证明数列是等差或等比数列 A)证明数列等差 例 1、已知 nS 为等差数列 na 的前 n 项和， )(  Nnn Sb n n .求证：数列 nb 是等差数列. 例 2、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1= 2 1 .求证：{ nS 1 }是 等差数列； B）证明数列等比 例 1、设{an}是等差数列，bn＝ na      2 1 ，求证：数列{bn}是等比数列； 例 2、设 nS 为数列 na 的前 n 项和，已知  2 1n n nba b S   ⑴证明：当 2b  时， 12n na n   是等比数列；⑵求 na 的通项公式 例 3、已知数列 na 满足 * 1 2 2 11, 3, 3 2 ( ).n n na a a a a n N      ⑴证明：数列 1n na a  是等比数列；⑵求数列 na 的通项公式； ⑶若数列 nb 满足 1 2 11 1 *4 4 ...4 ( 1) ( ),n nb bb b na n N     证明 nb 是等差数列. 题型四：求数列的前 n 项和 基本方法： A）公式法， B）拆解求和法. 例 1、求数列 n{2 2 3}n  的前 n 项和 nS . 例 2、求数列  ，，，，， )2 1(8 134 122 11 nn  的前 n 项和 nS . 例 3、求和：2×5+3×6+4×7+…+n（n+3） C ） 裂 项 相 消 法 ， 数 列 的 常 见 拆 项 有 ： 1 1 1 1( )( )n n k k n n k    ； nn nn   1 1 1 ； 例 1、求和：S=1+ n  321 1 321 1 21 1 例 2、求和： nn        1 1 34 1 23 1 12 1  . D）倒序相加法， 例、设 2 2 1)( x xxf  ，求： ⑴ )4()3()2()()()( 2 1 3 1 4 1 ffffff  ； ⑵ ).2010()2009()2()()()()( 2 1 3 1 2009 1 2010 1 fffffff   E）错位相减法， 例、若数列 na 的通项 n n na 3)12(  ，求此数列的前 n 项和 nS . F）对于数列等差和等比混合数列分组求和 例、已知数列{an}的前 n 项和 Sn=12n－n2，求数列{|an|}的前 n 项和 Tn. 题型五：数列单调性最值问题 例 1、数列 na 中， 492  nan ，当数列 na 的前 n 项和 nS 取得最小值时， n . 例 2、已知 nS 为等差数列 na 的前 n 项和， .16,25 41  aa 当 n 为何值时， nS 取得最大 值； 例 3、数列 na 中， 1283 2  nnan ，求 na 取最小值时 n 的值. 例 4、数列 na 中， 22  nnan ，求数列 na 的最大项和最小项. 例 5、设数列 na 的前 n 项和为 nS ．已知 1a a ， 1 3n n na S   ， *nN ． （Ⅰ）设 3n n nb S  ，求数列 nb 的通项公式；（Ⅱ）若 1n na a ≥ ， *nN ，求 a 的取值 范围． 例 6、已知 nS 为数列 na 的前 n 项和， 31 a ， )2(21  naSS nnn . ⑴求数列 na 的通项公式； ⑵数列 na 中是否存在正整数 k ，使得不等式 1 kk aa 对任意不小于 k 的正整数都成立？ 若存在，求最小的正整数 k ，若不存在，说明理由. 例 7、非等比数列{ }na 中，前 n 项和 21 ( 1)4n nS a   ， （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）设 1 (3 )n n b n a   ( *)n N ， 1 2n nT b b b    ，是否存在最大的整数 m，使得对任意 的 n 均有 32n mT  总成立？若存在，求出 m；若不存在，请说明理由。 三角函数章节测试题(附参考答案) 一、选择题 1． 已知 sinθ＝ 5 3 ，sin2θ＜0，则 tanθ等于 （ ） A．－ 4 3 B． 4 3 C．－ 4 3 或 4 3 D． 5 4 2． 若 20  x ，则 2x 与 3sinx 的大小关系是 （ ） A． xx sin32  B． xx sin32  C． xx sin32  D．与 x 的取值有关 3． 已知α、β均为锐角，若 P：sinα0，对于函数 )0(sin sin)(  xx axxf ，下列结论正确的是 （ ） A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大 值又无最小值 7． 函数 f(x)＝ x x cos 2cos1 （ ） A．在[0， 2  ]、      ,2 上递增，在      2 3,  、      2,2 3 上递减 B．      20 ， 、     2 3， 上递增，在      ,2 、      22 3 ， 上递减 C．在       ， 2 、      22 3 ， 上递增，在      20 ， 、     2 3， 上递减 1 y xO －1 2  π y xO －1 2  1 π y xO －1 2  1 π y xO －1 2  1 π D．在      2 3,  、      2,2 3 上递增，在      20 ， 、      ,2 上递减 8． y＝sin(x－ 12  )·cos(x－ 12  )，正确的是 （ ） A．T＝2π，对称中心为( 12  ，0) B．T＝π，对称中心为( 12  ，0) C．T＝2π，对称中心为( 6  ，0) D．T＝π，对称中心为( 6  ，0) 9． 把曲线 y cosx＋2y－1＝0 先沿 x 轴向右平移 2  ，再沿 y 轴向下平移 1 个单位，得到的曲 线方程为 （ ） A．(1－y)sinx＋2y－3＝0 B．(y－1)sinx＋2y－3＝0 C．(y＋1)sinx＋2y＋1＝0 D．－(y＋1)sinx＋2y＋1＝0 10．已知，函数 y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0＜θ＜π) 其图象与直线 y＝2 的交点的横坐标为 x1， x2，若| x1－x2|的最小值为π，则（ ） A．ω＝2，θ＝ 2  B．ω＝ 2 1 ，θ＝ 2  C．ω＝ 2 1 ，θ＝ 4  D．ω＝2，θ＝ 4  二、填空题 11．f (x)＝A sin(ωx＋ )(A>0, ω>0)的部分如图，则 f (1) ＋f (2)＋…＋f (11)＝ . 12．已 sin( 4  －x)＝ 5 3 ，则 sin2x 的值为 。 13． ]2,0[,sin2sin)(  xxxxf 的图象与直线 y＝k 有且仅有两个不同交点，则 k 的取值范 围是 ． 14．已知   sin1 cot2 2   ＝1，则(1＋sinθ)(2＋cosθ)＝ 。 15．平移 f (x)＝sin(ωx＋ )(ω>0，－ 2  < < 2  )，给出下列 4 个论断： ⑴ 图象关于 x＝ 12  对称 ⑵图象关于点( 3  ，0)对称 ⑶ 周期是π ⑷ 在[－ 6  ，0]上是增函数 以其中两个论断作为条件，余下论断为结论，写出你认为正确的两个命题： (1) ．(2) ． 三、解答题 16．已知 2 1)4tan(  ，（1）求 tan 的值；（2）求   2 22 cos1 cossin   的值． 17．设函数 )()( cbaxf  ，其中 a ＝(sinx,－cosx)，b ＝(sinx,－3cosx)，c ＝(－cosx,sinx)，x∈R； (1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期； (2) 将函数 y＝f(x)的图象按向量 d 平移，使平移后的图象关于坐标原点成中心对称，求| d | 最小的 d ． 18．在△ABC 中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角 A、B、C 的大小． 19．设 f (x)＝cos2x＋2 3 sinxcosx 的最大值为 M，最小正周期为 T． ⑴ 求 M、T． ⑵ 若有 10 个互不相等的函数 xi 满足 f (xi)＝M，且 0 0 sinA＝cosA，即 tanA＝1 又 0 < A<π ∴ A＝ 4  ，从而 C＝ 4 3 －B 由 sinB＋cos2C＝0，得 sinB＋cos2( 4 3 －B)＝0 即 sinB(1－2cosB)＝0 ∴cosB＝ 2 1 B＝ 3  C＝ 12 5 19． )(xf ＝2sin(2x＋ 6  ) (1) M＝2 T＝π (2) ∵ )( ixf ＝2 ∴ sin(2xi＋ 6  )＝1 2xi＋ 6  ＝2kπ＋ 2  xi＝2kπ＋ 6  (k∈z) 又 0 < xi<10π ∴ k＝0, 1, 2,…9 ∴ x1＋x2＋…＋x10＝(1＋2＋…＋9)π＋10× 6  ＝ 3 140 π 20．解：(1) f (x)＝sin(2x＋θ)＋ 3 cos(2x＋θ) ＝2sin(2x＋θ＋ 3  ) (2) 要使 f (x)为偶函数，则必有 f (－x)＝f (x) ∴ 2sin(－2x＋θ＋ 3  )＝2sin(2x＋θ＋ 3  ) ∴ 2sin2x cos(θ＋ 3  )＝0 对 x∈R 恒成立 ∴ cos(θ＋ 3  )＝0 又 0≤θ≤π θ＝ 6  (3) 当θ＝ 6  时 f (x)＝2sin(2x＋ 2  )＝2cos2x＝1 ∴cos2x＝ 2 1 ∵x∈[－π，π] ∴x＝－ 3  或 3  21． )(xf ＝2sin(2x＋ 6  )＋2 由五点法作出 y＝ )(xf 的图象(略) (1) 由图表知：0＜a＜4，且 a≠3 当 0＜a＜3 时，x1＋x2＝ 3 4 当 3＜a＜4 时，x1＋x2＝ 3  (2) 由对称性知，面积为 2 1 ( 6 7 － 6  )×4＝2π.