高中数学人教a版选修1-1学业分层测评7椭圆的简单几何性质word版含解析

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高中数学人教a版选修1-1学业分层测评7椭圆的简单几何性质word版含解析

学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.椭圆 25x2+9y2=225 的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A.5,3,4 5 B.10,6,4 5 C.5,3,3 5 D.10,6,3 5 【解析】 椭圆方程可化为x2 9 +y2 25 =1. ∴a=5,b=3,c=4, ∴长轴长 2a=10,短轴长 2b=6, 离心率 e=c a =4 5.故选 B. 【答案】 B 2.若焦点在 x 轴上的椭圆x2 2 +y2 m =1 的离心率为1 2 ,则 m 等于( ) A. 3 B.3 2 C.8 3 D.2 3 【解析】 ∵椭圆焦点在 x 轴上, ∴0<m<2,a= 2,c= 2-m, e=c a = 2-m 2 =1 2. 故2-m 2 =1 4 ,∴m=3 2. 【答案】 B 3.中心在原点,焦点在 x 轴,若长轴长为 18,且两个焦点恰好 将长轴三等分,则此椭圆的方程是( ) A.x2 81 +y2 72 =1 B.x2 81 +y2 9 =1 C.x2 81 +y2 45 =1 D.x2 81 +y2 36 =1 【解析】 因为 2a=18,2c=1 3 ×2a=6,所以 a=9,c=3,b2= 81-9=72.故所求方程为x2 81 +y2 72 =1. 【答案】 A 4.已知椭圆x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)的两顶点为 A(a,0),B(0,b),且左 焦点为 F,△FAB 是以角 B 为直角的直角三角形,则椭圆的离心率 e 为( ) A. 3-1 2 B. 5-1 2 C.1+ 5 4 D. 3+1 4 【解析】 由题意得 a2+b2+a2=(a+c)2,即 c2+ac-a2=0,即 e2+e-1=0,解得 e=-1± 5 2 ,又 e>0,故所求的椭圆的离心率为 5-1 2 .故选 B. 【答案】 B 5.设 e 是椭圆x2 4 +y2 k =1 的离心率,且 e∈ 1 2 ,1 ,则实数 k 的取 值范围是( ) A.(0,3) B. 3,16 3 C.(0,3)∪ 16 3 ,+∞ D.(0,2) 【解析】 当焦点在 x 轴上时,e2=c2 a2=4-k 4 ∈ 1 4 ,1 , 解得 0<k<3. 当焦点在 y 轴上时, e2=c2 a2=k-4 k ∈ 1 4 ,1 , 解得 k>16 3 .综上可知选 C. 【答案】 C 二、填空题 6.已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为1 3 ,长轴长为 12,则 椭圆方程为________. 【导学号:26160036】 【解析】 由题意得 c a =1 3 , 2a=12, a2=b2+c2, 解得 a=6, b=4 2, c=2, ∴椭圆方程为x2 36 +y2 32 =1 或y2 36 +x2 32 =1. 【答案】 x2 36 +y2 32 =1 或y2 36 +x2 32 =1 7.若椭圆 x2 k+8 +y2 9 =1 的离心率为2 3 ,则 k 的值为________. 【解析】 若焦点在 x 轴上,则 9 k+8 =1- 2 3 2=5 9 ,k=41 5 ;若焦 点在 y 轴上,则k+8 9 =5 9 ,∴k=-3. 【答案】 41 5 或-3 8.(2016·台州高二检测)若椭圆的两焦点为 F1(-4,0),F2(4,0), 点 P 在椭圆上,且△PF1F2 的最大面积是 12,则椭圆的短半轴长为 ________. 【解析】 设 P 点到 x 轴的距离为 h,则 S△PF1F2=1 2|F1F2|h, 当 P 点在 y 轴上时,h 最大,此时 S△PF1F2 最大, ∵|F1F2|=2c=8,∴h=3,即 b=3. 【答案】 3 三、解答题 9.椭圆y2 a2+x2 b2=1(a>b>0)的两焦点 F1(0,-c),F2(0,c)(c>0), 离心率 e= 3 2 ,焦点到椭圆上点的最短距离为 2- 3,求椭圆的方程. 【解】 因为椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短,∴a-c =2- 3.又 e=c a = 3 2 , ∴a=2,c= 3,b2=1, ∴椭圆的方程为y2 4 +x2=1. 10.如图 2-1-3 所示,F1,F2 分别为椭圆的左,右焦点,M 为 椭圆上一点,且 MF2⊥F1F2,∠MF1F2=30°.试求椭圆的离心率. 图 2-1-3 【解】 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为 a,b,c.因为 MF2⊥F1F2,所以△MF1F2 为直角三角形. 又∠MF1F2=30°, 所以|MF1|=2|MF2|,|F1F2|= 3 2 |MF1|. 而由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a, 因此|MF1|=4a 3 ,|MF2|=2a 3 , 所以 2c= 3 2 ×4a 3 ,即c a = 3 3 , 即椭圆的离心率是 3 3 . [能力提升] 1.(2016·长沙一模)已知 P 是椭圆上一定点,F1,F2 是椭圆的两 个焦点,若∠PF1F2=60°,|PF2|= 3|PF1|,则椭圆的离心率为( ) A. 3-1 2 B. 3-1 C.2- 3 D.1- 3 2 【解析】 由题意可得△PF1F2 是直角三角形,|F1F2|=2c,|PF1| =c,|PF2|= 3c.点 P 在椭圆上,由椭圆的定义可得 e=c a =2c 2a = |F1F2| |PF1|+|PF2| = 2c c+ 3c = 3-1. 【答案】 B 2.若点 O 和点 F 分别为椭圆x2 4 +y2 3 =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则OP→ ·FP→的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 【解析】 由题意得 F(-1,0), 设点 P(x0,y0), 则 y20=3 1-x20 4 (-2≤x0≤2), OP→ ·FP→=x0(x0+1)+y20=x20+x0+y20=x20+x0+3 1-x20 4 =1 4(x0+2)2 +2, 当 x0=2 时,OP→ ·FP→取得最大值为 6. 故选 C. 【答案】 C 3.椭圆的焦点在 y 轴上,一个焦点到长轴的两端点的距离之比 是 1∶4,短轴长为 8,则椭圆的标准方程是________. 【导学号:26160037】 【解析】 由题意得a-c a+c =1 4 ,解得 c=3 5a.又短轴长为 2b,则 2b =8,即 b=4,故 b2=a2-c2=a2- 3 5a 2=16,则 a2=25.故椭圆的标 准方程为y2 25 +x2 16 =1. 【答案】 y2 25 +x2 16 =1 4.(2014·安徽高考)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2 a2+y2 b2=1(a>b>0) 的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点,|AF1|=3|BF1|. (1)若|AB|=4,△ABF2 的周长为 16,求|AF2|; (2)若 cos∠AF2B=3 5 ,求椭圆 E 的离心率. 【解】 (1)由|AF1|=3|BF1|,|AB|=4,得|AF1|=3,|BF1|=1. 因为△ABF2 的周长为 16,所以由椭圆定义可得 4a=16,|AF1|+ |AF2|=2a=8. 故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5. (2)设|BF1|=k,则 k>0,且|AF1|=3k,|AB|=4k. 由椭圆定义可得 |AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. 在△ABF2 中,由余弦定理可得 |AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B, 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-6 5(2a-3k)·(2a-k),化简可得(a+ k)(a-3k)=0, 而 a+k>0,故 a=3k, 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k. 因此|BF2|2=|AF2|2+|AB|2,可得 F1A⊥F2A, 故△AF1F2 为等腰直角三角形. 从而 c= 2 2 a,所以椭圆 E 的离心率 e=c a = 2 2 .
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