高中数学人教a版必修4阶段质量检测（三） word版含解析

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阶段质量检测(三) (A卷 学业水平达标) (时间：90分钟，满分：120分) 一、选择题(本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分) 1．函数 y＝cos 2x＋sin 2x cos 2x－sin 2x 的最小正周期为( ) A．2π B．π C.π 2 D.π 4 答案：C 2．已知α是第二象限角，且 cos α＝－ 3 5 ，则 cos π 4 －α 的值是( ) A. 2 10 B．－ 2 10 C.7 2 10 D．－ 7 2 10 答案：A 3．已知 sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝4 5 ，且β是第三象限角，则 cos β 2 的值等于( ) A．± 5 5 B．±2 5 5 C．－ 5 5 D．－ 2 5 5 答案：A 4．设 sin θ＝3 5 ，cos θ＝－ 4 5 ，则 2θ的终边所在的象限是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D 5．若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则 tan(α－β)的值为( ) A.1 4 B.1 2 C．4 D．12 答案：C 6．(湖北高考)将函数 y＝ 3cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后，所 得到的图象关于 y轴对称，则 m的最小值是( ) A. π 12 B.π 6 C.π 3 D.5π 6 答案：B 7．在△ABC中，已知 tanA＋B 2 ＝sin C，则△ABC的形状为( ) A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案：C 8．若 cos 2α sin α－π 4 ＝－ 2 2 ，则 sin α＋cos α的值为( ) A．－ 7 2 B．－ 1 2 C.1 2 D. 7 2 答案：C 9．已知 sin α－cos α＝－ 5 2 ，则 tan α＋ 1 tan α 的值为( ) A．－5 B．－6 C．－7 D．－8 答案：D 10．若 f(x)＝2tan x－ 2sin2 x 2 －1 sinx 2 cos x 2 ，则 f π 12 的值为( ) A．－ 4 3 3 B．8 C．4 3 D．－4 3 答案：B 二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分) 11．已知等腰△ABC的腰为底的 2倍，则顶角 A的正切值是________． 答案： 15 7 12．tan 10°＋tan 50°＋ 3tan 10°tan 50°＝________. 答案： 3 13．已知θ∈ π 2 ，π ， 1 sin θ ＋ 1 cos θ ＝2 2，则 sin 2θ＋π 3 的值为________． 答案： 1 2 14．已知(sin x－2cos x)(3＋2sin x＋2cos x)＝0，则 sin 2x＋2cos2x 1＋tan x 的值为________． 答案： 2 5 三、解答题(本大题共 4小题，共 50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝(a＋2cos2x)·cos(2x＋θ)为奇函数，且 f π 4 ＝0，其 中 a∈R，θ∈(0，π)． (1)求 a，θ的值； (2)若 f α 4 ＝－ 2 5 ，α∈ π 2 ，π ，求 sinα＋π 3 的值． 解：(1)因为 f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而 y1＝a＋2cos2x为偶函数， 所以 y2＝cos(2x＋θ)为奇函数， 又θ∈(0，π)，则θ＝π 2 ， 所以 f(x)＝－sin 2x·(a＋2cos2x)． 由 f π 4 ＝0得－(a＋1)＝0，即 a＝－1. (2)由(1)得，f(x)＝－sin2x·(2cos2x－1)＝－ 1 2 sin 4x， 因为 f α 4 ＝－ 1 2 sin α＝－ 2 5 ，即 sin α＝4 5 ， 又α∈ π 2 ，π ，从而 cos α＝－ 3 5 ， 所以 sin α＋π 3 ＝sin αcosπ 3 ＋cos αsinπ 3 ＝ 4－3 3 10 . 16．(本小题满分 12分)已知函数 f(x)＝sin 3x＋π 4 . (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)若α是第二象限角，f α 3 ＝ 4 5 cosα＋π 4 ·cos 2α，求 cos α－sin α的值． 解：(1)因为函数 y＝sin x 的单调递增区间为 － π 2 ＋2kπ，π 2 ＋2kπ ，k∈Z. 由－ π 2 ＋2kπ≤3x＋π 4 ≤ π 2 ＋2kπ，k∈Z， 得－ π 4 ＋ 2kπ 3 ≤x≤ π 12 ＋ 2kπ 3 ，k∈Z. 所以函数 f(x)的单调递增区间为 － π 4 ＋ 2kπ 3 ， π 12 ＋ 2kπ 3 ，k∈Z. (2)由已知 sin α＋π 4 ＝ 4 5 cos α＋π 4 (cos2α－sin2α)， 得 sin αcosπ 4 ＋cos αsinπ 4 ＝ 4 5 cos αcosπ 4 －sin α sinπ 4 (cos2α－sin2α)， 即 sin α＋cos α＝4 5 (cos α－sin α)2(sin α＋cos α)． 当 sin α＋cos α＝0时， 由α是第二象限角，知α＝3π 4 ＋2kπ，k∈Z. 此时，cos α－sin α＝－ 2. 当 sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝5 4 . 由α是第二象限角，知 cos α－sin α＜0， 此时 cos α－sin α＝－ 5 2 . 综上所述，cos α－sin α＝－ 2或－ 5 2 . 17．(本小题满分 12分)已知 f(x)＝sin x＋2sinπ 4 ＋ x 2 cos π 4 ＋ x 2 . (1)若 f(α)＝ 2 2 ，α∈ － π 2 ，0 ，求α的值； (2)若 sinx 2 ＝ 4 5 ，x∈ π 2 ，π ，求 f(x)的值． 解：(1)f(x)＝sin x＋2sin π 4 ＋ x 2 cos π 4 ＋ x 2 ＝sin x＋sin x＋π 2 ＝sin x＋cos x ＝ 2sin x＋π 4 . 由 f(α)＝ 2 2 ，得 2sin α＋π 4 ＝ 2 2 ， ∴sin α＋π 4 ＝ 1 2 . ∵α∈ － π 2 ，0 ，∴α＋π 4 ∈ － π 4 ， π 4 . ∴α＋π 4 ＝ π 6 ，∴α＝－ π 12 . (2)∵x∈ π 2 ，π ，∴ x 2 ∈ π 4 ， π 2 . 又∵sinx 2 ＝ 4 5 ，∴cosx 2 ＝ 3 5 . ∴sin x＝2sinx 2 cosx 2 ＝ 24 25 ， cos x＝－ 1－sin2x＝－ 7 25 . ∴f(x)＝sin x＋cos x＝24 25 － 7 25 ＝ 17 25 . 18．(本小题满分 14分)已知函数 f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)． (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间 0，π 2 上的最大值和最小值； (2)若 f(x0)＝ 6 5 ，x0∈ π 4 ， π 2 ，求 cos 2x0的值． 解：(1)由 f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1，得 f(x)＝ 3(2sin xcos x)＋(2cos2x－1) ＝ 3sin 2x＋cos 2x ＝2sin 2x＋π 6 . ∴函数 f(x)的最小正周期为π. ∵f(x)＝2sin 2x＋π 6 在区间 0，π 6 上为增函数，在区间 π 6 ， π 2 上为减函数，又 f(0)＝1，f π 6 ＝2， f π 2 ＝－1，∴函数 f(x)在区间 0，π 2 上的最大值为 2，最小值为－1. (2)由(1)可知 f(x0)＝2sin 2x0＋π 6 . 又∵f(x0)＝6 5 ， ∴sin 2x0＋π 6 ＝ 3 5 . 由 x0∈ π 4 ， π 2 ，得 2x0＋π 6 ∈ 2π 3 ， 7π 6 . 从而 cos 2x0＋π 6 ＝－ 1－sin2 2x0＋π 6 ＝－ 4 5 . ∴cos 2x0＝cos 2x0＋π 6 － π 6 ＝cos 2x0＋π 6 cosπ 6 ＋sin 2x0＋π 6 sinπ 6 ＝ 3－4 3 10 . (B卷 能力素养提升) (时间：90分钟，满分：120分) 一、选择题(本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分) 1．cos 24°sin 54°－cos 66°sin 36°的值为( ) A．0 B.1 2 C. 3 2 D．－ 1 2 解析：选 B 因为 cos 24°sin 54°－cos 66°sin 36°＝cos 24°sin 54°－sin 24°cos 54°＝sin(54° －24°)＝sin 30°＝1 2 ，故选 B. 2．若 sin αsin β＝1，则 cos(α－β)的值为( ) A．0 B．1 C．±1 D．－1 解析：选 B 由 sin αsin β＝1，得 cos αcos β＝0， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1. 3．下列各式中，值为－ 3 4 的是( ) A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215° C．2sin215°－1 D.1 2 －cos215° 解析：选 D 用二倍角公式求解可知，只有 D的结果为－ 3 4 . 4．设α∈ 0，π 2 ，若 sin α＝3 5 ，则 2cos α＋π 4 等于( ) A.7 5 B.1 5 C．－ 7 5 D．－ 1 5 解析：选 B 依题意可得 cos α＝4 5 ，∴ 2cosα＋π 4 ＝ 2·cos αcosπ 4 － 2sin αsinπ 4 ＝cos α－sin α＝4 5 － 3 5 ＝ 1 5 . 5．设 tan(α＋β)＝5，tan β－π 4 ＝4，那么 tanα＋π 4 的值等于( ) A．－ 9 19 B. 1 21 C. 1 19 D. 9 21 解析：选 B tan α＋π 4 ＝tan α＋β－ β－π 4 ＝ tanα＋β－tan β－π 4 1＋tanα＋β·tan β－π 4 ＝ 5－4 1＋5×4 ＝ 1 21 . 6．在△ABC中，若 tan Atan B＋tan A＋tan B＝1，则 cos C的值是( ) A．－ 2 2 B. 2 2 C.1 2 D．－ 1 2 解析：选 A 由 tan Atan B＋tan A＋tan B＝1，得 tan A＋tan B＝1－tan Atan B， 所以 tan(A＋B)＝ tan A＋tan B 1－tan Atan B ＝1. 又 tan(A＋B)＝－tan C，所以 tan C＝－1， 所以 C＝3π 4 ，cos C＝cos3π 4 ＝－ 2 2 . 7．函数 f(x)＝sin x－cos x，x∈ 0，π 2 的最小值为( ) A．－2 B．－ 3 C．－ 2 D．－1 解析：选 D f(x)＝ 2sin x－π 4 ，x∈ 0，π 2 . ∵－ π 4 ≤x－π 4 ≤ π 4 .∴f(x)min＝ 2sin － π 4 ＝－1. 8．已知α、β为锐角，且 cos α＝ 1 10 ，cos β＝ 1 5 ，则α＋β的值是( ) A.3π 4 B.π 3 C.π 4 或 3π 4 D.π 3 或 2π 3 解析：选 A ∵α、β为锐角，且 cos α＝ 1 10 ，cos β＝ 1 5 ， ∴sin α＝ 1－cos2α＝ 3 10 ，sin β＝ 1－cos2β＝ 2 5 . ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ 1 10 × 1 5 － 3 10 × 2 5 ＝－ 2 2 . ∵0<α＋β<π，∴α＋β＝3π 4 . 9．在△ABC中，若 sin Bsin C＝cos2A 2 ，则此三角形为( ) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：选 B ∵sin Bsin C＝cos2A 2 ， ∴sin Bsin C＝1＋cos A 2 ， 可得 2sin Bsin C＝1＋cos[π－(B＋C)]， 即 2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)． ∴cos(B－C)＝1.又角 B、角 C为△ABC的内角， ∴B－C＝0，即 B＝C.故选 B. 10．已知函数 f(x)＝sin2 3 x＋cos 2 3 x－π 6 ，对任意实数α，β，当 f(α)－f(β)取最大值时，|α －β|的最小值是( ) A．3π B.3π 2 C.4π 3 D.2π 3 解析：选 B f(x)＝sin2 3 x＋cos 2 3 x－π 6 ＝ sin2 3 x＋sin 2 3 x＋π 3 ＝ 3sin 2 3 x＋π 6 . 又当 f(α)－f(β)取最大值时，|α－β|的最小值是函数 f(x)的最小正周期的一半，而函数的最 小正周期 T＝ 2π 2 3 ＝3π，从而选 B. 二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分) 11．函数 f(x)＝2cos2x 2 ＋sin x的最小正周期是________． 解析：化简得 f(x)＝1＋ 2sin x＋π 4 ， ∴T＝2π 1 ＝2π. 答案：2π 12．已知 sin α＝2 3 ，α∈ π 2 ，π ，cos β＝－ 3 4 ，β∈ π，3π 2 ，则 cos(α＋β)＝________. 解析：因为 sin α＝2 3 ，α∈ π 2 ，π ， 所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－ 5 3 . 因为 cos β＝－ 3 4 ，β∈ π，3π 2 ， 所以 sin β＝－ 1－cos2β＝－ 7 4 . 所以 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ － 5 3 × － 3 4 － 2 3 × － 7 4 ＝ 3 5＋2 7 12 . 答案： 3 5＋2 7 12 13．sin α＝3 5 ，cos β＝3 5 ，其中α，β∈ 0，π 2 ，则α＋β＝________. 解析：∵α，β∈ 0，π 2 ，sin α＝3 5 ，cos β＝3 5 ， ∴cos α＝4 5 ，sin β＝4 5 . ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0. ∵ α，β∈ 0，π 2 ，∴0<α＋β<π，故α＋β＝π 2 . 答案： π 2 14．cos 6·tan 6的符号为________(填“正”“负”或“不确定”)． 解析：∵ 3π 2 <6<2π，∴6是第四象限角． ∴cos 6>0，tan 6<0，则 cos 6·tan 6<0. 答案：负 三、解答题(本大题共 4小题，共 50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分 12分)已知 sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2，求 cos3 π 2 －θ ＋sin3π 2 －θ的 值． 解：cos3 π 2 －θ ＋sin3 π 2 －θ ＝sin3θ＋cos3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ) ＝(1－ 2)[1－(1－ 2)]＝ 2－2. 16．(本小题满分 12分)已知函数 f(x)＝ 3sin 2x－2sin2x. (1)若点 P(1，－ 3)在角α的终边上，求 f(α)的值； (2)若 x∈ － π 6 ， π 3 ，求 f(x)的值域． 解：(1)因为点 P(1，－ 3)在角α的终边上， 所以 sin α＝－ 3 2 ，cos α＝1 2 ， 所以 f(α)＝ 3sin 2α－2sin2α＝2 3sin αcos α－2sin2α ＝2 3× － 3 2 × 1 2 －2× － 3 2 2＝－3. (2)f(x)＝ 3sin 2x－2sin2x＝ 3sin 2x＋cos 2x－1＝2sin 2x＋π 6 －1， 因为 x∈ － π 6 ， π 3 ，所以－ π 6 ≤2x＋π 6 ≤ 5π 6 ， 所以－ 1 2 ≤sin 2x＋π 6 ≤1， 所以 f(x)的值域是[－2,1]． 17．(本小题满分 12分)(广东高考)已知函数 f(x)＝Acos x 4 ＋ π 6 ，x∈R，且 f π 3 ＝ 2. (1)求 A的值； (2)设α，β∈ 0，π 2 ，f 4α＋4 3 π ＝－ 30 17 ，f 4β－2 3 π ＝ 8 5 ，求 cos(α＋β)的值． 解：(1)因为 f π 3 ＝ 2，所以 Acos 1 4 × π 3 ＋ π 6 ＝Acos π 4 ＝ 2 2 A＝ 2，所以 A＝2. (2)由(1)知 f(x)＝2cos x 4 ＋ π 6 ，f 4α＋4π 3 ＝2cos α＋π 3 ＋ π 6 ＝－2sin α＝－ 30 17 ，所以 sin α＝15 17 ， 因为α∈ 0，π 2 ，所以 cos α＝ 8 17 ；又因为 f 4β－2π 3 ＝2cos β－π 6 ＋ π 6 ＝2cos β＝8 5 ，所以 cos β ＝ 4 5 ，因为β∈ 0，π 2 ，所以 sin β＝3 5 .所以 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ 8 17 × 4 5 － 15 17 × 3 5 ＝ － 13 85 . 18．(本小题满分 14分)已知函数 f(x)＝sin(2x＋φ) |φ|<π 2 ，且 f 5π 6 ＝－1. (1)求φ的值； (2)若 f(α)＝3 5 ，f β＋ π 12 ＝ 5 13 ，且 π 6 <α<π 3 ，0<β<π 4 ，求 cos 2α＋2β－π 6 的值． 解：(1)∵f(x)＝sin(2x＋φ)，且 f 5π 6 ＝－1， ∴2×5π 6 ＋φ＝2kπ＋3π 2 ，k∈Z. ∵|φ|<π 2 ，∴φ＝－ π 6 . (2)由(1)得 f(x)＝sin 2x－π 6 . ∵ π 6 <α<π 3 ，0<β<π 4 ， ∴2α－π 6 ∈ π 6 ， π 2 ，2β∈ 0，π 2 . ∵f(α)＝3 5 ，f β＋ π 12 ＝ 5 13 ， ∴sin 2α－π 6 ＝ 3 5 ，sin 2β＝ 5 13 ， ∴cos 2α－π 6 ＝ 4 5 ，cos 2β＝12 13 ， ∴cos 2α＋2β－π 6 ＝cos 2α－π 6 ＋2β ＝cos 2α－π 6 ·cos 2β－sin 2α－π 6 sin 2β＝33 65 .