高中人教a版数学必修4:第17课时 平面向量的实际背景及其基本概念 word版含解析

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高中人教a版数学必修4:第17课时 平面向量的实际背景及其基本概念 word版含解析

第 17 课时 平面向量的实际背景及其基本概念 课时目标 1.通过物理、几何模型的探究,了解向量的实际背景.掌握向量的有关概念及向量的几 何表示. 2.掌握相等向量与共线向量的概念. 识记强化 1.既有大小,又有方向的量叫向量. 2.向量可以用有向线段AB→表示,也可用字母表示,印刷中用黑体小写字母 a,b,c,… 表示,书写时,可以用带箭头的小写字母a → ,b → ,c → ,…表示. 3.表示向量的有向线段的长度,叫向量的模,模为零的向量叫零向量;模为 1 的向量 叫单位向量. 4.模相等、方向相同的向量叫相等向量;方向相同或相反的两个向量叫平行向量,也 叫共线向量.规定零向量与任何向量共线. 课时作业 一、选择题 1.给出下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤路程;⑥功;⑦加速度.其 中是向量的有( ) A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个 答案:A 解析:速度、位移、力、加速度,这 4 个物理量是向量,它们都有方向和大小. 2.已知 D 为平行四边形 ABPC 两条对角线的交点,则|PD→ | |AD→ | 的值为( ) A.1 2 B.1 3 C.1 D.2 答案:C 解析:因为四边形 ABPC 是平行四边形,D 为对角线 BC 与 AP 的交点,所以 D 为 PA 的中点,所以|PD→ | |AD→ | 的值为 1. 3.下列说法正确的是( ) A.若 a 与 b 平行,b 与 c 平行,则 a 与 c 一定平行 B.终点相同的两个向量不共线 C.若|a|>|b|,则 a>b D.单位向量的长度为 1 答案:D 解析:A 中,因为零向量与任意向量平行,若 b=0,则 a 与 c 不一定平行.B 中,两 向量终点相同,若夹角是 0°或 180°,则共线.C 中,向量是既有大小,又有方向的量,不 可以比较大小. 4.如图,在⊙O 中,向量OB→ 、OC→ 、AO→ 是( ) A.有相同起点的向量 B.共线向量 C.模相等的向量 D.相等的向量 答案:C 5.下列命题正确的是( ) A.若|a|=|b|,则 a=b B.若 a≠b,则|a|≠|b| C.若|a|=|b|,则 a 与 b 可能共线 D.若|a|≠|b|,则 a 一定不与 b 共线 答案:C 解析:因为向量既有大小又有方向,只有方向相同、大小(长度)相等的两个向量才相等, 因此 A 错误.两个向量不相等,但它们的模可以相等,故 B 错误.不论两个向量的模是否 相等,这两个向量都可能共线,C 正确,D 错误. 6.给出下列四个命题: ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ②若 a=b,b=c,则 a=c; ③设 a0 是单位向量,若 a∥a0,且|a|=1,则 a=a0; ④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b. 其中假命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 解析:①不正确.两个向量起点相同,终点相同,则两向量相等;但两个向量相等,不 一定有相同的起点和终点. ②正确.根据向量相等的定义判定. ③不正确.a 与 a0 均是单位向量,a=a0 或 a=-a0. ④不正确.a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a,b 同向. 二、填空题 7.在四边形 ABCD 中,AB→∥CD→ ,|AB→|≠|CD→ |,则四边形 ABCD 是________. 答案:梯形 8.给出下列四个条件:(1)a=b;(2)|a|=|b|;(3)a 与 b 方向相反;(4)|a|=0 或|b|=0.其中 能使 a∥b 成立的条件是________. 答案:(1)(3)(4) 解析:若 a=b,则 a 与 b 大小相等且方向相同,所以 a∥b;若|a|=|b|,则 a 与 b 的大 小相等,而方向不确定,因此不一定有 a∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此 若 a 与 b 方向相反,则有 a∥b;零向量与任意向量平行,所以若|a|=0 或|b|=0,则 a∥b. 9. 如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,则 (1)与AO→ 相等的向量有________; (2)与AO→ 共线的向量有________; (3)与AO→ 模相等的向量有________个. 答案:(1)BC→,OD→ ,FE→;(2)BC→,OD→ ,FE→,CB→,DO→ ,EF→,OA→ ,AD→ ,DA→ ;(3)23 解析:根据向量的相关概念,可得(1)与AO→ 相等的向量有BC→,OD→ ,FE→;(2)与AO→ 共线的向 量有BC→,OD→ ,FE→,CB→,DO→ ,EF→,OA→ ,AD→ ,DA→ ;(3)正六边形的每一条边和每一条中心与顶点连成 的线段,长度与AO→ 的模都相等,这样的线段共有 12 条,再注意到方向,共 24 个向量,除 去AO→ 本身,满足条件的向量有 23 个. 三、解答题 10.已知在四边形 ABCD 中,AB→∥CD→ ,求AD→ 与BC→分别满足什么条件时,四边形 ABCD 满足下列情况. (1)四边形 ABCD 是等腰梯形; (2)四边形 ABCD 是平行四边形. 解:(1)|AD→ |=|BC→|,且AD→ 与BC→不平行. ∵AB→∥CD→ ,∴四边形 ABCD 为梯形或平行四边形.若四边形 ABCD 为等腰梯形,则|AD→ | =|BC→|,同时两向量不共线. (2)AD→ =BC→(或AD→ ∥BC→). 若AD→ =BC→,即四边形的一组对边平行且相等,此时四边形 ABCD 为平行四边形. 11.一架飞机向北飞行了 300 km,然后又向西飞行了 300 km. (1)飞机飞行的路程是多少? (2)两次飞行结束后,飞机在出发地的什么方位?距离出发地多远?(保留根号) 解:(1)300+300=600(km),飞机飞行的路程是 600 km. (2)两次飞行结束后,飞机在出发地的西北方向(或北偏西 45°),距离出发地 300 2 km. 能力提升 12.如图所示的 4×5 的矩形(每个小方格都是正方形),与AB→相等,并且要求向量的起 点和终点都在方格的顶点处的向量可以作出________个. 答案:3 13.如图,已知正比例函数 y=x 的图象 m 与直线 n 平行,A 0,- 2 2 、B(x,y)是直线 n 上的两点,问: (1)x、y 为何值时,AB→=0? (2)x、y 为何值时,AB→为单位向量? 解:(1)已知点 B(x,y)是直线 n 上的动点,要使得AB→=0,必须且只需点 B(x,y)与 A 重 合,于是 x=0,y=- 2 2 ,即当 x=0,y=- 2 2 时,AB→=0. (2) 如图,要使得AB→是单位向量,必须且只需|AB→|=1.由已知 m∥n 且 A 0,- 2 2 , ∴点 B1 的坐标是 2 2 ,0 . 在 Rt△AOB1 中,有|AB1 → |2=|OA→ |2+|OB1 → |2=1. 上式表明,向量AB1 → 是单位向量,同理可得, 当点 B2 的坐标是 - 2 2 ,- 2 时,向量AB2 → 也是单位向量. 综上,有当 x= 2 2 ,y=0 或 x=- 2 2 ,y=- 2时,AB→为单位向量.
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