高中人教a版数学必修4:第15课时 简谐运动、由图象求解析式 word版含解析

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高中人教a版数学必修4:第15课时 简谐运动、由图象求解析式 word版含解析

第 15 课时 简谐运动、由图象求解析式 课时目标 了解函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)与简谐运动的关系,了解振幅、周期、频率、相 位、初相的含义.解根据 y=Asin(ωx+φ)图象求出其解析式. 识记强化 当函数 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,x∈[0,+∞))表示一个振动量时,A 就表示 这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次所需 要的时间 T=2π ω ,它叫做振动的周期;单位时间内往复振动的次数 f=1 T =ω 2π ,它叫做振动的 频率;ωx+φ叫做相位,φ叫做初相(即当 x=0 时的相位). 课时作业 一、选择题 1.最大值为1 2 ,周期为2π 3 ,初相为π 6 的函数表达式可能是( ) A.y=1 2sin x 3 +π 6 B.y=2sin x 2 -π 6 C.y=1 2sin 3x+π 6 D.y=2sin 2x-π 6 答案:C 2.已知简谐运动 f(x)=2sin π 3x+φ |φ|<π 2 的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正 周期 T 和初相φ分别为( ) A.T=6,φ=π 6 B. T=6,φ=π 3 C.T=6π,φ=π 6 D.T=6π,φ=π 3 答案:A 解析:依题意,得 2sinφ=1,sinφ=1 2. 又|φ|<π 2 ,初相φ>0,故φ=π 6. 又 T=2π π 3 =6,故 T=6,φ=π 6. 3.将函数 f(x)=sinωx(其中ω>0)的图象向右平移π 4 个单位长度,所得图象经过点 3π 4 ,0 , 则ω的最小值是( ) A.1 3 B.1 C.5 3 D.2 答案:D 解析:将函数 f(x)=sinωx 的图象向右平移π 4 个单位长度,得到的图象对应的函数解析式 为 f(x)=sinω x-π 4 =sin ωx-ωπ 4 .又因为函数图象过点 3π 4 ,0 所以 sin 3ωπ 4 -ωπ 4 =sinωπ 2 =0,所以ωπ 2 =kπ, 即ω=2k(k∈Z),因为ω>0,所以ω的最小值为 2. 4.下列函数中,图象的一部分如图所示,则该函数解析式为( ) A.y=sin x+π 6 B.y=sin 2x-π 6 C.y=cos 4x-π 3 D.y=cos 2x-π 6 答案:D 解析:由图可知T 4 = π 12 +π 6 ,∴T=4×3π 12 =π,∴ω=2. 由“五点法”作图知 2× -π 6 +φ=0,∴φ=π 3. ∴解析式为 y=sin 2x+π 3 =cos 2x-π 6 ,故选 D. 5.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m(A>0,ω>0)的最大值是 4,最小值是 0,最小正周期 是π 2 ,直线 x=π 3 是其图象的一条对称轴,则下面各解析式中符合条件的是( ) A.y=4sin 4x+π 6 +2 B.y=2sin 2x+π 3 +2 C.y=2sin 4x+π 3 +2 D.y=2sin 4x+π 6 +2 答案:D 解析:最大值为 4,最小值为 0.所以 A=4-0 2 =2,又 T=π 2 =2π ω ,所以ω=4.又由 4×π 3 + φ=kπ+π 2(k∈Z)得φ=kπ-5π 6 (k∈Z).当 k=1 时,φ=π 6.所以所求解析式可能为 y=2sin 4x+π 6 +2. 6.设 f(x)=Asin(ωx+φ)+B 的定义域为 R,周期为2π 3 ,初相为π 6 ,值域为[-1,3],则其 函数式的最简形式为( ) A.y=2sin 3x+π 6 +1 B.y=2sin 3x+π 6 -1 C.y=-2sin 3x+π 6 -1 D.y=2sin 3x-π 6 +1 答案:A 解析:由 T=2π 3 知:ω=3,初相为π 6 ,∴φ=π 6 ,值域[-1,3],∴最简形式为 y=2sin 3x+π 6 +1. 二、填空题 7.函数 y=3sin 4x-π 3 ,x∈R 的振幅是________,周期是________,频率是________, 相位是________,初相是________. 答案:3 解析:π 2 2 π 4x-π 3 -π 3 频率和周期互为倒数关系. 8.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,则ω=________. 答案:3 2 解析:由图,知T 4 =2π 3 -π 3 =π 3 ,∴T=4π 3 .又 T=2π ω =4π 3 ,∴ω=3 2. 9.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象如图,则函数的解析式是________. 答案:y=2sin 2x+π 6 三、解答题 10.已知函数 y=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)在同一周期内,x=π 9 时取得最大值1 2 ,x=4 9π 时取得最小值-1 2 ,求该函数解析式. 解:由已知得 A=1 2 ,T 2 =π 3 ,∴T=2π 3 ,则ω=3. 把 π 9 ,1 2 代入 y=1 2sin(3x+φ),得 sin π 3 +φ =1. ∵0<φ<π,∴π 3 +φ=π 2 ,φ=π 6. 因此,函数的解析式为 y=1 2sin 3x+π 6 . 11.已知曲线 y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,-π 2<φ<π 2 上的一个最高点的坐标为 π 8 , 2 , 此点到相邻最低点间的曲线与 x 轴交于点 3π 8 ,0 . (1)试求这条曲线的函数表达式; (2)用“五点法”画出(1)中函数在 -π 8 ,7π 8 上的图象. 解:(1)由题意,知 A= 2,T=4× 3π 8 -π 8 =π, ∴ω=2π T =2,∴y= 2sin(2x+φ). 又 sin π 8 ×2+φ =1,∴π 4 +φ=2kπ+π 2 ,k∈Z, ∴φ=2kπ+π 4 ,k∈Z, 又φ∈ -π 2 ,π 2 , ∴φ=π 4 ,∴y= 2sin 2x+π 4 . (2)列出 x,y 的对应值表: x -π 8 π 8 3π 8 5π 8 7π 8 2x+π 4 0 π 2 π 3π 2 2π y 0 2 0 - 2 0 描点、连线,得题中函数在 -π 8 ,7π 8 上的图象如图所示: 能力提升 12.已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,且 f π 2 =-2 3 ,则 f(0)=( ) A.-2 3 B.2 3 C.-1 2 D.1 2 答案:B 解析:由图象可得函数的最小正周期为2π 3 , 于是 f(0)=f 2π 3 .又从图象可知.2π 3 与π 2 关于7π 12 对称,所以 f 2π 3 =-f π 2 =2 3. 13.如图为函数 f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π 2 的一个周期内的图象. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 g(x)的图象与 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,求函数 g(x)的解析式; (3)求函数 g(x)的最小正周期、频率、振幅、初相. 解:(1)由图,知 A=2,T=7-(-1)=8, ∴ω=2π T =2π 8 =π 4 ,∴f(x)=2sin π 4x+φ . 将点(-1,0)代入,得 0=2sin -π 4 +φ . ∵|φ|<π 2 , ∴φ=π 4 , ∴f(x)=2sin π 4x+π 4 . (2)作出与 f(x)的图象关于直线 x=2 对称的图象(图略),可以看出 g(x)的图象相当于将 f(x) 的图象向右平移 2 个单位长度得到的, ∴g(x)=2sin π 4 x-2+π 4 =2sin π 4x-π 4 . (3)由(2),知 g(x)的最小正周期为2π π 4 =8, 频率为1 8 ,振幅为 2,初相为-π 4.
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