2019-2020学年度辽宁省营口市大石桥市人教版八年级（下）期末数学试卷 解析版

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2019-2020 学年辽宁省营口市大石桥市八年级（下）期末数学试 卷 一、选择题：（共 10 题，每题 3 分，计 30 分） 1．（3分）下列根式中属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．（3分）以下列各数为边不能组成直角三角形的一组是（ ） A．15、12、9 B． 、2、 C．8、15、17 D． 、2、 3．（3分）下列计算或化简正确的是（ ） A．2 +4 ＝6 B． ＝4 C． ＝﹣3 D． ＝3 4．（3分）已知正比例函数 y＝kx的函数值 y随 x的增大而增大，则一次函数 y＝x﹣k的图 象是（ ） A． B． C． D． 5．（3分）某同学对数据 26，36，36，46，5■，52进行统计分析发现其中一个两位数的个 位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 6．（3分）下列判定正确的是（ ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C．四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 7．（3分）下列计算正确的是（ ） A．3 ﹣2 ＝ B． •（ ÷ ）＝ C．（ ﹣ ）÷ ＝2 D． ﹣3 ＝ 8．（3 分）如图，在矩形 ABCD中对角线 AC与 BD相交于点 O，CE⊥BD，垂足为点 E， CE＝5，且 EO＝2DE，则 AD的长为（ ） A．5 B．6 C．10 D．6 9．（3 分）如图，已知函数 y1＝3x+b和 y2＝ax﹣3的图象交于点 P（﹣2，﹣5），则不等式 3x+b＞ax﹣3的解集为（ ） A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞﹣5 D．x＜﹣5 10．（3分）如图，在矩形 ABCD中，AB＝2，BC＝1，动点 P从点 B出发，沿路线 B→C→ D作匀速运动，那么△ABP的面积 y与点 P运动的路程 x之间的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共 8 题，每小题 3 分，满分 24 分） 11．（3分）函数 y＝2 + 中，自变量 x的取值范围是 ． 12．（3分）如图，∠AOB＝90°，OA＝9m，OB＝3m，一机器人在点 B处看见一个小球从 点 A出发沿着 AO方向匀速滚向点 O，机器人立即从点 B出发，沿直线匀速前进拦截小 球，恰好在点 C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器 人行走的路程 BC为 ． 13．（3分）如图所示，将两张等宽的长方形条交叉叠放，重叠部分是一个四边形 ABCD， 若 AD＝4cm，∠ABC＝30°，则四边形 ABCD的面积是 cm2． 14．（3分）如图，平行四边形 ABCD的对角线 AC与 BD相较于点 O，AM⊥BC，垂足为 M， AB＝2 ，BD＝6，AC＝2，则 AM的长为 ． 15．（3分）若数据 1，4，a，9，6，5的平均数为 5，则中位数是 ；众数是 ． 16．（3分）李老师开车从甲地到相距 240千米的乙地，如果油箱剩余油量 y（升）与行驶里 程 x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是 升． 17．（3分）若点 P（﹣1，y1）和点 Q（﹣2，y2）是一次函数 y＝ x+b的图象上的两点， 则 y1，y2的大小关系是 ． 18．（3分）矩形 ABCD中，AB＝6，BC＝8，点 E是 BC边上一点，连接 DE，把△DCE沿 DE折叠，使点 C落在点 C′处，当△BEC′为直角三角形时，BE的长为 ． 三、解答题（共 2 题，19 题每小题 10 分，20 小题 8 分，满分 18 分） 19．（10分）（1）（ + ）﹣（ ﹣ ）； （2）（ ）2﹣（ ）． 20．（8分）已知：在△ABC中，AD是 BC边上的中线，点 E是 AD的中点；过点 A作 AF ∥BC，交 BE的延长线于 F，连接 CF． （1）求证：四边形 ADCF是平行四边形； （2）填空： ①当 AB＝AC时，四边形 ADCF是 形； ②当∠BAC＝90°时，四边形 ADCF是 形． 四、解答题（共 3 题，每题 8 分，共 24 分 21．（8分）有一块空白地，如图，∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，AB＝26m，BC＝24m， 试求这块空白地的面积． 22．（8分）如图，一次函数 y＝ax+b的图象与正比例函数 y＝kx的图象交于点 M． （1）求正比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使正比例函数的值大于一次函数的值的 x的取值范围； （3）求△MOP的面积． 23．（8 分）某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项 成绩构成的，如果期末评价成绩 80分以上（含 80分），则评为“优秀”．下面表中是小 张和小王两位同学的成绩记录： 完成作业 单元测试 期末考试 小张 70 90 80 小王 60 75 （1）若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算小张的期末评价成绩； （2）若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按 1：2：7的权重来确定期末评价成 绩． ①请计算小张的期末评价成绩为多少分？ ②小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考多少分才能达到优秀？ 五、解答题（共 2 题，每题 12 分，共 24 分） 24．（12分）如图，△ABC中，点 O是 AC上一动点，过点 O作直线 MN∥BC，若 MN交 ∠BCA的平分线于点 E，交∠DCA的平分线于点 F，连接 AE、AF． （1）说明：OE＝OF； （2）当点 O运动到 AC中点处时，求证：四边形 AECF是矩形； （3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形 AECF为正方形，并加以证 明． 25．（12 分）甲乙两人同时登西山，甲、乙两人距地面的高度 y（米）与登山时间 x（分） 之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲登山的速度是每分钟 米，乙在 A地提速时距地面的高度 b为 米． （2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的 3倍，请分别求出甲、乙二人登山全过程中， 登山时距地面的高度 y（米）与登山时间 x（分）之间的函数关系式． （3）登山多长时间时，乙追上了甲此时乙距 A地的高度为多少米？ 2019-2020 学年辽宁省营口市大石桥市八年级（下）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（共 10 题，每题 3 分，计 30 分） 1．（3分）下列根式中属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【分析】直接利用最简二次根式的定义分别判断得出即可． 【解答】解：A、是最简二次根式，故此选项正确； B、 ＝2 ，故此选项错误； C、 ＝ ，故此选项错误； D、 ＝ ，故此选项错误． 故选：A． 【点评】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键． 2．（3分）以下列各数为边不能组成直角三角形的一组是（ ） A．15、12、9 B． 、2、 C．8、15、17 D． 、2、 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【解答】解：A、92+122＝152，故是直角三角形，故此选项不合题意； B、（ ）2+22＝（ ）2，故是直角三角形，故此选项不合题意； C、82+152＝172，故是直角三角形，故此选项不合题意； D、（ ）2+22≠（ ）2，故不是直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形 的三边长 a，b，c满足 a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 3．（3分）下列计算或化简正确的是（ ） A．2 +4 ＝6 B． ＝4 C． ＝﹣3 D． ＝3 【分析】根据二次根式的加减法对 A进行判断；根据二次根式的性质对 B、C进行判断； 根据二次根式的除法法则对 D进行判断． 【解答】解：A、2 与 4 不能合并，所以 A选项错误； B、原式＝2 ，所以 B选项错误； C、原式＝|﹣3|＝3，所以 C选项错误； D、原式＝ ＝3，所以 D选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次 根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 4．（3分）已知正比例函数 y＝kx的函数值 y随 x的增大而增大，则一次函数 y＝x﹣k的图 象是（ ） A． B． C． D． 【分析】由正比例函数的性质可求得 k的取值范围，再结合一次函数的解析式进行判断 即可． 【解答】解： ∵正比例函数 y＝kx的函数值 y随 x的增大而增大， ∴k＞0， ∴﹣k＜0， ∴在一次函数 y＝x﹣k中，y随 x的增大而增大，且与 y轴的交点在 x轴的下方， 故选：B． 【点评】本题主要考查正比例函数和一次函数的性质，利用函数的性质先求得 k的取值 范围是解题的关键． 5．（3分）某同学对数据 26，36，36，46，5■，52进行统计分析发现其中一个两位数的个 位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断． 【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第 5个数有关，而这组数据的中位 数为 36与 46的平均数，与第 5个数无关． 故选：B． 【点评】本题考查了方差：它也描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平 均数和众数的概念． 6．（3分）下列判定正确的是（ ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C．四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，可得答案． 【解答】解：A、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，故 A错误； B、两条对角线相等且平分且互相垂直的四边形是正方形，故 B错误； C、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故 C正确； D、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形、可能是等腰梯形，故 D 错误； 故选：C． 【点评】本题考查了多边形，熟记平行四边形的判定与性质、特殊平行四边形的判定与 性质是解题关键． 7．（3分）下列计算正确的是（ ） A．3 ﹣2 ＝ B． •（ ÷ ）＝ C．（ ﹣ ）÷ ＝2 D． ﹣3 ＝ 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得． 【解答】解：A、3 与﹣2 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； B、 •（ ÷ ）＝ • ＝ ＝ ，此选项正确； C、（ ﹣ ）÷ ＝（5 ﹣ ）÷ ＝5﹣ ，此选项错误； D、 ﹣3 ＝ ﹣2 ＝﹣ ，此选项错误； 故选：B． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序 和运算法则． 8．（3 分）如图，在矩形 ABCD中对角线 AC与 BD相交于点 O，CE⊥BD，垂足为点 E， CE＝5，且 EO＝2DE，则 AD的长为（ ） A．5 B．6 C．10 D．6 【分析】由矩形的性质得到∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝ BD，OC＝ AC，求得 OC ＝OD，设 DE＝x，OE＝2x，得到 OD＝OC＝3x，AC＝6x，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵四边形 ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝ BD，OC＝ AC， ∴OC＝OD， ∵EO＝2DE， ∴设 DE＝x，OE＝2x， ∴OD＝OC＝3x，AC＝6x， ∵CE⊥BD， ∴∠DEC＝∠OEC＝90°， 在 Rt△OCE中， ∵OE2+CE2＝OC2， ∴（2x）2+52＝（3x）2， ∵x＞0， ∴DE＝ ，AC＝6 ， ∴CD＝ ＝ ＝ ， ∴AD＝ ＝ ＝5 ， 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键． 9．（3 分）如图，已知函数 y1＝3x+b和 y2＝ax﹣3的图象交于点 P（﹣2，﹣5），则不等式 3x+b＞ax﹣3的解集为（ ） A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞﹣5 D．x＜﹣5 【分析】函数 y＝3x+b和 y＝ax﹣3的图象交于点 P（﹣2，﹣5），求不等式 3x+b＞ax﹣3 的解集，就是看函数在什么范围内 y＝3x+b的图象对应的点在函数 y＝ax﹣3的图象上面． 【解答】解：从图象得到，当 x＞﹣2时，y＝3x+b的图象对应的点在函数 y＝ax﹣3的图 象上面， ∴不等式 3x+b＞ax﹣3的解集为：x＞﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类 问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 10．（3分）如图，在矩形 ABCD中，AB＝2，BC＝1，动点 P从点 B出发，沿路线 B→C→ D作匀速运动，那么△ABP的面积 y与点 P运动的路程 x之间的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 【分析】首先判断出从点 B到点 C，△ABP的面积 y与点 P运动的路程 x之间的函数关 系是：y＝x（0≤x≤1）；然后判断出从点 C到点 D，△ABP的底 AB的 dx一定，高都等 于 BC的长度，所以△ABP的面积一定，y与点 P运动的路程 x之间的函数关系是：y＝1 （1≤x≤3），进而判断出△ABP的面积 y与点 P运动的路程 x之间的函数图象大致是哪 一个即可． 【解答】解：从点 B到点 C，△ABP的面积 y与点 P运动的路程 x之间的函数关系是：y ＝x（0≤x≤1）； 因为从点 C到点 D，△ABP的面积一定：2×1÷2＝1， 所以 y与点 P运动的路程 x之间的函数关系是：y＝1（1≤x≤3）， 所以△ABP的面积 y与点 P运动的路程 x之间的函数图象大致是： ． 故选：C． 【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，考查了分类讨论思想的应用，解答此题 的关键是分别判断出从点 B到点 C以及从点 C到点 D，△ABP的面积 y与点 P运动的路 程 x之间的函数关系． 二、填空题（共 8 题，每小题 3 分，满分 24 分） 11．（3分）函数 y＝2 + 中，自变量 x的取值范围是 x≥1且 x≠3 ． 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得 x﹣1≥0且 x﹣3≠0， 解得 x≥1且 x≠3． 故答案为：x≥1且 x≠3． 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12．（3分）如图，∠AOB＝90°，OA＝9m，OB＝3m，一机器人在点 B处看见一个小球从 点 A出发沿着 AO方向匀速滚向点 O，机器人立即从点 B出发，沿直线匀速前进拦截小 球，恰好在点 C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器 人行走的路程 BC为 5m ． 【分析】根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到 BC＝AC，设 BC＝AC＝xm， 根据勾股定理求出 x的值即可． 【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等， ∴BC＝AC， 设 BC＝AC＝xm， 则 OC＝（9﹣x）m， 在 Rt△BOC中， ∵OB2+OC2＝BC2， ∴32+（9﹣x）2＝x2， 解得 x＝5． ∴机器人行走的路程 BC为 5m， 故答案为 5m． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理 与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型， 画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 13．（3分）如图所示，将两张等宽的长方形条交叉叠放，重叠部分是一个四边形 ABCD， 若 AD＝4cm，∠ABC＝30°，则四边形 ABCD的面积是 8 cm2． 【分析】证出该四边形是一个菱形，再由直角三角形的性质即可得出答案． 【解答】解：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形 ABCD是平行四边形， 分别作 CD，BC边上的高为 AE，AF，如图所示： ∵两纸条相同， ∴纸条宽度 AE＝AF． ∵平行四边形的面积为 AE×CD＝BC×AF， ∴CD＝BC． ∴平行四边形 ABCD为菱形， ∴AB＝AD＝4cm， ∵∠ABC＝30°， ∴AE＝ AB＝2cm， ∴S 菱形 ABCD＝BC•AE＝4×2＝8， 故答案为 8． 【点评】本题考查菱形的判定与性质的应用、含 30°角的直角三角形的性质；证明四边 形是菱形是解决问题的突破口． 14．（3分）如图，平行四边形 ABCD的对角线 AC与 BD相较于点 O，AM⊥BC，垂足为 M， AB＝2 ，BD＝6，AC＝2，则 AM的长为 ． 【分析】先由勾股定理的逆定理判定△BAO是直角三角形，再利用三角形的面积公式即 可求出 AM的长度．． 【解答】解：∵AC＝2，BD＝6，四边形 ABCD是平行四边形， ∴AO＝ AC＝1，BO＝ BD＝3， ∵AB＝2 ， ∴AB2+AO2＝BO2， ∴∠BAC＝90°， ∵在 Rt△BAC中，BC＝ ，S△BAC＝ ×AB×AC＝ ×BC×AM， ∴ ×2 ×2＝ ×2 ×AM， ∴AM＝ ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角 形是解此题的关键． 15．（3分）若数据 1，4，a，9，6，5的平均数为 5，则中位数是 5 ；众数是 5 ． 【分析】根据平均数的计算公式先求出 a的值，再根据中位数和众数的定义即可得出答 案． 【解答】解：∵数据 1，4，a，9，6，5的平均数为 5， ∴（1+4+a+9+6+5）÷6＝5， 解得：a＝5， 把这些数从小到大排列为：1，4，5，5，6，9， 则中位数是 ＝5； ∵5出现了 2次，出现的次数最多， ∴众数是 5； 故答案为：5，5． 【点评】此题考查了平均数、众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到 小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数， 众数是一组数据中出现次数最多的数． 16．（3分）李老师开车从甲地到相距 240千米的乙地，如果油箱剩余油量 y（升）与行驶里 程 x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是 20 升． 【分析】根据题意得出汽车耗油量，进而得出到达乙地时邮箱剩余油量． 【解答】解：由图象可得出：行驶 160km，耗油（35﹣25）＝10（升）， ∴行驶 240km，耗油 ×10＝15（升）， ∴到达乙地时邮箱剩余油量是 35﹣15＝20（升）． 故答案为：20． 【点评】此题主要考查了一函数应用，根据已知图象获取正确信息是解题关键． 17．（3分）若点 P（﹣1，y1）和点 Q（﹣2，y2）是一次函数 y＝ x+b的图象上的两点， 则 y1，y2的大小关系是 y1＜y2 ． 【分析】k＝﹣ ＜0，故函数 y的值随 x的增大而减小，即可求解． 【解答】解：k＝﹣ ＜0， 故函数 y的值随 x的增大而减小， ∵﹣1＞﹣2， 故答案为：y1＜y2． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知一次函数图 象上增减性与 k值的关系，进而求解． 18．（3分）矩形 ABCD中，AB＝6，BC＝8，点 E是 BC边上一点，连接 DE，把△DCE沿 DE折叠，使点 C落在点 C′处，当△BEC′为直角三角形时，BE的长为 2或 5 ． 【分析】如图 1，当∠BC′E＝90°时，如图 1，当∠BEC′＝90°时，如图 2，根据矩 形的性质和勾股定理即可得到结论． 【解答】解：如图 1，当∠BC′E＝90°时，如图 1， 矩形 ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝8， ∴BD＝10， ∵把△DCE沿 DE折叠，使点 C落在点 C′处， ∴∠DC′E＝∠C＝90°， ∵∠BC′E＝90°， ∴B，C′，D三点共线， ∴DC′＝DC＝6， ∴BC′＝4，BE＝8﹣C′E， ∵BC′2+EC′2＝BE2， ∴42+C′E2＝（8﹣C′E）2， 解得 C′E＝3， ∴BE＝8﹣3＝5； 如图 2，当∠BEC′＝90°时， 矩形 ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝8， ∴BD＝10， ∵把△DCE沿 DE折叠，使点 C落在点 C′处， ∴∠DC′E＝∠C＝90°， ∵∠BEC′＝90°， ∴∠CEC′＝90°， ∴四边形 ECDC′是正方形， ∴C′E＝CE＝CD＝6， ∴BE＝2． 综上所述，当△BEC′为直角三角形时，BE的长为 2或 5， 故答案为：2或 5． 【点评】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、轴对称的性质以及勾股定理等知识， 分类讨论各种可能的情况是全面准确解决问题的关键． 三、解答题（共 2 题，19 题每小题 10 分，20 小题 8 分，满分 18 分） 19．（10分）（1）（ + ）﹣（ ﹣ ）； （2）（ ）2﹣（ ）． 【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可解答本题； （2）根据二次根式的乘法和加减法可以解答本题． 【解答】解：（1）（ + ）﹣（ ﹣ ） ＝2 + ﹣ + ＝3 + ； （2）（ ）2﹣（ ） ＝5+2 +2﹣ ﹣ ＝7+2 ﹣ ﹣ ． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计 算方法． 20．（8分）已知：在△ABC中，AD是 BC边上的中线，点 E是 AD的中点；过点 A作 AF ∥BC，交 BE的延长线于 F，连接 CF． （1）求证：四边形 ADCF是平行四边形； （2）填空： ①当 AB＝AC时，四边形 ADCF是 矩 形； ②当∠BAC＝90°时，四边形 ADCF是 菱 形． 【分析】（1）首先利用全等三角形的判定方法得出△AEF≌△DEB（AAS），进而得出 AF ＝BD，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而得出答案； （2）①根据矩形的判定定理即可得到结论；②根据菱形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EBD． 在△AEF和△DEB中 ∵ ， ∴△AEF≌△DEB（AAS）． ∴AF＝BD． ∴AF＝DC． 又∵AF∥BC， ∴四边形 ADCF为平行四边形； （2）①当 AB＝AC时，四边形 ADCF是矩形； ②当∠BAC＝90°时，四边形 ADCF是菱形． 故答案为矩形，菱形． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出△AEF ≌△DEB是解题关键． 四、解答题（共 3 题，每题 8 分，共 24 分 21．（8分）有一块空白地，如图，∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，AB＝26m，BC＝24m， 试求这块空白地的面积． 【分析】连接 AC，根据勾股定理可求出 AC的长，再证明△ACB为直角三角形，根据四 边形 ABCD的面积＝△ABC面积﹣△ACD面积即可计算． 【解答】解：连接 AC， 在 Rt△ACD中， ∵CD＝6米，AD＝8米，BC＝24米，AB＝26米， ∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100， ∴AC＝10米，（取正值）． 在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676． ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°． ∴S 空白＝ AC×BC﹣ AD×CD＝ ×10×24﹣ ×8×6＝96（米 2）． 答：这块空白地的面积是 96米 2． 【点评】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾 股定理求出 AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形． 22．（8分）如图，一次函数 y＝ax+b的图象与正比例函数 y＝kx的图象交于点 M． （1）求正比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使正比例函数的值大于一次函数的值的 x的取值范围； （3）求△MOP的面积． 【分析】（1）将（2，2）代入 y＝kx解出正比例函数的解析式，将（2，2）（1，0）代入 一次函数解析式解答即可； （2）根据图象得出不等式的解集即可； （3）利用三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）将（2，2）代入 y＝kx，解得：k＝1， 所以正比例函数解析式为：y＝x， 将（2，2）（1，0）代入一次函数解析式，可得： ， 解得： ． 故一次函数的解析式为：y＝2x﹣2； （2）因为正比例函数的值大于一次函数的值，可得：x＜2； （3）△MOP的面积为： ＝1． 【点评】此题考查两条直线平行问题，关键是根据待定系数法解出解析式． 23．（8 分）某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项 成绩构成的，如果期末评价成绩 80分以上（含 80分），则评为“优秀”．下面表中是小 张和小王两位同学的成绩记录： 完成作业 单元测试 期末考试 小张 70 90 80 小王 60 75 （1）若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算小张的期末评价成绩； （2）若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按 1：2：7的权重来确定期末评价成 绩． ①请计算小张的期末评价成绩为多少分？ ②小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考多少分才能达到优秀？ 【分析】（1）直接利用算术平均数的定义求解可得； （2）根据加权平均数的定义计算可得． 【解答】解：（1）小张的期末评价成绩为 ＝80（分）； （2）①小张的期末评价成绩为 ＝80（分）； ②设小王期末考试成绩为 x分， 根据题意，得： ≥80， 解得 x≥84.2， ∴小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考 85分才能达到优秀． 【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 五、解答题（共 2 题，每题 12 分，共 24 分） 24．（12分）如图，△ABC中，点 O是 AC上一动点，过点 O作直线 MN∥BC，若 MN交 ∠BCA的平分线于点 E，交∠DCA的平分线于点 F，连接 AE、AF． （1）说明：OE＝OF； （2）当点 O运动到 AC中点处时，求证：四边形 AECF是矩形； （3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形 AECF为正方形，并加以证 明． 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质，推出∠ECB＝∠CEO，∠GCF＝∠CFO， ∠ECB＝∠ECO，∠GCF＝∠OCF，通过等量代换即可推出∠CEO＝∠ECO，∠CFO＝ ∠OCF，便可确定 OC＝OE，OC＝OF，可得 OE＝OF； （2）当 O点运动到 AC的中点时，四边形 AECF为矩形，根据矩形的判定定理（对角线 相等且互相平分的四边形为矩形），结合（1）所推出的结论，即可推出 OA＝OC＝OE＝ OF，求出 AC＝EF后，即可确定四边形 AECF为矩形； （3）当△ABC是直角三角形时，四边形 AECF是正方形，根据（2）所推出的结论，由 AC⊥BC，MN∥BC，确定 AC⊥EF，即可推出结论． 【解答】（1）证明：∵MN∥BC， ∴∠OFC＝∠FCD， 又∵CF平分∠ACD， ∴∠OCF＝∠FCD， ∴∠OFC＝∠OCF， ∴OF＝OC， 同理：OE＝OC， ∴OE＝OF． （2）证明：当点 O运动到 AC中点处时，OA＝OC， 由第（1）知，OE＝OF， ∴四边形 AECF是平行四边形． ∵OC＝OF， ∴OA＝OC＝OF＝OE， ∴AC＝EF， ∴四边形 AECF是矩形． （3）解：当点 O运动到 AC中点处时，且△ABC满足∠ACB是直角的直角三角形时， 四边形 AECF为正方形． 理由如下： ∵由第（2）问知，当点 O运动到 AC中点处时，四边形 AECF是矩形． ∵MN∥BC， ∴当∠ACB＝90°时，AC⊥EF，四边形 AECF是菱形． ∴此时四边形 AECF是正方形． ∴△ABC满足∠ACB是直角的直角三角形时，四边形 AECF为正方形． 【点评】此题是四边形综合题，考查了平行线的性质，角平分线的性质，矩形性质和判 定，正方形的性质和判定，三角形的性质，解本题的关键是证明 OE＝OF． 25．（12 分）甲乙两人同时登西山，甲、乙两人距地面的高度 y（米）与登山时间 x（分） 之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲登山的速度是每分钟 10 米，乙在 A地提速时距地面的高度 b为 30 米． （2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的 3倍，请分别求出甲、乙二人登山全过程中， 登山时距地面的高度 y（米）与登山时间 x（分）之间的函数关系式． （3）登山多长时间时，乙追上了甲此时乙距 A地的高度为多少米？ 【分析】（1）甲的速度＝（300﹣100）÷20＝10，根据图象知道乙一分钟的时间，走了 15米，然后即可求出 A地提速时距地面的高度； （2）乙提速后，乙的速度是甲登山速度的 3倍，所以乙的速度是 30米/分．那么求出点 B的坐标，加上点 A的坐标代入一次函数解析式即可求出乙的函数解析式，把 C、D坐 标代入一次函数解析式可求出甲的函数解析式； （3）乙追上了甲即此时的 y的值相等，然后求出时间再计算距 A地的高度． 【解答】解：（1）甲的速度为：（300﹣100）÷20＝10米/分， 根据图中信息知道乙一分钟的时间，走了 15米， 那么 2分钟时，将走 30米； （2）由图知：x＝ +2＝11， ∵C（0，100），D（20，300） ∴线段 CD的解析式：y 甲＝10x+100（0≤x≤20）； ∵A（2，30），B（11，300）， ∴折线 OAB的解析式为：y 乙＝ ； （3）由 ， 解得 ， ∴登山 6.5分钟时乙追上甲． 此时乙距 A地高度为 165﹣30＝135（米）． 【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题， 关键是正确理解题意．