中考数学压轴题旋转问题带答案

中考数学压轴题旋转问题带答案

中考压轴题（四） 1 旋转问题 考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。 旋转性质----对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。注意旋转过程中三角形与整个图 形的特殊位置。 一、直线的旋转 1、(2009 年浙江省嘉兴市)如图，已知 A、B 是线段 MN 上的两点， 4MN ， 1MA ， 1MB ．以 A 为中 心顺时针旋转点 M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成△ABC，设 xAB  ． （1）求 x 的取值范围； （2）若△ABC 为直角三角形，求 x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？ 2、（2009 年河南）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点 0 是 AC 的中点，过点 0 的直线 l 从与 AC 重合的位置开始，绕点 0 作逆时针旋转，交 AB 边于点 D.过点 C 作 CE∥AB 交直线 l 于 点 E，设直线 l 的旋转角为α. (1)①当α=________度时，四边形 EDBC 是等腰梯形，此时 AD 的长为_________； ②当α=________度时，四边形 EDBC 是直角梯形，此时 AD 的长为_________； (2)当α=90°时,判断四边形 EDBC 是否为菱形，并说明理由． C A B NM （第 1 题） 中考压轴题（四） 2 解：（1）①当四边形 EDBC 是等腰梯形时，∠EDB=∠B=60°，而∠A=30°， 根据三角形的外角性质，得α=∠EDB-∠A=30，此时，AD=1； ②当四边形 EDBC 是直角梯形时，∠ODA=90°，而∠A=30°， 根据三角形的内角和定理，得α=90°-∠A=60，此时，AD=1.5． （2）当∠α=90°时，四边形 EDBC 是菱形． ∵∠α=∠ACB=90°， ∴BC‖ED， ∵CE‖AB， ∴四边形 EDBC 是平行四边形． 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2， ∴∠A=30度， ∴AB=4，AC=2 ， ∴AO= = ． 在 Rt△AOD 中，∠A=30°， ∴AD=2， ∴BD=2， ∴BD=BC． 又∵四边形 EDBC 是平行四边形， ∴四边形 EDBC 是菱形． 3、（2009 年北京市） 在 ABCD 中，过点 C 作 CE⊥CD 交 AD 于点 E,将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转90 得到线段 EF(如图 1) 中考压轴题（四） 3 （1）在图 1 中画图探究： ①当 P 为射线 CD 上任意一点（P1 不与 C 重合）时，连结 EP1 绕点 E 逆时针旋转90 得到线段 EC1.判断直 线 FC1 与直线 CD 的位置关系，并加以证明； ②当 P2 为线段 DC 的延长线上任意一点时，连结 EP2,将线段 EP2 绕点 E 逆时针旋转90 得到线段 EC2.判 断直线 C1C2 与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若 AD=6,tanB= 4 3 ,AE=1,在①的条件下，设 CP1= x ，S 1 1P FC = y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并 写出自变量 x 的取值范围. 提示：（1）运用三角形全等， （2）按 CP=CE=4 将 x 取值分为两段分类讨论；发现并利用好 EC、EF 相等且垂直。 中考压轴题（四） 4 4、（2009 黑龙江大兴安岭） 已知：在 ABC 中， ACBC  ，动点 D 绕 ABC 的顶点 A 逆时针旋转，且 BCAD  ，连结 DC ．过 AB 、 DC 的中点 E 、 F 作直线，直线 EF 与直线 AD 、 BC 分别相交于点 M 、 N ． （1）如图 1，当点 D 旋转到 BC 的延长线上时，点 N 恰好与点 F 重合，取 AC 的中点 H ，连结 HE 、HF ， 根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论 BNEAMF  （不需证明）． （2）当点 D 旋转到图 2 或图 3 中的位置时， AMF 与 BNE 有何数量关系？请分别写出猜想，并任选 一种情况证明． 图 2 图 3图 1 H M F E A B C D M N F E A B C D M N F E A B C D (N) 中考压轴题（四） 5 二、角的旋转 5、（2009 年中山）（1）如图 1，圆心接 ABC△ 中，AB BC CA  ，OD 、OE 为 O⊙ 的半径，OD BC 于点 F ，OE AC 于点G，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是 ABC△ 的面积的 1 3 ． （2）如图 2，若 DOE 保持120°角度不变， 求证：当 DOE 绕着O 点旋转时，由两条半径和 ABC△ 的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始 终是 ABC△ 的面积的 1 3 ． 中考压轴题（四） 6 A D CB P M Q60 6、（2009 襄樊市）如图，在梯形 ABCD 中， 2 4AD BC AD BC ∥ ， ， ，点 M 是 AD 的中点， MBC△ 是等边三角形． （1）求证：梯形 ABCD 是等腰梯形； （2）动点 P 、Q 分别在线段 BC 和 MC 上运动，且 60MPQ  ∠ 保持不变．设 PC x MQ y ， ，求 y 与 x 的函数关系式； （3）在（2）中： ①当动点 P 、Q 运动到何处时，以点 P 、 M 和点 A 、 B 、C 、 D 中的两个点为顶点的四边形是平行四 边形？并指出符合条件的平行四边形的个数； ②当 y 取最小值时，判断 PQC△ 的形状，并说明理由． 中考压轴题（四） 7 6、（2009 年重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x 轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点 O 作∠AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 DC，过点 D 作 DE⊥DC， 交 OA 于点 E． （1）求过点 E、D、C 的抛物线的解析式； 中考压轴题（四） 8 （2）将∠EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F，另一边与线段 OC 交于点 G．如 果 DF 与（1）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为 6 5 ，那么 EF=2GO 是否成立？若成立，请给予证明； 若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与 点 C、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 6 题图 y x D B C A EE O 中考压轴题（四） 9 7、（2009 年邵阳市）如图，将 Rt△ABC(其中∠B＝34 0 ，∠C＝90 0 ）绕 A 点按顺时针方向旋转到△AB1 C1 的位置，使得点 C、A、B1 在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ） A.56 0 B.68 0 C.124 0 D.180 0 中考压轴题（四） 10 34 0 B 1 C B A C 1 8、（2009 年包头）如图，已知 ACB△ 与 DFE△ 是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为 10cm， 较小锐角为 30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点 B C F D、 、 、 在同一条直线上，且 点C 与点 F 重合，将图（1）中的 ACB△ 绕点C 顺时针方向旋转到图（2）的位置，点 E 在 AB 边上，AC 交 DE 于点G ，则线段 FG 的长为 cm（保留根号）． C (F) D 图（2） 9、（2009 河池）如图 9， ABC△ 的顶点坐标分别为 (3 6) (13)A B，， ，， (4 2)C ， ．若将 ABC△ 绕C 点顺时针 旋转 90 ，得到 A B C  △ ，则点 A 的对应点 A的坐标为 ． 中考压轴题（四） 11 B A C A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 O A B C y x 图 9 10、（2009 年郴州市）如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的 边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移， 1Ð 与 2Ð 的和总是保持不变， 那么 1Ð 与 2Ð 的和是_______度． 11、（2009 年台州市）如图，三角板 ABC 中，  90ACB ，  30B ， 6BC ． 三角板绕直角顶点 C 逆时针旋转，当点 A 的对应点 'A 落在 AB 边的起始位置上时即停止转动，则 B 点转 过 的 路 径 长 为 ． 2 1 中考压轴题（四） 12 12、（2009 年凉山州）将 ABC△ 绕点 B 逆时针旋转到 A BC △ 使 A B C、 、 在同一直线上，若 90BCA  °， 30 4cmBAC AB  °， ，则图中阴影部分面积为 cm2． 13、（2009 年郴州市）如图 6，在下面的方格图中，将△ ABC 先向右平移四个单位得到△ A 1 B1C1，再将 △ A 1 B1C1 绕点 A1 逆时针旋转 90° 得到D A 1 B2C2，请依次作出△ A 1 B1C1 和△ A 1 B2C2。 图 A B C 30° A C BC A 30° （12 题） 中考压轴题（四） 13 14、(2009 年达州)如图 7，在△ABC 中，AB＝2BC，点 D、点 E 分别为 AB、AC 的中点，连结 DE，将△ ADE 绕点 E 旋转 180  得到△CFE.试判断四边形 BCFD 的形状，并说明理由. 15、（2009 襄樊市）如图所示，在 Rt ABC△ 中， 90ABC  ∠ ．将 Rt ABC△ 绕点C 顺时针方向旋转 60 得到 DEC△ ，点 E 在 AC 上，再将 Rt ABC△ 沿着 AB 所在直线翻转180 得到 ABF△ ．连接 AD． （1）求证：四边形 AFCD 是菱形； （2）连接 BE 并延长交 AD 于G，连接 CG，请问：四边形 ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？ 中考压轴题（四） 14 A D GE CB A D F C E G B 16、（2009 年株洲市）如图，在 Rt OAB 中， 90OAB   ， 6OA AB  ，将 OAB 绕点O 沿逆时 针方向旋转90 得到 1 1OA B ． （1）线段 1OA 的长是 ， 1AOB 的度数是 ； （2）连结 1AA ，求证：四边形 1 1OAA B 是平行四边形； （3）求四边形 1 1OAA B 的面积． 中考压轴题（四） 15 B 1 A O B A 1 17、（2009 烟台市）如图，直角梯形 ABCD 中， BCAD ∥ ， 90BCD  °，且 2 tan 2CD AD ABC  ， ， 过点 D 作 ABDE ∥ ，交 BCD 的平分线于点 E，连接 BE． （1）求证： BC CD ； （2）将 BCE△ 绕点 C，顺时针旋转 90°得到 DCG△ ，连接 EG.．求证：CD 垂直平分 EG. （ 3 ） 延 长 BE 交 CD 于 点 P ． 求 证 ： P 是 CD 的 中 点 ． 即 BC CD ． 中考压轴题（四） 16 中考压轴题（四） 17 18、（2009 年山西省） A D B E C F 1A 1C A D B E C F1A 1C 在 ABC△ 中， 2 120AB BC ABC   ， °，将 ABC△ 绕点 B 顺时针旋转角  (0 °  90 ) °得 A BC A B1 1 1△ ， 交 AC 于点 E ， 1 1AC 分别交 AC BC、 于 D F、 两点． （1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 1EA 与 FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论； （2）如图 2，当 30 °时，试判断四边形 1BC DA的形状，并说明理由； （3）在（2）的情况下，求 ED 的长． A E C F B D 图 1 图 3 A D F E C B A D BC E 图 2 F 中考压轴题（四） 18 20、（2009 年 常 德 市 ） 如图 9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M，N 分别 EB，CD 的中点，易证：CD=BE，△AMN 是等边三 角形.（1）当把△ADE 绕 A 点旋转到图 10 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请 图 9 图 10 图 11 中考压轴题（四） 19 说明理由；（2）当△ADE 绕 A 点旋转到图 11 的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明， 并 求 出 当 AB=2AD 时 ， △ ADE 与 △ ABC 及 △ AMN 的 面 积 之 比 ； 若 不 是 ， 请 说 明 理 由 ． 中考压轴题（四） 20 21、（2009 东营） 已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG， CG． （1）求证：EG=CG； （2）将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45º，如图②所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG．问（1）中的结论 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然 成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） 提示：考查三角形的中线、三角形全等、矩形的性质等。（2）作适当辅助线，构造全等三角形。也可连接 GA,得 GC=GA,过点 G 作 AB 的垂线，证 GE=GA. FB A D C E G 图① F B A D C E G 图② D F B A C E 图③ 中考压轴题（四） 21 中考压轴题（四） 22 DOBAxyCy 22、（2009 年甘肃庆阳）（8 分）如图 14，在平面直角坐标系中，等腰 Rt△OAB 斜边 OB 在 y 轴上，且 OB ＝4． （1）画出△OAB 绕原点 O 顺时针旋转 90°后得到的三角形； （2）求线段 OB 在上述旋转过程中所扫过部分图形的面积（即旋转前后 OB 与点 B 轨迹所围成的封闭图形 的面积）． 图 22 三、四边形的旋转 24、（2009 年山东青岛市）如图．边长为 1 的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点 A 顺时针旋转 45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ． A D C B C D B E 中考压轴题（四） 23 25、（2009 呼和浩特）如图所示，正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 ECGF 的边 CE 上，连接 BE DG， ． （1）求证： BE DG ． （2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理 由． 26、（2009 年济宁市）在平面直角坐标中，边长为 2 的正方形 OABC 的两顶点 A 、C 分别在 y 轴、x 轴的 正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在直线 y x 上时停止旋 转，旋转过程中， AB 边交直线 y x 于点 M ， BC 边交 x 轴于点 N （如图）. （1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积； （2）旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数； （3）设 MBN 的周长为 p ，在旋转正方形OABC 的过程中， p 值是否有变化？请证明你的结论. O A B C M N y x x y E F G DA B C 中考压轴题（四） 24 27、（2009 年宁波市） 如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为 ( 8 0) ， ，直线 BC 经过点 ( 8 6)B  ， ， (0 6)C ， ， 将四边形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 度得到四边形OA B C  ，此时直线OA 、直线 B C 分别与直 线 BC 相交于点 P、Q． （1）四边形 OABC 的形状是 ， 当 90  °时， BP BQ 的值是 ； （2）①如图 1，当四边形OA B C  的顶点 B落在 y 轴正半轴时，求 BP BQ 的值； （Q）B A O x P A C（图 2） y BQCB A O x P A B C （图 1） y CB A O y x （备用图） （第 27 题） 中考压轴题（四） 25 ②如图，当四边形OA B C  的顶点 B落在直线 BC 上时，求 OPB△ 的面积． （3）在四边形 OABC 旋转过程中，当 0 180 ≤ °时，是否存在这样的点 P 和点 Q，使 1 2BP BQ ？ 若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 提示:第（3）问，过点 Q 作 QH⊥OA＇于 H，连接 OQ，则 QH=OC＇=OC,易证 PQ=OP, 设 BP=x，BQ=2x；按旋转时点 P 在点 B 左、右两种情况分类讨论。 中考压轴题（四） 26 28、（2009 年湖北荆州） x y O Ｍ Ｈ Ｇ Ｆ Ｅ Ｄ Ｃ Ｂ A 图① ＨＧ Ｆ Ｅ Ｄ Ｃ Ｂ A 图② x y O Ｑ Ｐ 如图①，已知两个菱形 ABCD 和 EFGH 是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形（菱形 ABCD 与菱形 EFGH 的位似比为 2︰1），∠BAD＝120°，对角线均在坐标轴上，抛物线 21 3y x 经过 AD 的中点 M． ⑴填空：Ａ点坐标为 ，D 点坐标为 ； ⑵操作：如图②，固定菱形 ABCD，将菱形 EFGH 绕 O 点顺时针方向旋转 度角 (0 90 )   ，并延长 OE 交 AD 于 P，延长 OH 交 CD 于 Q． 探究 1：在旋转的过程中是否存在某一角度 ，使得四边形 AFEP 是平行四边形？若存在，请推断出 的值；若不存在，说明理由； 探究 2：设 AP＝ x ，四边形 OPDQ 的面积为 s ，求 s 与 x 之间的函数关系式，并指出 x 的取值范围． 中考压轴题（四） 27 四、抛物线的旋转 29、(2009 年宁德市)如图，已知抛物线 C1：   52 2  xay 的顶点为 P，与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边），点 B 的横坐标是 1． （1）求P点坐标及a的值； （2）如图（1），抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称，将抛物线 C2 向右平移，平移后的抛物线记为 C3， C3 的顶点为 M，当点 P、M 关于点 B 成中心对称时，求 C3 的解析式； （3）如图（2），点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线 C1 绕点 Q 旋转 180°后得到抛物线 C4．抛物线 C4 的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、N、F 为顶点的三角形是 中考压轴题（四） 28 y x A O B P N 图 2 C1 C4 Q E F 图（2） y x A O B P M 图 1 C1 C2 C3 图（1） 直角三角形时，求点 Q 的坐标． ∵抛物线 C4由 C1绕点 x 轴上的点 Q 旋转180°得到， ∴顶点 N、P 关于点 Q 成中心对， 顶点 P 的为（-2，-5） 可知点 N 的纵坐标为5， 设点 N 坐标为（m，5）， 作 PH⊥x 轴于 H，作 NG⊥x 轴于 G， 作 PK⊥NG 于 K， ∵旋转中心 Q 在 x 轴上， ∴EF=AB=2BH=6， ∴FG=3，点 F 坐标为（m+3，0）． H 坐标为（-2，0），K 坐标为（m，-5）， 根据勾股定理得： PN2=NK2+PK2=m2+4m+104， PF2=PH2+HF2=m2+10m+50， NF2=52+32=34， 2∠PNF=90°时，PN2+NF2=PF2，解得 m= 44/3， ∴Q 点坐标为（19/3，0）． ②当∠PFN=90°时，PF2+NF2=PN2，解得 m=10/3， ∴Q 点坐标为（2/3，0）． 中考压轴题（四） 29 ③∵PN＞NK=10＞NF， ∴∠NPF≠90° 综上所得，当 Q 点坐标为（19/3，0）或（2/3，0）时，以点 P、N、F 为顶点的三角形是直角三角形． 30、（2009 年四川凉山州）如图，已知抛物线 2y x bx c   经过 (1 0)A ， ， (0 2)B ， 两点，顶点为 D ． （1）求抛物线的解析式； （2）将 OAB△ 绕点 A 顺时针旋转 90°后，点 B 落到点C 的位置，将抛物线沿 y 轴平移后经过点C ，求 平移后所得图象的函数关系式； （3）设（2）中平移后，所得抛物线与 y 轴的交点为 1B ，顶点为 1D ，若点 N 在平移后的抛物线上，且满 足 1NBB△ 的面积是 1NDD△ 面积的 2 倍，求点 N 的坐标． y x B AO D （第 30 题） 中考压轴题（四） 30