高中数学第三章指数函数和对数函数3_3指数函数问题导学案北师大版必修11

高中数学第三章指数函数和对数函数3_3指数函数问题导学案北师大版必修11

3.3 指数函数 问题导学 一、指数函数的概念 活动与探究 1 下列函数中一定是指数函数的是__________．(只填序号) (1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－4x；(4)y＝xx；(5)y＝xα(α是常数)；(6)y＝(2a－ 1)x. 迁移与应用 (1)若函数 f(x)＝(a2－a－1)·ax 是一个指数函数，则实数 a 的值为__________； (2)若指数函数 f(x)的图像经过点(－1,4)，则 f(2)＝__________. 1．判断一个函数是否是指数函数，关键是分析该函数解析式是否完全符合指数函数解 析式 y＝ax(a＞0，且 a≠1)，其特征是： ①底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数，不含有自变量 x； ②指数位置是自变量 x，且 x 的系数是 1； ③ax 的系数是 1. 2．已知某函数是指数函数求参数值时，可采用待定系数法，先通过一个条件确定解析 式中 a 的值，再解决其他问题． 二、求指数型函数的定义域、值域(最值) 活动与探究 2 求下列函数的定义域与值域： (1) 1 42 xy  ； (2)y＝ 2 3 －|x|. 迁移与应用 1．函数 y＝4 x－1的定义域是__________，值域是__________． 2．求 y＝ 1－ 1 2 x的定义域和值域． 1．对于指数型函数 y＝af(x)(a＞0，且 a≠1)，其定义域就是函数 f(x)的定义域，可按 照求函数定义域的一般方法进行求解． 2．求指数型函数 y＝af(x)(a＞0，且 a≠1)的值域时，通常采用逐步推的办法，先确定 f(x)的取值范围，再结合指数函数的单调性求得原函数的值域． 三、指数函数单调性的应用 活动与探究 3 (1)比较下列各组数的大小： ①1.72.5 与 1.73； ② 3 4 －1.8 与 3 4 －2.6； ③2.3－0.28 与 0.67－3.1. (2)求函数 f(x)＝ 3 5 2x－1 的单调区间． 迁移与应用 1．比较下列各题中两个值的大小： (1)0.8－0.1,0.8－0.2；(2)1.70.3,0.93.1；(3)a1.3，a2.5(a＞0，a≠1)． 2．函数 f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为 6，求 a 的值． 1．在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的单调性得出结果；若底 数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的单调性得出结果；不能化成同 底数的，要考虑引进第三个数(如 0,1 等)分别与之比较，从而得出结果．总之，比较时要尽 量转化成同底的形式，根据指数函数的单调性进行判断． 2．函数 y＝af(x)(a＞0，且 a≠1)的单调性与单调区间可按如下规则确定： (1)当 a＞1 时，函数 y＝af(x)的单调性、单调区间与 f(x)的单调性、单调区间相同； (2)当 0＜a＜1 时，函数 y＝af(x)的单调性、单调区间与 f(x)的单调性、单调区间相反； (3)当底数 a 不确定时，要对其分 a＞1 和 0＜a＜1 两种情况讨论． 四、指数型函数的图像及图像变换问题 活动与探究 4 画出函数 y＝ 1 2 |x|的图像，并根据图像写出函数的值域及单调区间． 迁移与应用 1．为了得到函数 y＝2x－3－1 的图像，只需把函数 y＝2x 的图像上所有的点( )． A．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 B．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 C．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 D．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 2．若函数 f(x)＝ax－1＋3(a＞0，且 a≠1)的图像恒过定点 P，试求点 P 的坐标． 函数图像变换问题的处理方法： (1)抓住图像上的特殊点．如指数函数的图像过定点(0,1)； (2)利用图像变换．如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)； (3)利用函数的奇偶性与单调性． 当堂检测 1．若指数函数 y＝ax 经过点(－1,3)，则 a 等于( )． A．3 B．1 3 C．2 D．1 2 2．若 1 20.5a  ， 1 30.5b  ， 1 40.5c  ，则 a，b，c 的大小顺序是( )． A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a 3．函数 11 3 x y      的值域是( )． A．(－∞，0) B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(－∞，1] 4．为了得到 y＝ 1 4 |x－1|的图像，可以把 y＝ 1 4 x 的图像向______平移______个单位长度． 5．试求函数 f(x)＝2|x－1|的单调区间． 提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部 分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。 答案： 课前预习导学 【预习导引】 1．y＝ax R 预习交流 1 提示：因为当 a＝0 时，ax 总为 0 或没有意义； 当 a＜0 时，如 a＝－2，x＝1 2 ，ax＝ 1 2( 2) ＝ －2显然没意义；当 a＝1 时，ax 恒等于 1， 没有研究必要． 因此规定 a＞0，且 a≠1. 预习交流 2 提示：从形式上看，指数函数与幂函数的解析式都是幂的形式，但自变量 x 的位置不同．指数函数中幂的底数为常数，自变量出现在指数位置上，而幂函数中幂的指 数是常数，自变量出现在底数位置上． 预习交流 3 提示：确定函数 y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)的解析式的关键是确定底数 a 的值． 2．上方 (0,1) y＞1 0＜y＜1 0＜y＜1 y＞1 增函数 减函数 y 轴 预习交流 4 提示：在指数函数 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)中，不论 a 取何值，总有 f(0) ＝a0＝1，所以其图像经过定点(0,1)．在指数型函数 y＝k·af(x)＋b 中，令 f(x)＝0 若得 x ＝x0，则其图像经过定点(x0，k＋b)． 预习交流 5 提示： a＞1 0＜a＜1 定义域 R 值域 [1，＋∞) (0,1] 奇偶性 偶函数 单调性 在(0，＋∞)上是增加的 在(－∞，0)上是减少的 在(0，＋∞)上是减少的 在(－∞，0)上是增加的 课堂合作探究 【问题导学】 活动与探究 1 (1) 解析：(1)y＝10x 符合定义，是指数函数； (2)y＝10x＋1 指数是 x＋1 而非 x，不是指数函数； (3)y＝－4x 中系数为－1 而非 1，不是指数函数； (4)y＝xx 中底数和指数均是自变量 x，不符合指数函数的定义，不是指数函数． (5)y＝xα中底数是自变量，不是指数函数． (6)y＝(2a－1)x 中由于底数可能不大于 0 或可能为 1，故不一定是指数函数． 迁移与应用 (1)2 (2) 1 16 解析：(1)依题意应有 a2－a－1＝1， a>0， a≠1， 解得 a＝2(a＝－ 1 舍去)． (2)设 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)，则有 a－1＝4，所以 a＝1 4 ，即 f(x)＝ 1 4 x. 于是 f(2)＝ 1 16 . 活动与探究 2 思路分析：求定义域要根据函数自身的要求，找出关于 x 的不等式或不 等式组，解此不等式或不等式组可得定义域．求值域要根据定义域，借助换元思想与指数函 数的单调性求解． 解：(1)∵令 x－4≠0，得 x≠4， ∴定义域为{x|x∈R，且 x≠4}． ∵ 1 x－4 ≠0，∴ 1 42 x ≠1. ∴y＝ 1 42 x 的值域为{y|y＞0，且 y≠1}． (2)由题意可知定义域为 R.∵|x|≥0， ∴y＝ 2 3 －|x|＝ 3 2 |x|≥ 3 2 0＝1. 故 y＝ 2 3 －|x|的值域为{y|y≥1}． 迁移与应用 1.[1，＋∞) [1，＋∞) 解析：要使函数有意义，则有 x－1≥0，即 x≥1， 所以定义域是[1，＋∞)；当 x－1≥0 时，y＝ 14 x ≥40＝1，即值域是[1，＋∞)． 2．解：∵1－ 1 2 x≥0， ∴ 1 2 x≤1，即 x≥0. ∴函数 y＝ 1－ 1 2 x的定义域为[0，＋∞)． 令 t＝ 1 2 x，∴0＜t≤1. ∴0≤1－t＜1.∴0≤ 1－t＜1. ∴y＝ 1－ 1 2 x的值域为[0,1)． 活动与探究 3 思路分析：(1)由于①②中的底数相同，因此可直接应用指数函数的单 调性进行比较，而③中的底数不同、指数也不同，可借助中间值来比较大小；(2)先分析函 数 u＝2x－1 的单调性，再结合增减函数定义分析 y＝ 3 5 u 的增减性，确定单调区间． 解：(1)①∵y＝1.7x 在 R 上是增函数，且 2.5＜3， ∴1.72.5＜1.73. ②∵y＝ 3 4 x 在定义域 R 上是减函数， 且－1.8＞－2.6，∴ 3 4 －1.8＜ 3 4 －2.6. ③(中间量法)由指数函数的性质，知 2．3－0.28＜2.30＝1,0.67－3.1＞0.670＝1， ∴2.3－0.28＜0.67－3.1. (2)设 u＝2x－1， 当 x∈(－∞，＋∞)时，u 是增加的， 而在函数 y＝ 3 5 u 中，由于 0＜3 5 ＜1，所以 y＝ 3 5 u 是减少的，因此当 x∈(－∞，＋∞) 时，f(x)＝ 3 5 2x－1 是减少的． 即函数的递减区间是(－∞，＋∞)，无递增区间． 迁移与应用 1.解：(1)由于 0＜0.8＜1，所以指数函数 y＝0.8x 在 R 上为减函数．又因 为－0.1＞－0.2，所以 0.8－0.1＜0.8－0.2. (2)1.70.3＞1,0.93.1＜1，所以 1.70.3＞0.93.1. (3)当 a＞1 时，函数 y＝ax 在 R 上是增函数，此时 a1.3＜a2.5； 当 0＜a＜1 时，函数 y＝ax 在 R 上是减函数，此时 a1.3＞a2.5. 综上，当 a＞1 时，a1.3＜a2.5； 当 0＜a＜1 时，a1.3＞a2.5. 2．解：若 a＞1，则 f(x)在[1,2]上递增， ∴a2＋a＝6，解得 a＝2 或 a＝－3(舍去)． 若 0＜a＜1，则 f(x)在[1,2]上递减， ∴a2＋a＝6，解得 a＝2(舍去)或 a＝－3(舍去)． 综上，a＝2. 活动与探究 4 思路分析：因为 y＝ 1 2 |x|＝ 1 2 x，x≥0， 2x，x<0， 所以分段画出函数的图像 即可． 解：∵y＝ 1 2 |x|＝ 1 2 x，x≥0， 2x，x<0， ∴在平面直角坐标系内画出函数 y＝ 1 2 x(x≥0)及 y＝2x(x＜0)的图像．这两段图像合起 来就是所求函数的图像，如下图． 由图像可知所求函数的值域是(0,1]，递增区间是(－∞，0]，递减区间是[0，＋∞)． 迁移与应用 1．A 解析：由图像平移知识，可知 y＝2x－3 可由 y＝2x 向右平移 3 个单位 长度得到，而 y＝2x－3－1 可由 y＝2x－3 向下平移 1 个单位长度得到，这两个步骤可交换顺序． 2．解：由 x－1＝0，ax－1＝1 知，当 x＝1 时，f(1)＝4. 故点 P 的坐标为(1,4)． 【当堂检测】 1．B 解析：依题意有 a－1＝3， 即1 a ＝3.所以 a＝1 3 . 2．B 解析：因为 y＝0.5x 在 R 上是减函数， 又1 2 ＞1 3 ＞1 4 ， 所以 11 1 32 40.5 <0.5 <0.5 ，即 a＜b＜c. 3．B 解析：∵ x－1≥0， ∴ 11 3 x     ≤ 1 3 0＝1，且 11 3 x     ＞0. ∴所求值域为(0,1]． 4．右 1 5．解：设 u＝|x－1|，当 x∈(－∞，1]时，u 是减少的．y＝2u 在 R 上是增函数，因此 f(x)在(－∞，1]上是减少的；当 x∈[1，＋∞)时，u 是增加的．y＝2u 在 R 上是增函数，因 此 f(x)在[1，＋∞)上是增加的，故 f(x)的递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，1]．