高中数学第二章2-2直接证明与间接证明练习新人教B版选修2-2

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高中数学第二章2-2直接证明与间接证明练习新人教B版选修2-2

湖南省新田县第一中学高中数学 第二章 2.2 直接证明与间接证明 练习 新人教 B 版选修 2-2 班级___________ 姓名___________学号___________ 1．已知 y>x>0，且 x＋y＝1，那么( )． A．xB 是 sin A>sin B 的( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知 a>0，且 a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则 P，Q 的大小关系是 ( )． A．P>Q B．P＝Q C．Px>0，且 x＋y＝1，那么 ( )． A．xx>0，且 x＋y＝1，∴设 y＝3 4 ，x＝1 4 ， 则x＋y 2 ＝1 2 ，2xy＝3 8 ，∴x<2xyB 是 sin A>sin B 的 ( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ，又 A、B 为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴ sin A>sin B⇔2Rsin A>2Rsin B⇔a>b⇔A>B. 答案 C 4．已知函数 f(x)＝lg1－x 1＋x ，若 f(a)＝b，则 f(－a)＝________. 解析 ∵f(x)＝lg1－x 1＋x ，可分析 f(x)为奇函数， ∴f(－a)＝－f(a)＝－b. 答案 －b 5．要证明 3＋ 7<2 5，可选择的方法有很多，最合理的应为________． 答案 分析法 6．设 a，b＞0，且 a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2. 证明 法一 分析法 要证 a3＋b3＞a2b＋ab2 成立． 只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立， 又因 a＋b＞0， 只需证 a2－ab＋b2＞ab 成立， 只需证 a2－2ab＋b2＞0 成立， 即需证(a－b)2＞0 成立． 而依题设 a≠b，则(a－b)2＞0 显然成立． 由此命题得证． 法二 综合法 a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2＞0 ⇒a2－2ab＋b2＞0⇒a2－ab＋b2＞ab. 注意到 a，b∈R＋，a＋b＞0，由上式即得 (a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)． ∴a3＋b3＞a2b＋ab2. 综合提高 限时 25 分钟 7．已知 a>0，且 a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则 P，Q 的大小关系是 ( )． A．P>Q B． P＝Q C．P1 时，a3＋1>a2＋1，所以 P>Q；当 0Q. 答案 A 8．对一切实数 x，不等式 x2＋a|x|＋1≥0 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( )． A．(－∞，－2] B．[－2,2] C．[－2，＋∞) D．[0，＋∞) 解析 用分离参数法可得 a≥－ |x|＋ 1 |x| (x≠0)，而|x|＋ 1 |x| ≥2，∴a≥－2，当 x＝0 时原不等式显然成立． 答案 C 9．如图所示，在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中，当底面四边形 ABCD 满足条件________时，有 A1C ⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)． 解析 本题答案不唯一，要证 A1C⊥B1D1，只需证 B1D1 垂直于 A1C 所在的平面 A1CC1，因为 该四棱柱为直四棱柱，所以 B1D1⊥CC1，故只需证 B1D1⊥A1C1 即可． 答案 对角线互相垂直 10．若平面内有OP1 →＋OP2 →＋OP3 →＝0，且|OP1 →|＝|OP2 →|＝|OP3 →|，则△P1P2P3 一定是________(形状) 三角形． 解析 可结合图形，利用向量的几何意义加以解决． 答案 等边 11．在△ABC 中，三个内角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c，且 A、B、C 成等差数列，a、 b、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形． 证明 由 A、B、C 成等差数列，有 2B＝A＋C. ① 因为 A、B、C 为△ABC 的内角，所以 A＋B＋C＝π. ② 由①②，得 B＝π 3 . ③ 由 a、b、c 成等比数列，有 b2＝ac. ④ 由余弦定理及③， 可得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac. 再由④，得 a2＋c2－ac＝ac， 即(a－c)2＝0，因此 a＝c， 从而有 A＝C.⑤ 由②③⑤，得 A＝B＝C＝π 3 ，所以△ABC 为等边三角形． 12．(创新拓展)已知数列{an}为等比数列，a2＝6，a5＝162. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，证明：Sn·Sn＋2 S2 n＋1 ≤1. (1)解 设等比数列{an}的公比为 q，则 a2＝a1q，a5＝a1q4， 依题意，得方程组 a1q＝6 a1q4＝162 ， 解得 a1＝2，q＝3，∴an＝2·3n－1 (2)证明 ∵Sn＝2 1－3n 1－3 ＝3n－1， ∴Sn·Sn＋2 S2 n＋1 ＝32n＋2－ 3n＋3n＋2 ＋1 32n＋2－2·3n＋1＋1 ≤32n＋2－2 3n·3n＋2＋1 32n＋2－2·3n＋1＋1 ＝1， 即Sn·Sn＋2 S2 n＋1 ≤1.
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