【数学】2021届新高考一轮复习北师大版第十一章第三讲　离散型随机变量及其分布列、均值与方差作业

【数学】2021届新高考一轮复习北师大版第十一章第三讲　离散型随机变量及其分布列、均值与方差作业

第三讲　离散型随机变量及其分布列、均值与方差 ‎1.[2020陕西省部分学校摸底检测]某市有A,B,C,D 4个景点,一位游客来该市游览,已知该游客游览A景点的概率为‎2‎‎3‎,游览B景点,C景点和D景点的概率都是‎1‎‎2‎,且该游客是否游览每个景点之间相互独立.‎ ‎(1)求该游客至多游览1个景点的概率;‎ ‎(2)用随机变量X表示该游客游览的景点的个数,求X的分布列和数学期望E(X).‎ ‎2.[2020河北模拟]现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下表:‎ 投资股市的盈亏情况 投资结果 获利40%‎ 不赔不赚 亏损20%‎ 概率 ‎1‎‎2‎ ‎1‎‎8‎ ‎3‎‎8‎ 购买基金的盈亏情况 投资结果 获利20%‎ 不赔不赚 亏损10%‎ 概率 p ‎1‎‎3‎ q ‎ (1)当p=‎1‎‎4‎时,求q的值.‎ ‎(2)已知甲、乙两人分别选择了投资股市和购买基金,如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于‎4‎‎5‎,求p的取值范围.‎ ‎(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资,决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种,已知p=‎1‎‎2‎,q=‎1‎‎6‎,那么丙选择哪种投资方案,才能使得一年后投资收益的数学期望较大?请说明理由.‎ ‎3.[2020石家庄市重点高中高三摸底测试]某饮料公司为从A,B两款新配方饮料中选择一款进行新品推介,对这两款饮料进行了市场调查,让接受调查的受访者同时饮用这两款饮料,并分别对其进行评分.现对接受调查的100万名受访者的评分(单位:分)进行整理,得到如图11-3-1(1)(2)所示的统计图.分析调查数据可以得出如下结论:评分在[0,60)内的受访者中有20%会购买,评分在[60,80)内的受访者中有60%会购买,评分在[80,100]内的受访者中有90%会购买.‎ ‎　 　 　(1)　　　　　　　　　　　(2)‎ 图11-3-1‎ ‎(1)在受访的100万人中,对A款饮料的评分在60分以下的有多少万人?‎ ‎(2)用频率估计概率,现从受访者中随机抽取1人进行调查,试估计该受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性的概率.‎ ‎(3)如果你是决策者,新品推介你会主推哪一款饮料,并说明你的理由.‎ ‎4.[2019长春市高三第一次质量监测]为了引导学生正确使用手机,针对现在社会上的“手机控”问题,某学校利用国庆假期举办社会实践活动,从年龄在[25,55](单位:岁)内的人中随机抽取n人进行了每天使用手机时间的调查,将每天平均使用手机超过2小时的称为“手机控”,否则称为“非手机控”,得到统计表和各年龄段人数的频率分布直方图(如图11-3-2所示).‎ 组数 分组 ‎“手机控”的人数 占本组的频率 第一组 ‎[25,30)‎ ‎120‎ ‎0.6‎ 第二组 ‎[30,35)‎ ‎195‎ p 第三组 ‎[35,40)‎ ‎100‎ ‎0.5‎ 第四组 ‎[40,45)‎ a ‎0.4‎ 第五组 ‎[45,50)‎ ‎30‎ ‎0.3‎ 第六组 ‎[50,55]‎ ‎15‎ ‎0.3‎ 图11-3-2‎ ‎(1)补全频率分布直方图,并求n,a,p的值;‎ ‎(2)从年龄在[40,50)内的“手机控”中采用分层抽样的方法抽取18人参加“远离手机体验活动”,再从中选取 3人当领队,记选取的3名领队中年龄在[40,45)内的人数为X,求X的分布列和数学期望E(X).‎ ‎ ‎ ‎5.[2020河南八市联考]有一名高中学生盼望2020年进入某大学学习,假设具备以下条件之一均可被该大学录取:①2020年年初通过M考试进入国家数学奥赛集训队(M考试资格需要通过参加N比赛获得);②2020年3月参加自主招生考试,考试通过,参加2020年6月高考且高考分数达到本科一批分数线;③2020年6月参加高考且分数达到该校录取分数线(该校录取分数线高于本科一批分数线).已知该学生具备参加N比赛、自主招生考试和高考的资格,且该学生估计自己通过各种考试的概率如下表:‎ 获得M 考试资格 通过自主 招生考试 高考分数达到 本科一批分数线 高考分数达到该 校录取分数线 ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎0.9‎ ‎0.7‎ 若该学生获得M考试资格,则该学生估计自己进入国家数学奥赛集训队的概率是0.2,若进入国家数学奥赛集训队,则提前录取,若未被录取,则按②③的顺序依次尝试.若该学生因具备某一条件被录取后,不再考虑是否具备后面的条件.‎ ‎(1)求该学生参加自主招生考试的概率;‎ ‎(2)求该学生参加考试的次数X的分布列及数学期望;‎ ‎(3)求该学生被该校录取的概率.‎ ‎6.[2020江西红色七校第一次联考]随着小汽车的普及,“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若一人报名参加了驾驶证考试,要顺利拿到驾驶证,他需要通过四个科目的考试,‎ 其中科目二为场地考试.在一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试;若5次都没有通过,则需重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需交200元的补考费.某驾校对以往2 000个学员第1次参加科目二考试的通过情况进行了统计,得到下表:‎ 男学员 女学员 第1次考科目二人数 ‎1 200‎ ‎800‎ 第1次通过科目二人数 ‎960‎ ‎600‎ 第1次未通过科目二人数 ‎240‎ ‎200‎ 若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率,且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为通过科目二考试或者用完所有机会为止,请回答下列问题:‎ ‎(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试不需要交补考费的概率;‎ ‎(2)已知这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过,记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为ξ,求ξ的分布列与数学期望.‎ ‎7.[2019陕西三模]现要调查某县城居民对某项政策的知晓率,专家在进行评估时,从该县城的10个乡镇中随机抽取居民进行调查,知晓率为90%及以上记为合格,否则记为不合格.已知该县城的10个乡镇中,有7个乡镇的居民的知晓率可达90%,其余的均在90%以下.‎ ‎(1)现从这10个乡镇中随机抽取3个进行调查,求抽到的乡镇中恰有2个乡镇不合格的概率;‎ ‎(2)若记从该县城随机抽取的3个乡镇中不合格的乡镇的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.‎ ‎8.[2020武汉市部分学校质量监测][交汇题]武汉又称江城,是湖北省省会,中国中部地区中心城市,它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化,更有着众多旅游景点,每年来武汉参观旅游的人数不胜数,其中黄鹤楼与东湖被称为武汉的两张名片.为合理配置旅游资源,‎ 现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查,若不游玩东湖记1分,继续游玩东湖记2分,每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为‎1‎‎2‎,游客之间选择意愿相互独立.‎ ‎(1)从游客中随机抽取3人,记总得分为随机变量X,求X的分布列与数学期望.‎ ‎(2)(i)若从游客中随机抽取m人,记总得分恰为m的概率为Am,求数列{Am}的前10项和;‎ ‎(ii)在对所有游客进行随机问卷调查的过程中,记已调查过的累计得分恰为n的概率为Bn,探讨Bn与Bn-1之间的关系,并求数列{Bn}的通项公式.‎ 第三讲　离散型随机变量及其分布列、均值与方差 ‎1.(1)记“该游客游览i个景点”为事件Ai,i=0,1,‎ 则P(A0)=(1- ‎2‎‎3‎)(1- ‎1‎‎2‎)(1- ‎1‎‎2‎)(1- ‎1‎‎2‎)=‎1‎‎24‎,‎ P(A1)=‎2‎‎3‎×(1- ‎1‎‎2‎)3+(1- ‎2‎‎3‎)×C‎3‎‎1‎‎×‎‎1‎‎2‎×(1- ‎1‎‎2‎)2=‎5‎‎24‎.‎ ‎∴该游客至多游览1个景点的概率P=P(A0)+P(A1)=‎1‎‎24‎‎+‎5‎‎24‎=‎‎1‎‎4‎.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4,‎ P(X=0)=P(A0)=‎1‎‎24‎,P(X=1)=P(A1)=‎5‎‎24‎,‎ P(X=2)=‎2‎‎3‎‎×C‎3‎‎1‎×‎‎1‎‎2‎×(1- ‎1‎‎2‎)2+(1- ‎2‎‎3‎)×C‎3‎‎2‎×(‎1‎‎2‎)2×(1- ‎1‎‎2‎)=‎3‎‎8‎,‎ P(X=3)=‎2‎‎3‎‎×‎C‎3‎‎2‎×(‎1‎‎2‎)2×(1- ‎1‎‎2‎)+(1- ‎2‎‎3‎)×C‎3‎‎3‎×(‎1‎‎2‎)3=‎7‎‎24‎,‎ P(X=4)=‎2‎‎3‎×(‎1‎‎2‎)3=‎1‎‎12‎,‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎1‎‎24‎ ‎5‎‎24‎ ‎3‎‎8‎ ‎7‎‎24‎ ‎1‎‎12‎ 故E(X)=0×‎1‎‎24‎‎+‎1×‎5‎‎24‎‎+‎2×‎3‎‎8‎‎+‎3×‎7‎‎24‎‎+‎4×‎1‎‎12‎‎=‎‎13‎‎6‎.‎ ‎2.(1)∵购买基金后,投资结果只有“获利20%”“不赔不赚”“亏损10%”三种,且三种投资结果相互独立,‎ ‎∴p‎+‎1‎‎3‎+‎q=1.又p=‎1‎‎4‎,∴q=‎5‎‎12‎.‎ ‎(2)记事件A为“甲投资股市且一年后获利”,事件B为“乙购买基金且一年后获利”,‎ 事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人获利”,‎ 则C=AB∪AB∪AB,且A,B相互独立.‎ 由题意可知,P(A)=‎1‎‎2‎,P(B)=p,‎ ‎∴P(C)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=‎1‎‎2‎(1- p)‎+‎‎1‎‎2‎p‎+‎‎1‎‎2‎p=‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎p.‎ 又P(C)>‎4‎‎5‎,∴p>‎3‎‎5‎.‎ 又p‎+‎1‎‎3‎+‎q=1,q≥0,∴p≤‎2‎‎3‎.∴p的取值范围为(‎3‎‎5‎,‎2‎‎3‎].‎ ‎(3)假设丙选择“投资股市”,记X为丙投资股市的获利金额(单位:万元),则X的所有可能取值为4,0,- 2,‎ ‎∴P(X=4)=‎1‎‎2‎,P(X=0)=‎1‎‎8‎,P(X=- 2)=‎3‎‎8‎,‎ ‎∴随机变量X的分布列为 X ‎4‎ ‎0‎ ‎- 2‎ P ‎1‎‎2‎ ‎1‎‎8‎ ‎3‎‎8‎ 则E(X)=4×‎1‎‎2‎‎+‎0×‎1‎‎8‎‎+‎(- 2)×‎3‎‎8‎‎=‎‎5‎‎4‎.‎ 假设丙选择“购买基金”,记Y为丙购买基金的获利金额(单位:万元),则Y的所有可能取值为2,0,- 1,‎ ‎∴P(X=2)=‎1‎‎2‎,P(X=0)=‎1‎‎3‎,P(X=- 1)=‎1‎‎6‎,‎ ‎∴随机变量Y的分布列为 Y ‎2‎ ‎0‎ ‎- 1‎ P ‎1‎‎2‎ ‎1‎‎3‎ ‎1‎‎6‎ 则E(Y)=2×‎1‎‎2‎‎+‎0×‎1‎‎3‎‎+‎(- 1)×‎1‎‎6‎‎=‎‎5‎‎6‎.‎ ‎∵E(X)>E(Y),‎ ‎∴丙选择“投资股市”,才能使得一年后的投资收益的数学期望较大.‎ ‎3. (1)由A款饮料的评分饼状图,得对A款饮料的评分在60分以下的频率为0.05+0.15=0.2,‎ ‎∴对A款饮料的评分在60分以下的有100×0.2=20(万人).‎ ‎(2)设“受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性”为事件C.‎ 记“受访者购买A款饮料的可能性是20%”为事件A1;“受访者购买A款饮料的可能性是60%”为事件A2;“受访者购买A款饮料的可能性是90%”为事件A3;“受访者购买B款饮料的可能性是20%”为事件B1;“受访者购买B款饮料的可能性是60%”为事件B2;“受访者购买B款饮料的可能性是90%”为事件B3.‎ 则P(A1)=0.05+0.15=0.2,P(A2)=0.1+0.2=0.3,‎ P(A3)=0.15+0.35=0.5,P(B1)=‎5+5‎‎100‎=0.1,P(B2)=‎15+20‎‎100‎=0.35,P(B3)=‎15+40‎‎100‎=0.55.‎ ‎∵事件Ai与Bj相互独立,其中i,j=1,2,3,‎ ‎∴P(C)=P(A2B1+A3B1+A3B2)=P(A2)P(B1)+P(A3)P(B1)+P(A3)P(B2)=0.3×0.1+0.5×0.1+0.5×0.35=0.255,‎ ‎∴该受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性的概率约为0.255.‎ ‎(3)从受访者购买A,B两款饮料的可能性的期望的角度看,‎ 记受访者购买A,B两款饮料的可能性分别为X,Y,则X的所有可能取值为20%,60%,90%,则P(X=20%)=0.2,P(X=60%)=0.3,P(X=90%)=0.5,∴X的分布列为 X ‎20%‎ ‎60%‎ ‎90%‎ P ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.5‎ 同理可得Y的分布列为 Y ‎20%‎ ‎60%‎ ‎90%‎ P ‎0.1‎ ‎0.35‎ ‎0.55‎ ‎∴E(X)=20%×0.2+60%×0.3+90%×0.5=0.67,E(Y)=20%×0.1+60%×0.35+90%×0.55=0.725,∵E(X)

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