人教新课标A版高二下学期综合适应训练（六）数学试题

人教新课标A版高二下学期综合适应训练（六）数学试题

高二下学期综合适应训练（六）数学试题 参考公式：球的表面积公式 24S R ，其中 R 为球的半径． 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知集合  0,1,3A  ,集合  3 ,B x x a a A   ,则 A B  ( ) A.  0 B.  0,3 C.  3 D.  0,1,3 2．复数 1+i 4+3i 的虚部是 A. 1 i25 B. 1 25 C. 1 25  D. 1 i25  3．下面的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况（单位：元），图中的数字 7 表示的意义是这台自动售货机的销售额为（ ） A． 7 元 B．37 元 C． 27 元 D． 2337 元 4．设等差数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ，若 2a 、 4a 是方程 022  xx 的两个实数根，则 5S 的值是（ ） A． 2 5 B．5 C． 2 5 D． 5 5．设 a= π 0 sinxdx,则二项式 61a x x     的展开式的常数项是 A. 160 B. -160 C. 240 D. -240 6．设 ,a b 是平面 内两条不同的直线，l 是平面 外的一条直线，则“l a ，l b ”是 “l  ”的（ ） A．充要条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 7．若函数 3 2 1(0 2)3 xy x x     的图象上任意点处切线的倾斜角为 ，则 的最小值 是（ ） 1 2 3 4 028 02337 12448 238 A． 4  B． 6  C． 5 6  D． 3 4  8．已知 1F 、 2F 分别为椭圆 C ： 2 2 14 3 x y  的左、右焦点，点 P 为椭圆 C 上的动点，则 1 2PF F△ 的重心G 的轨迹方程为（ ） A． 2 2 1( 0)36 27 x y y   B． 2 24 1( 0)9 x y y   C． 2 29 3 1( 0)4 x y y   D． 2 2 4 1( 0)3 yx y   9．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后， 输出的结果为（ ） A．0．6 B．0．8 C．0．5 D．0．2 10．设集合  2),(  yxyxA ，  2( , )B x y A y x   ，从集合 A 中随机 地取出一个元素 ( , )P x y ，则 ( , )P x y B 的 概率是（ ） A． 12 1 B． 24 17 C． 3 2 D． 6 5 11．过双曲线 )0(15 2 2 2 2  aa y a x 右焦点 F 作一条直线，当直线斜率为 2 时，直线与双 曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3 时，直线与双曲线右支有两个不同交点， 则双曲线离心率的取值范围为（ ） A． )5,2( B． ( 5, 10) C． )2,1( D． (5,5 2) 12．在△ABC 中，E、F 分别为 AB，AC 中点.P 为 EF 上任一点,实数 x，y 满足 PA  +x PB  + y PC  =0.设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB 的面积分别为 S， 1S ， 2S ， 3S ，记 1 1 S S  , 2 2 S S  , 3 3S S  ,则 2 3  取最大值时，2x+y 的值为 A. -1 B. 1 C. - 3 2 D. 3 2 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做 答．第 22 题~第 24 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知函数 )1(1 1)( 2  xxxf ，则  )3 1(1f ________． 14．设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，已知数列 nS 是首项和公比都是 3 的等比数列， 则{ }na 的通项公式 na  ______________． 15．(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 1C 的参数方程为 3 ( 2 3 x t t y t      为参数),曲线 2C 的 极坐标方程为 2  ,则曲线 2C 与曲线 1C 交点个数为 . 16.已知 ,3 223 22  ,8 338 33  ,15 4415 44  , ,66 t a t a  ta, 均为正实数，类比以上等式，可推测 ta, 的值，则  ta ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 一个口袋内有 n （ 3n  ）个大小相同的球，其中有 3 个红球和 ( 3)n  个白球．已知从口袋 中随机取出一个球是红球的概率是 p ． （I）当 3 5p  时，不放回地从口袋中随机取出 3 个球，求取到白球的个数 的期望 E ； （II）若 6pN ，有放回地从口袋中连续地取四次球（每次只取一个球），在四次摸球 中恰好取到两次红球的概率大于 8 27 ，求 p 和 n ． 18．（本小题满分 12 分） 在△ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos 2 5 2 5 A  , AB AC    =3. （1） 求△ABC 的面积； （2） 若 c=1,求 a、sinB 的值. 19．（本小题满分 12 分） 如图，在斜三棱柱 111 CBAABC  中，点O 、 E 分别是 11CA 、 1AA 的中点， AO 平 面 111 CBA ．已知 90BCA ， 21  BCACAA ． （Ⅰ）证明： //OE 平面 11CAB ； （Ⅱ）求异面直线 1AB 与 CA1 所成的 角； （Ⅲ）求 11CA 与平面 11BAA 所成角的 正弦值． 20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆的焦点坐标为 1F （-1,0）， 2F （1,0），过 2F 垂直于长轴的直线交椭圆于 P、Q 两点，且|PQ|=3， （1） 求椭圆的方程； （2） 过 2F 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N，则△ 1F MN 的内切圆的面积是否存 在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 21．（本小题满分 12 分） A B C O1A 1C 1B E 已知函数 xaxxf ln1)(  ( )aR ． （Ⅰ）讨论函数 )(xf 在定义域内的极值点的个数； （Ⅱ）若函数 )(xf 在 1x 处取得极值，对 x  ),0(  , 2)(  bxxf 恒成立， 求实数 b 的取值范围； （Ⅲ）当 20 eyx  且 ex  时，试比较 x y x y ln1 ln1  与 的大小． 请考生在 22，23，24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答 时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲 已知 AB 为半圆O 的直径， 4AB  ，C 为半圆上一 点，过点C 作半圆的切线CD ，过点 A 作 AD CD 于 D ， 交圆于点 E ， 1DE  ． （Ⅰ）求证： AC 平分 BAD ； （Ⅱ）求 BC 的长． 23．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与 x 轴的正半轴重合，且长度 单位相同．直线l 的极坐标方程为： )4sin(2 10     ,点 (2cos ,2sin 2)P    ，参 数  0,2  ． （Ⅰ）求点 P 轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点 P 到直线l 距离的最大值． 24．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 已知函数 aaxxf  2)( ． （Ⅰ）若不等式 6)( xf 的解集为 32  xx ，求实数 a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数 n 使 )()( nfmnf  成立，求实数 m 的取值 范围． 参考答案 一．选择题 1．B； 2．B；3．C ；4．A ；5．B；6．C；7．D；8．C；9．A；10．B；11．B； 12．D． 二、填空题 13．-2；14． 1 3,( 1) 2 3 .( 2)n n n     ；15．0 ；16．．41 三、解答题 17．解：（I）法一： 3 3 3 55 5p nn      ，所以 5 个球中有 2 个白球 白球的个数 可取 0，1，2．······································································· 1 分 3 2 1 1 2 3 3 2 3 2 3 3 3 5 5 5 1 3 3( 0) , ( 1) , ( 2)10 5 10 C C C C Cp p pC C C            ．···················4 分 1 3 3 60 1 210 5 10 5E        ．································································· 6 分 法 二 ： 白 球 个 数  服 从 参 数 为 5, 2, 3N M n   的 超 几 何 分 布 ， 则 2 3 6( ) 5 5 nME N     ……………………6 分 （II）由题设知， 2 2 2 4 8(1 ) 27C p p  ，··························································· 8 分 因为 (1 ) 0p p  所以不等式可化为 2(1 ) 9p p  ， 解不等式得， 1 2 3 3p  ，即 2 6 4p  ．··················································· 10 分 又因为 6p N ，所以 6 3p  ，即 1 2p  ， 所以 1 2p  ，所以 3 1 2n  ，所以 6n  ．·······················································12 分 18．解：（1） cosA=2× 2 2 5 5       -1= 3 5 ,………………………………………………2 分[ 而 | | | |AB AC AB AC      cosA= 3 5 bc=3，∴bc=5……………………4 分 又 A∈（0，π），∴sinA= 4 5 ，………………………………………5 分 ∴S= 1 2 bcsinA= 1 2 ×5× 4 5 =2. ………………………………………6 分 （2） ∵bc=5,而 c=1，∴b=5.…………………………………………………8 分 ∴ 2 2 2a b c  -2bccosA=20，a= 2 5 ………………………………10 分 又 sin sin a b A B  ，∴sinB= 45sin 2 55 52 5 b A a    .……………12 分 19．解法一：（Ⅰ）证明：∵点O 、 E 分别是 11CA 、 1AA 的中点， ∴ 1// ACOE ，又∵ EO 平面 11CAB ， 1AC 平面 11CAB ， ∴ //OE 平面 11CAB ．··················································································· 4 分 （Ⅱ）∵ AO 平面 111 CBA ，∴ 11CBAO  ，又∵ 1111 CBCA  ，且 OAOCA 11 ， ∴ 11CB 平面 1 1AC CA ,∴ 111 CBCA  ．······················································6 分 又∵ ACAA 1 ， ∴四边形 1 1AC CA 为菱形， ∴ 11 ACCA  ，且 1 1 1 1B C AC C ∴ CA1 平面 11CAB , ∴ CAAB 11  ，即异面直线 1AB 与 CA1 所成的角为 90 ．······························· 8 分 (Ⅲ) 设点 1C 到平面 11BAA 的距离为 d ，∵ 111111 BAACCBAA VV   ， 即  3 1 2 1 3 1 1111 AOCBCA S △ 11BAA d ．··················································10 分 又∵在△ 11BAA 中， 22111  ABBA ,∴ S △ 11BAA 7 ． ∴ 7 212d ，∴ 11CA 与平面 11BAA 所成角的正弦值 7 21 ．···························· 12 分 解法二：如图建系 xyzO  ， (0,0 3)A ， 1 1 3(0, 1,0), (0, , )2 2A E  ， 1(0,1,0)C ， 1(2,1,0)B ， (0,2, 3)C ．………………2 分 （Ⅰ）∵ OE )2 3,2 1,0(  ， )3,1,0(1 AC ，∴ CA B O 1A 1C 1B E x y z ，即 1// ACOE ， 又∵ EO 平面 11CAB ， 1AC 平面 11CAB ，∴ //OE 平面 11CAB ．··················6 分 （Ⅱ）∵ )3,1,2(1 AB ， )3,3,0(1 CA ，∴ 1AB 01 CA ，即∴ CAAB 11  ， ∴异面直线 1AB 与 CA1 所成的角为 90 ．······················································· 8 分 (Ⅲ)设 11CA 与平面 11BAA 所成角为 ，∵ )0,2,0(11 CA ， 设平面 11BAA 的一个法向量是 ( , , )x y zn 不妨令 1x  ，可得 3(1, 1, )3  n ，···························································10 分 ∴ 1 1 2 21sin cos , 772 3 AC      n  ， ∴ 11CA 与平面 11BAA 所成角的正弦值 7 21 ．················································12 分 20．解：（1） 设椭圆方程为 2 2 2 2 x y a b  =1（a>b>0）,由焦点坐标可得 c=1………1 分 由 PQ|=3，可得 22b a =3，……………………………………………2 分 解得 a=2，b= 3 ，…………………………………………………３分 故椭圆方程为 2 2 4 3 x y =1……………………………………………4 分[ （2） 设 M 1 1( , )x y ，N 2 2( , )x y ,不妨 1y >0, 2y <0,设△ 1F MN 的内切圆的径 R， 则△ 1F MN 的周长=4a=8， 1 1 2F MNS  （MN+ 1F M+ 1F N）R=4R 因此 1F MNS 最大，R 就最大，………………………………………6 分 1 2 1 2 1 2 1 ( )2AMNS F F y y y y    ， 由题知，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为 x=my+1， 由 2 2 1 14 3 x my x y     得 2 2(3 4)m y +6my-9=0，………………………８分 得 2 1 2 3 6 1 3 4 m my m     ， 2 2 2 3 6 1 3 4 m my m     ， 则 1 2AMNS  AB（ 1 2y y ）= 1 2y y = 2 2 12 1 3 4 m m   ，……………9 分 令 t= 2 1m  ,则 t≥1, 则 2 2 2 12 1 12 12 13 4 3 1 3 AMN m tS m t t t       ,………………………10 分 令 f（t）=3t+1 t ，则 f′(t) =3- 2 1 t ， 当 t≥1 时，f′(t)≥0,f(t)在［1,+∞)上单调递增， 有 f(t)≥f(1)=4, AMNS ≤12 3 =3, 即当 t=1,m=0 时， AMNS ≤12 3 =3, AMNS =4R，∴ maxR = 3 4 ， 这时所求内切圆面积的最大值为 9 16 π. 故直线 l:x=1，△AMN 内切圆面积的最大值为 9 16 π………………12 分 21．解：（Ⅰ） x ax xaxf 11)(  ，当 0a 时， ( ) 0f x  在 ),0(  上恒成立，函数 )(xf 在 ),0(  单调递减，∴ )(xf 在 ),0(  上没有极值点； 当 0a 时， ( ) 0f x  得 10 x a   ， ( ) 0f x  得 1x a  ， ∴ )(xf 在 ( 10, )a 上递减，在 (1 ),a  上递增，即 )(xf 在 ax 1 处有极小值． ∴当 0a 时 )(xf 在 ),0(  上没有极值点， 当 0a 时， )(xf 在 ),0(  上有一个极值点．··················································3 分 （Ⅱ）∵函数 )(xf 在 1x 处取得极值，∴ 1a ， ∴ bx x xbxxf  ln112)( ，·······························································5 分 令 x x xxg ln11)(  ，可得 )(xg 在  2,0 e 上递减，在  ,2e 上递增， ∴ 2 2 min 11)()( e egxg  ，即 2 11b e   ．······················································7 分 （Ⅲ）证明： )1ln()1ln()1ln( )1ln(   y e x e y xe yx yx ，·································· 8 分 令 )1ln()(  x exg x ，则只要证明 )(xg 在 ),1( e 上单调递增， 又∵ )1(ln 1 1)1ln( )( 2        x xxe xg x ， 显然函数 1 1)1ln()(  xxxh 在 ),1( e 上单调递增．····························10 分 ∴ 011)(  exh ，即 0)(  xg ， ∴ )(xg 在 ),1( e 上单调递增，即 )1ln()1ln(  y e x e yx ， ∴当 1 eyx 时，有 )1ln( )1ln(   y xe yx ．················································· 12 分 22．解：（Ⅰ）连结 AC ，因为OA OC ，所以 OAC OCA   ， 2 分 因为 CD 为半圆的切线，所以OC CD ，又因为 AD CD ，所以OC ∥ AD ， 所以 OCA CAD   ， OAC CAD   ，所以 AC 平分 BAD ．·················4 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 BC CE ，·····································································6 分 连结CE ，因为 ABCE 四点共圆， B CED   ，所以 cos cosB CED  ，···· 8 分 所以 DE CB CE AB  ，所以 2BC  ．······························································ 10 分 23．解：(Ⅰ) 2cos , 2sin 2. x y       且参数  0,2  ， 所以点 P 的轨迹方程为 2 2( 2) 4x y   ．················································ 3 分 (Ⅱ)因为 )4sin(2 10     ，所以 2 sin( ) 104     ， 所以 sin cos 10     ，所以直线l 的直角坐标方程为 10 0x y   ．·······6 分 法一：由(Ⅰ) 点 P 的轨迹方程为 2 2( 2) 4x y   ，圆心为 (0,2) ，半径为 2. 2 2 1 0 1 2 10 4 2 1 1 d       ，所以点 P 到直线l 距离的最大值 4 2 2 .··········10 分 法 二 ： 2 2 2cos 2sin 2 10 2 2 cos( ) 441 1 d          ， 当 7 4   ， max 4 2 2d   ，即点 P 到直线l 距离的最大值 4 2 2 .···························· 10 分 24．解：（Ⅰ）由 2 6x a a   得 2 6x a a   ，∴ 6 2 6a x a a     ， 即 3 3a x   ，∴ 3 2a    ，∴ 1a  ．····················································5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知   2 1 1f x x   ,令      n f n f n    ， 则   12 4 , 2 1 12 1 2 1 2 4, 2 2 12 4 , n 2 n n n n n n n                   ∴  n 的最小值为 4，故实数 m 的取值范围是 4, ．······························· 10 分