高二数学人教a必修5练习：2-4-1等比数列word版含解析

高二数学人教a必修5练习：2-4-1等比数列word版含解析

课时训练 11 等比数列 一、等比数列中基本量的运算 1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= 1 4 ,则公比 q 等于 ( ) A.- 1 2 B.-2 C.2 D. 1 2答案:D 解析: 5 2 14 1 =q3=1 4 2 1 8 ,∴q= 1 2 . 2.已知等比数列{an}中,a1=32,公比 q=- 1 2 ,则 a6 等于( ) A.1 B.-1 C.2 D. 1 2答案:B 解析:由题知 a6=a1q5=32× - 1 2 5 =-1,故选 B. 3.(2015 福建宁德五校联考,7)已知等比数列{an}中, 2+3 1+2 =2,a4=8,则 a6=( ) A.31 B.32 C.63 D.64 答案:B 解析:设等比数列{an}的公比为 q, 由 2+3 1+2 =2,a4=8,得 ( 1+2 ) 1+2 2 , 1 3 8 , 解得 1 1 , 2 . 所以 a6=a1q5=25=32.故选 B. 4.(2015 山东潍坊四县联考,3)已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2 等于( ) A.-4 B.-6 C.-8 D.-10 答案:B 解析:∵等差数列{an}的公差为 2,a1,a3,a4 成等比数列, ∴(a1+4)2=a1(a1+6), ∴a1=-8, ∴a2=-6.故选 B. 5.(2015 江西吉安联考,2)已知等比数列{an}的公比 q=- 1 3 ,则 1+3+5+7 2+4+6+8 等于( ) A.-3 B.- 1 3 C.3 D. 1 3答案:A 解析:∵等比数列{an}的公比 q=- 1 3 , ∴ 1+3+5+7 2+4+6+8 1+3+5+7( 1+3+5+7 ) 1 =-3.故选 A. 二、等比中项及应用 6.2+ 3 和 2- 3 的等比中项是 . 答案:±1 解析:设 A 为等比中项,则 A2=(2+ 3 )(2- 3 )=1, ∴A=±1. 7.已知等比数列{an}的各项均为正数,它的前三项依次为 1,a+1,2a+5,则数列{an}的通项公式 an= . 答案:3n-1 解析:由题意,知(a+1)2=2a+5,∴a2=4. ∵{an}的各项均为正数,∴a+1>0 且 2a+5>0. ∴a=2.∴a+1=3.∴q= +1 1 =3.∴an=3n-1. 三、等比数列的判定 8.给出下列数列: ①2,2,4,8,16,32,…; ②在数列{an}中, 2 1 =2, 4 3 =2; ③常数列 c,c,c,c,…. 其中等比数列的个数为 . 答案:0 解析:①不是等比数列,因为 2 1 ≠ 3 2 ; ②不一定是等比数列,因为不知道 3 2 的值,即使 3 2 =2,数列{an}也未必是等比数列; ③不一定是等比数列,当 c=0 时,数列不是等比数列.故填 0. 9.设{an}是公比为 q 的等比数列,设 q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列. 证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的 k∈N*, (ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1), +1 2 +2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1, 1 2 q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1, 因为 a1≠0,所以 2qk=qk-1+qk+1. 因为 q≠0,所以 q2-2q+1=0,解得 q=1,这与已知矛盾. 所以假设不成立,故{an+1}不是等比数列. (建议用时:30 分钟) 1.已知在等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6= 5 4 ,则该等比数列的公比为( ) A. 1 4 B. 1 2 C.2 D.8 答案:B 解析:因为(a1+a3)q3=a4+a6, 所以 q3= 4+6 1+3 5 4 10 1 8 ,即 q= 1 2 ,选 B. 2.若等比数列的首项为 9 8 ,末项为 1 3 ,公比为 2 3 ,则这个数列的项数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案:B 解析:∵a1= 9 8 ,an= 1 3 ,q= 2 3 ,∴ 9 8 2 3 - 1 1 3 ,则 n=4. 3.已知等比数列{an}中,a1=3,8 2 =an+1·an+2,则 a3= ( ) A.48 B.12 C.6 D.2 答案:B 解析:设数列{an}的公比为 q, 则由 8 2 =an+1an+2,得 8 1 2 =a2a3,即 8 1 2 1 2 q3, ∴q=2.∴a3=a1q2=3×4=12. 4.如果-1,a,b,c,-9 成等比数列,那么( ) A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9 答案:B 解析:∵-1,a,b,c,-9 成等比数列, ∴b2=(-1)×(-9)=9. 又∵a2=-1×b=-b,∴b=-3. 又 b2=ac,∴a 与 c 同号.∴ac=9. 5.已知 1 既是 a2 与 b2 的等比中项,又是 1 与 1 的等差中项,则 + 2+2 的值是( ) A.1 或 1 2 B.1 或- 1 2 C.1 或 1 3 D.1 或- 1 3答案:D 解析:由题意得,a2b2=(ab)2=1, 1 + 1 =2, ∴ 1 , + 2 或 - 1 , + - 2 . 又 + 2+2 +( + ) 2 - 2 ,∴其值为 1 或- 1 3 . 6.设 a1=2,数列{1+2an}是公比为 2 的等比数列,则 a6 等于 . 答案:79.5 解析:∵1+2an=(1+2a1)×2n-1, ∴1+2a6=5×25,∴a6= 532 - 1 2 =79.5. 7.已知等差数列{an}的公差 d≠0,它的第 1,5,17 项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比 是 . 答案:3 解析:由已知 5 2 =a1·a17, ∴(a1+4d)2=a1(a1+16d).∴a1=2d. ∴公比 q= 5 1 1+4 1 6 2 =3. 8.某林场的树木每年以 25%的增长率增长,则第 10 年末的树木总量是今年的 倍. 答案:1.259 解析:设这个林场今年的树木总量是 m,第 n 年末的树木总量为 an,则 an+1=an+an×25%=1.25an. 则 +1 =1.25. 则数列{an}是公比 q=1.25 的等比数列. 则 a10=a1q9=1.259m.所以 10 1 =1.259. 9.等比数列的前三项和为 168,a2-a5=42,求 a5,a7 的等比中项. 解:由题意知 1 + 1 + 1 2 168 , ① 1 ·( 1 - )( 1 + + 2 ) 42 ,② ②÷①得 q(1-q)= 42 168 , ∴q= 1 2 . ∴a1= 1684 7 =96. 又∵a6=a1q5, ∴a6=96× 1 25 =3, ∴a5,a7 的等比中项 a6=3. 10.已知数列{an}满足 a1= 7 8 ,且 an+1= 1 2 an+ 1 3 ,n∈N*. (1)求证: - 2 3 是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明:∵an+1= 1 2 an+ 1 3 , ∴an+1- 2 3 1 2 an+ 1 3 2 3 1 2 - 2 3 . ∴ +1 - 2 3 - 2 3 1 2 . ∴ - 2 3 是首项为 5 24 ,公比为 1 2 的等比数列. (2)解:∵an- 2 3 5 24 1 2 - 1 , ∴an= 5 24 1 2 - 1 + 2 3 .