高中数学人教a版选修2-2（课时训练）： 1.3.1 函数的单调性与导数
1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数
[学习目标]
1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．
2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．
3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
[知识链接]
以前，我们用定义来判断函数的单调性．在假设 x1＜x2 的前提下，比较 f(x1)
与 f(x2)的大小，在函数 y＝f(x)比较复杂的情况下，比较 f(x1)与 f(x2)的大小并不很
容易．如何利用导数来判断函数的单调性？
答 根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，
如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单
调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，
即函数单调递减．
[预习导引]
函数的单调性与导数的关系
(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：
导数 函数的单调性
f′(x)>0 单调递增
f′(x)<0 单调递减
f′(x)＝0 常函数
(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
函数的单调性 导数
单调递增 f′(x)≥0
单调递减 f′(x)≤0
常函数 f′(x)＝0
要点一 利用导数判断函数的单调性
例 1 证明：函数 f(x)＝sin x
x
在区间
π
2
，π 上单调递减．
证明 f′(x)＝xcos x－sin x
x2
，又 x∈
π
2
，π ，
则 cos x<0，sin x＞0，∴xcos x－sin x<0，
∴f′(x)<0，∴f(x)在
π
2
，π 上是减函数．
规律方法 关于利用导数证明函数单调性的问题：
(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提
下进行．
(2)f′(x)>(或<)0，则 f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递
增(或递减)函数，则 f′(x)≥(或≤)0.
跟踪演练 1 证明：函数 f(x)＝ln x
x
在区间(0，e)上是增函数．
证明 ∵f(x)＝ln x
x
，∴f′(x)＝x·1
x
－ln x
x2
＝1－ln x
x2 .
又 0
0，
故 f(x)在区间(0，e)上是单调递增函数．
要点二 利用导数求函数的单调区间
例 2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－36 x＋1；
(2)f(x)＝sin x－x(00 得 6x2＋6x－36>0，
解得 x< －3 或 x>2；
由 f′(x)＜0 解得－30，即 2·3x2－1
x
＞0，
解得－ 3
3
＜x＜0 或 x＞ 3
3 .
又∵x＞0，∴x＞ 3
3 .
令 f′(x)＜0，即 2·3x2－1
x
＜0，
解得 x＜－ 3
3
或 0＜x＜ 3
3 .
又∵x＞0，∴0＜x＜ 3
3 .
∴f(x)的单调递增区间为
3
3
，＋∞ ，
单调递减区间为 0， 3
3 .
(4) f′(x)＝3x2－3t，令 f′(x) ≥0，得 3x2－3t≥0，
即 x2≥t.∴当 t≤0 时，f′(x) ≥0 恒成立，函数的增区间是(－∞，＋∞)．
当 t>0 时，解 x2≥t 得 x≥ t或 x≤－ t；
由 f′(x)≤0 解得－ t≤x≤ t.
故函数 f(x)的增区间是(－∞，－ t)和( t，＋∞)，
减区间是(－ t， t)．
规律方法 求函数的单调区间的具体步骤是
(1)优先确定 f(x)的定义域；(2)计算导数 f′(x)；(3)解 f′(x)＞0 和 f′(x)＜0；(4)
定义域内满足 f′(x)＞0 的区间为增区间，定义域内满足 f′(x)＜0 的区间为减区
间．
跟踪演练 2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x2－ln x；
(2)f(x)＝x3－x2－x.
解 (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－1
x
，由 f′(x)＝2x－1
x
＞0 且 x＞0，得 x＞ 2
2
，
所以函数 f(x)的单调递增区间为
2
2
，＋∞ ；
由 f′(x)＜0 得 x＜ 2
2
，又 x∈(0，＋∞)，
所以函数 f(x)的单调递减区间为 0， 2
2 .
(2)f′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)．
由 f′(x)＞0 得 x＜－1
3
或 x＞1；
由 f′(x)＜0 得－1
3
＜x＜1，
故函数 f(x)的单调递增区间为 －∞，－1
3 ，(1，＋∞)，单调递减区间为 －1
3
，1 .
要点三 已知函数单调性求参数的取值范围
例 3 已知函数 f(x)＝x2＋a
x(x≠0，常数 a∈R)．若函数 f(x)在 x∈[2，＋∞)上是
单调递增的，求 a 的取值范围．
解 f′(x)＝2x－a
x2
＝2x3－a
x2 .
要使 f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，
则 f′(x)≥0 在 x∈[2，＋∞)时恒成立，
即2x3－a
x2
≥0 在 x∈[2，＋∞)时恒成立．∵x2>0，
∴2x3－a≥0，∴a≤2x3 在 x∈[2，＋∞)上恒成立．
∴a≤(2x3)min.∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3 是单调递增的，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
当 a＝16 时，f′(x)＝2x3－16
x2
≥0(x∈[2，＋∞))有且只有 f′(2)＝0，∴a 的取值
范围是(－∞，16]．
规律方法 已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等
式恒成立问题，一般地，函数 f(x)在区间 I 上单调递增(或减)，转化为不等式
f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)在区间 I 上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围．
跟踪演练 3 设 f(x)＝ax3＋x 恰好有三个单调区间，求实数 a 的取值范围．
解 ∵f′(x)＝3ax2＋1，且 f(x)有三个单调区间，
∴方程 f′(x)＝3ax2＋1＝0 有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×1×3a＞0，∴a＜0.
∴a 的取值范围为(－∞，0)．
1．函数 f(x)＝x＋ln x 在(0,6)上是( )
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在 0，1
e 上是减函数，在
1
e
，6 上是增函数
D．在 0，1
e 上是增函数，在
1
e
，6 上是减函数
答案 A
解析 ∵x∈(0,6)时，f′(x)＝1＋1
x
＞0，∴函数 f(x)在(0,6)上单调递增．
2．f′(x)是函数 y＝f(x)的导函数，若 y＝f′(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)
的图象可能是( )
答案 D
解析 由导函数的图象可知，当 x＜0 时，f′(x)＞0，即函数 f(x)为增函数；当 0
＜x＜2 时，f′(x)＜0，即 f(x)为减函数；当 x＞2 时，f′(x)＞0，即函数 f(x)为增
函数．观察选项易知 D 正确．
3．若函数 f(x)＝x3－ax2－x＋6 在(0,1)内单调递减，则实数 a 的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．a＝1
C．(－∞，1] D．(0,1)
答案 A
解析 ∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又 f(x)在(0,1)内单调递减，
∴不等式 3x2－2ax－1＜0 在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且 f′(1)≤0，∴a≥1.
4．函数 y＝x2－4x＋a 的增区间为________，减区间为________．
答案 (2，＋∞) (－∞，2)
解析 y′＝2x－4，令 y′＞0，得 x＞2；令 y′＜0，得 x＜2，
所以 y＝x2－4x＋a 的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2)．
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函
数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤为
(1)确定函数 f(x)的定义域；
(2)求导数 f′(x)；
(3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)＞0 和 f′(x)＜0；
(4)根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间.
一、基础达标
1．命题甲：对任意 x∈(a，b)，有 f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增
的，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必
要条件
答案 A
解析 f(x)＝x3 在(－1,1)内是单调递增的，但 f′(x)＝3x2≥0(－10，∴0
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