2018-2019上高二数学理半期考试题

2018-2019上高二数学理半期考试题

‎“长汀、上杭、武平、连城、漳平、永定一中”六校联考 ‎2018-2019学年第一学期半期考 高二数学（理科）试题 ‎（考试时间：120分钟 总分：150分）‎ 命题人：长汀一中 曾庆清 连城一中 罗文鑫 上杭一中 王景祥 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.数列的通项公式为，则的第项是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在中，,,,则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3. 等比数列的前项和则的值为（ ） ‎ ‎ A . B. C . D. ‎ ‎4. 在中，分别是角的对边，若，‎ 则的形状是（ ）‎ A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎5.各项均为正数的等比数列，前项和为，若，，则 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎6. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( ) ‎ A．6斤　　　 B．9斤 C．9.5斤 D．12斤 ‎7.若实数满足，则的最小值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8.设等差数列的前项和为，已知 ，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎9.已知正数的等差中项是，且，则的最小值是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11.如图，某景区欲在两山顶之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，,在水平面上处测得山顶的仰角为，山顶的仰角为，,‎ 则两山顶之间的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 中，角的对边长分别为，若，则的最大值为 ( )‎ A．1 B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知，则 的最小值为_______________． ‎ ‎14.已知中，，， ，则面积为_______ __.‎ ‎15. 在数列中，已知， ，记为数列的前项和，则________.‎ ‎16．已知首项为2的正项数列的前项和为，且当时，．若 恒成立，则实数的取值范围为__________ _____． ‎ 三、解答题：（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）．‎ 设是公比为正数的等比数列，若， 且，，成等差数列.‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎ (2)设，求证：数列的前项和．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知关于的不等式的解集为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）解关于的不等式．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 在中，角的对边分别为，若．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若的面积为，，求的值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在中，设角,,的对边分别为,,，已知 ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求周长的取值范围.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知数列满足 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，，求成立的正整数的最小值．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 某渔业公司年初用81万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为1万元，以后每年都增加2万元，每年捕鱼收益30万元．‎ ‎（1）问第几年开始获利?‎ ‎（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以46万元出售该渔船；‎ 方案二：总纯收入获利最大时，以10万元出售该渔船．问：哪一种方案合算？请说明理由．‎ ‎“长汀、上杭、武平、连城、漳平、永定一中”六校联考 ‎2018-2019学年第一学期半期考 高二数学（理科）试题参考答案 一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D C B C A D A ‎ C B A D 二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）‎ ‎ 13、 14、 15、 16、 ‎ 三、解答题（第17题10分，18－22题每题12分，共70分）‎ ‎17、解：(1)设等比数列的公比为，‎ ‎∵，，成等差数列 ‎∴ 即，……………………………（2分）‎ 即，解得或(舍去)，∴.……………………………（4分）‎ 所以的通项为() ……………………………（5分）‎ ‎ (2)由上知 ∵， ‎ ‎ ∴， ……………………………（7分）‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ ……………………………（9分）‎ ‎∴ ……………………………（10分）‎ 即数列的前项和为． ‎ ‎18、解：（1）由题意知：且和是方程的两根，……………………………（2分）‎ 由根与系数的关系有，解得 ……………………………（6分）‎ ‎（2）不等式可化为，‎ 即． ……………………………（8分） ‎ 其对应方程的两根为 ‎ ①当即时，原不等式的解集为；……………………………（9分）‎ ②当即时，原不等式的解集为；……………………………（10分）‎ ③当即时，原不等式的解集为； ……………………………（11分）‎ 综上所述：当时，原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为；‎ ‎……………………………（12分）‎ ‎19、解：（1）（法一）：在中，由正弦定理得 ‎∴ ……………………………（2分）‎ 又，∴，‎ ‎∴ ……………………………（4分）‎ ‎ ∴ ……………………………（5分）‎ ‎ ， 故 ……………………………（6分）‎ ‎（法二）由余弦定理得………………………（2分）‎ ‎∴ ……………………………（3分）‎ ‎∴, ……………………………（5分）‎ ‎ , 故． ……………………………（6分）‎ ‎（2），所以． ……………………………（7分）‎ 又 ‎∴由余弦定理得 ‎ ‎∴ ……………………………（9分）‎ 又由正弦定理知 ……………………………（10分）‎ ‎ ‎ ‎∴ 即 ‎∴ ……………………………（12分）‎ ‎20、（1）由题意知……………………………（1分）‎ ‎ 即 ……………………………（2分）‎ 由正弦定理得 ……………………………（3分）‎ ‎ 由余弦定理得 …………………………… （4分）‎ 又 ， 故 …………………………… （5分）‎ ‎（2）（法一）：由上知，‎ ‎∴由余弦定理有，……………………………（6分）‎ 又，∴， ……………………………（7分） ‎ 又∵ ‎ ‎∴，(当且仅当时取等号) ……………………………（8分）‎ ‎∴ ， 即 解得，(当且仅当时取等号) ……………………………（10分）‎ 又∵三角形两边之和大于第三边,即 ‎∴ ……………………………（11分）‎ ‎∴ ……………………………（12分）‎ 所以的周长的范围为 ‎ ‎（法二）由正弦定理知 ‎∴, ……………………………（6分）‎ 又 则的周长 ‎ …………………………（8分）‎ ‎ ∵ ∴ ∴ ……………………………（10分）‎ ‎∴，‎ 所以的周长的范围为.……………………………（12分）‎ ‎21、解：（1）由………①‎ 当时，………② ……………………………（2分）‎ ①–②得即 ……………………………（3分）‎ 当时， 也满足上式 ……………………………（4分）‎ ‎∴ ……………………………（5分）‎ ‎(2)由(1)得, , ……………………………（6分）‎ 所以 ………① ‎ ‎∴ ………② ……………………………（7分）‎ ‎①－②，得 ‎ ……………………………（9分）‎ 依题意，即 即成立， ……………………………（10分）‎ 又当时, ,‎ 当时, . ……………………………（11分）‎ 故使成立的正整数的最小值为5. ……………………………（12分）‎ ‎22、解：（1）设第n年开始获利，获利为y万元，‎ 由题意知，n年共收益30n万元，每年的费用是以1为首项，2为公差的等差数列，‎ 故n年的总费用为． ……………………………（2分）‎ ‎∴获利为 ……………………………（4分）‎ 由即 解得 ……………………………（5分）‎ ‎∵n∈N*，∴n＝4时，即第4年开始获利． ……………………………（6分）‎ ‎（2）方案一：n年内年平均获利为．‎ 由于，当且仅当n＝9时取“＝”号．‎ ‎∴ （万元）．‎ 即前9年年平均收益最大，此时总收益为12×9＋46＝154（万元）．……………………………（9分）‎ 方案二：总纯收入获利．‎ ‎∴ 当n＝15时，取最大值144，此时总收益为144＋10＝154（万元）．‎ ‎……………………………（11分）‎ ‎∵两种方案获利相等，但方案一中n＝9，所需的时间短，‎ ‎∴方案一较合算． ……………………………（12分）‎