高考专题训练专题复习——求轨迹方程人教版

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专题复习——求轨迹方程 一. 本周教学内容：‎ ‎ 专题复习——求轨迹方程 ‎（一）求轨迹方程的一般方法：‎ ‎ 1. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。‎ ‎ 2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。‎ ‎ 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。‎ ‎ 4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。‎ ‎（二）求轨迹方程的注意事项：‎ ‎ 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。‎ ‎ ‎ 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。‎ ‎ 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。‎ ‎【典型例题】‎ ‎ 例1. ‎ 轨迹方程。‎ ‎ 分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。‎ ‎ 解：设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0）‎ ‎ 则由M为线段AB中点，可得 ‎ ‎ ‎ 即点B坐标可表为（2x－2a，2y）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例2. ‎ 点A的轨迹方程。‎ ‎ 分析：先画出示意图，如图所示：根据已知条件：动椭圆过M（1，2）且以y轴为其准线，可见该椭圆位于y轴右侧，注意到点M在椭圆上，故联想到椭圆的几何性质：椭圆上任一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率。即可发现间接涉及动顶点A的等量关系。只需用A的坐标先表示出左焦点F的坐标，即可列出轨迹方程。‎ ‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又∵M在椭圆上，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例3. 过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。‎ ‎ 分析1：设M（x，y），由已知l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。‎ ‎ 解法1：设M（x，y），∵M为AB中点，∴A（2x，0），B（0，2y）。‎ ‎ 又l1，l2过点P（2，4），且l1⊥l2‎ ‎ ∴PA⊥PB，从而kPA·kPB＝－1，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 注意到l1⊥x轴时，l2⊥y轴，此时A（2，0），B（0，4）‎ ‎ 中点M（1，2），经检验，它也满足方程x＋2y－5＝0‎ ‎ 综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。‎ ‎ 分析2：解法1中在利用k1k2＝－1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB为直角三角形的几何特性：‎ ‎ ‎ ‎ 解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y），‎ ‎ ∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程。‎ ‎ 分析3：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。‎ ‎ 解法3：设M（x，y），设直线l1的方程为y－4＝k（x－2），（k≠０）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∵M为AB的中点，‎ ‎ ‎ ‎ 消去k，得x＋2y－5＝0。‎ ‎ 另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程；‎ ‎ 当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。‎ ‎ 综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。‎ ‎ 例4. 已知定点A（2，0），点Q是圆x2＋y2＝1的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程。‎ ‎ 分析1：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 若设出M（x，y），则由分点坐标公式，可表示出点Q的坐标，因Q、M为相关点，（Q点运动导致点M运动），可采用相关点法求点M的轨迹方程。‎ ‎ 解法1：设M（x，y），‎ ‎ ‎ ‎ ∵M在AQ上，‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 分析2：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 而当∠AOQ＝180°时，其角分线为y轴，它与AQ交点为原点O，显然，该点也满足上述轨迹方程。‎ ‎ 注：此种解法为定义法。‎ ‎ 例5. 如图，给出定点A（a，0），（a>0）与定直线l：x＝－1，点B是l上动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值关系。‎ ‎ 分析：由OC是∠AOB的平分线，可联想到如下结论：‎ ‎ （1）点C到∠AOB的两边OA，OB的距离相等；‎ ‎ （2）OC与OA、OB所成的角相等。‎ ‎ ‎ ‎ 对于（1）、（2）、（3），若再注意到点C在直线AB上，则可求得轨迹方程。因此，本题从不同角度入手，则有不同解法。‎ ‎ 解法1：设B（－1，b），C（x，y），直线OB的方程为y＝－bx，即bx＋y＝0，‎ ‎ ∵OC平分∠AOB，∴点C到角的两边距离相等。‎ ‎ ‎ ‎ 又∵点C在直线AB上，∴A、B、C三点共线 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 把③代入④，得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ y＝0时，b＝0，∠AOB＝180°，点C坐标为（0，0），满足上述方程。‎ ‎ 故方程（a－1）x2－(a＋1)y2＋2ax＝0是点C的轨迹方程。‎ ‎ 当a＝1时，方程为y2＝x，（0≤x<1），它表示抛物线的一段；‎ ‎ ‎ ‎ ∴01时，轨迹为双曲线弧。‎ ‎ 解法2：设B（－1，b），C（x，y）‎ ‎ ‎ ‎ ∵OC平分∠AOB ∴∠AOC＝∠COB ∴tg∠AOC＝tg∠COB，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 以下略，（见解法1的相应部分）‎ ‎ 解法3：设B（－1，b），C（x，y），又A（a，0）‎ ‎ ‎ ‎ ∵OC平分∠AOB，由三角形内角平分线性质，得 ‎ ‎ ‎ 整理，得(b2＋1)·[(a＋1)2＋b2]＝a2[(x＋1)2＋(y－b)2]‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 以下略。（同解法1的相应部分）‎ ‎【模拟试题】‎ ‎ 1. 长为3a（a>0）的线段AB的两端点A、B分别在y轴、x轴上运动，P点分线段AB或正比2：1，求点P的轨迹方程。‎ ‎ ‎ ‎2. △ABC的顶点B、C 双曲线的焦点，点C在抛物线y＝4x2上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程。‎ ‎ ‎ ‎3. 自双曲线上的动点A引直线x＋y＝2的垂线，垂足为B，求线段AB中点M的轨迹方程。‎ ‎ ‎ ‎4. 已知定点A（－1，0），B（2，0），P为动点，且∠PBA＝2∠PAB，求动点P的轨迹方程。‎ ‎ ‎ ‎5. 以双曲线的右准线l为左准线，以双曲线的右焦点F为左焦点的椭圆C的短轴顶点为B，求BF中点M的轨迹方程。‎ ‎【试题答案】‎ ‎ 1. ‎ ‎ 2. ‎ ‎ 3. ‎ ‎ 4. ‎ ‎ 5. ‎