新课标高考压轴卷 理科数学试题

新课标高考压轴卷 理科数学试题

绝密★启用前 ‎2012年普通高等学校招生全国统一考试压轴题 理 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。‎ ‎2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。‎ ‎4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。‎ ‎5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。‎ 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数的值是（ ）‎ ‎ A． B．或 C． 或 D．‎ ‎3．下面的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况（单位：元），图中的数字表示的意义是这台自动售货机的销售额为（ ）‎ ‎ A．元 B．元 C．元 D．元 ‎4．设等差数列的前项和为，若、是方程的两个实数根，则的值是（ ）‎ ‎ A． B．‎5 ‎ C． D．‎ ‎5．函数的图象如图所示，其中,，．‎ 则下列关于函数的说法中正确的是（ ）‎ ‎ A．对称轴方程是 ‎ B．‎ ‎ C．最小正周期是 ‎ D．在区间上单调递减 ‎6．设是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则“，”是“”的（ ）‎ ‎ A．充要条件 B．充分而不必要的条件 ‎ C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 ‎7．若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知、分别为椭圆：的左、右焦点，点为椭圆上的动点，则 的重心的轨迹方程为（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎9．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后，输出的结果为（ ）‎ ‎ A．0．6 B．0．8 C．0．5 D．0．2‎ ‎10．设集合，‎ ‎，从集合中随机 地取出一个元素，则的 概率是（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．过双曲线右焦点作一条直线，当直线斜率为时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为时，直线与双曲线右支有两个不同交点， 则双曲线离心率的取值范围为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．在平行四边形ABCD中，，AD=2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足（），则当点P在以A为圆心，为半径的圆上时，实数应满足关系式为（ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．若展开式中二项式系数之和是1024，常数项为，则实数的值是 ．‎ ‎14．设数列的前n项和为，已知数列是首项和公比都是3的等比数列，‎ 则的通项公式______________．‎ 一个口袋内有（）个大小相同的球，其中有3个红球和个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是．‎ ‎（I）当时，不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数的期望；‎ ‎（II）若，有放回地从口袋中连续地取四次球（每次只取一个球），在四次摸球中恰好取到两次红球的概率大于，求和．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知是的三个内角，且满足，设的最大值为．‎ ‎（Ⅰ）求的大小；‎ ‎（Ⅱ）当时，求的值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在斜三棱柱中，点、分别是、的中点，‎ 平面．已知，．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线与所成的角；‎ ‎（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，已知抛物线：和⊙：，过抛物线上一点 作两条直线与⊙相切于、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点到抛物线准线的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）当的角平分线垂直轴时，‎ 求直线的斜率；‎ ‎（Ⅲ）若直线在轴上的截距为，求的最小值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若函数在处取得极值，对,恒成立，‎ 求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当且时，试比较的大小．‎ 请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 已知为半圆的直径，，为半圆上一 点，过点作半圆的切线，过点作于，‎ 交圆于点，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平分；‎ ‎（Ⅱ）求的长．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线的极坐标方程为：,点，参数．‎ ‎（Ⅰ）求点轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点到直线距离的最大值．‎ ‎24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．‎ 参考答案 说明：‎ 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．‎ 一．选择题 ‎1．B； 2．D；3．C ；4．A ；5．D；6．C；7．D；8．C；9．A；10．B；11．B；‎ ‎12．D．‎ 二、填空题 ‎13． ；14．；15． ；16．．‎ 三、解答题 ‎17．解：（I）法一：，所以5个球中有2个白球 白球的个数可取0，1，2． 1分 ‎． 4分 ‎． 6分 法二：白球个数服从参数为的超几何分布，则 ……………………6分 ‎（II）由题设知，， 8分 因为所以不等式可化为，‎ 解不等式得，，即． 10分 又因为，所以，即，‎ 所以，所以，所以． 12分 ‎18．解：（Ⅰ）由题设及正弦定理知，，即．‎ 由余弦定理知， 2分 ‎． 4分 因为在上单调递减，所以的最大值为． 6分 ‎（Ⅱ）解：设， ①‎ ‎ 8分 由（Ⅰ）及题设知． ②‎ 由①2+②2得，． 10分 又因为，‎ 所以，即． 12分 ‎19．解法一：（Ⅰ）证明：∵点、分别是、的中点，‎ ‎∴ ，又∵平面，平面，‎ ‎∴平面． 4分 ‎ （Ⅱ）∵平面，∴，又∵，且，‎ ‎∴平面,∴． 6分 又∵， ∴四边形为菱形，‎ ‎∴，且∴平面,‎ ‎∴，即异面直线与所成的角为． 8分 ‎ (Ⅲ) 设点到平面的距离为，∵，‎ 即△． 10分 又∵在△中，,∴△．‎ ‎∴，∴与平面所成角的正弦值． 12分 解法二：如图建系，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎ ．………………2分 ‎（Ⅰ）∵，，∴‎ ‎，即，‎ 又∵平面，平面，∴平面． 6分 ‎（Ⅱ）∵，，∴，即∴，‎ ‎∴异面直线与所成的角为． 8分 ‎(Ⅲ)设与平面所成角为，∵，‎ 设平面的一个法向量是 不妨令，可得， 10分 ‎∴，‎ ‎∴与平面所成角的正弦值． 12分 ‎20．解：（Ⅰ）∵点到抛物线准线的距离为，‎ ‎∴，即抛物线的方程为． 2分 ‎（Ⅱ）法一：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，‎ 设，，‎ ‎∴，∴ ，‎ ‎∴. 5分 ‎． 7分 法二：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，可得，，∴直线的方程为，‎ 联立方程组，得，‎ ‎∵‎ ‎∴，． 5分 同理可得，，∴． 7分 ‎（Ⅲ）法一：设，∵，∴，‎ 可得，直线的方程为，‎ 同理，直线的方程为，‎ ‎∴，‎ ‎， 9分 ‎∴直线的方程为，‎ 令，可得，‎ ‎∵关于的函数在单调递增，‎ ‎∴． 12分 法二：设点，，． ‎ 以为圆心，为半径的圆方程为， ①‎ ‎⊙方程：． ②‎ ‎①-②得： 直线的方程为． 9分 当时，直线在轴上的截距， ‎ ‎∵关于的函数在单调递增， ‎∴ 12分 ‎21．解：（Ⅰ），当时，在上恒成立，函数 在单调递减，∴在上没有极值点；‎ 当时，得，得，‎ ‎∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．‎ ‎∴当时在上没有极值点，‎ 当时，在上有一个极值点． 3分 ‎（Ⅱ）∵函数在处取得极值，∴，‎ ‎∴， 5分 令，可得在上递减，在上递增，‎ ‎∴，即． 7分 ‎（Ⅲ）证明：， 8分 令，则只要证明在上单调递增，‎ 又∵，‎ 显然函数在上单调递增． 10分 ‎∴，即，‎ ‎∴在上单调递增，即，‎ ‎∴当时，有． 12分 ‎22．解：（Ⅰ）连结，因为，所以， 2分 ‎ 因为为半圆的切线，所以，又因为，所以∥，‎ 所以，，所以平分． 4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 6分 连结，因为四点共圆，，所以， 8分 所以，所以． 10分 ‎23．解：(Ⅰ) 且参数，‎ 所以点的轨迹方程为． 3分 ‎(Ⅱ)因为，所以，‎ 所以，所以直线的直角坐标方程为． 6分 法一：由(Ⅰ) 点的轨迹方程为，圆心为，半径为2.‎ ‎，所以点到直线距离的最大值. 10分 ‎ 法二：，当，，即点到直线距离的最大值. 10分 ‎24．解：（Ⅰ）由得，∴，‎ 即，∴，∴． 5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,令，‎ 则 ‎∴的最小值为4，故实数的取值范围是． 10分