【数学】2019届一轮复习北师大版临界知识问题玩转压轴题学案

【数学】2019届一轮复习北师大版临界知识问题玩转压轴题学案

一．方法综述 对于临界知识问题，其命题大致方向为从形式上跳出已 知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要求 生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查 生独立分析问题与解决问题的能力，多与函数、平面向量、数列联系考查。‎ 另外，以高等数 为背景，结合中 数 中的有关知识编制综合性问题，是近几年高考试卷的热点之一，常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等。‎ 二．解题策略 类型一 定义新知型临界问题 ‎【例1】用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A B＝若A＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于(　　)‎ A． 1 B． 3 C． 5 D． 7‎ ‎【答案】B ‎【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数 知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。‎ ‎【举一反三】设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下 a∧b＝，a∨b＝‎ 若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则（ ）‎ A． a∧b≥2，c∧d≤2 B． a∧b≥2，c∨d≥2 C． a∨b≥2，c∧d≤2 D． a∨b≥2，c∨d≥2‎ ‎【答案】C ‎【解析】不妨设a≤b，c≤d，则a∨b＝b，c∧d＝c．‎ 若b<2，则a<2，∴ab<4，与ab≥4矛盾，∴b≥2．故a∨b≥2．‎ 若c>2，则d>2，∴c＋d>4，与c＋d≤4矛盾，∴c≤2．故c∧d≤2．‎ 本题选择C选项．‎ 类型二 高等数 背景型临界问题 ‎【例2】设S是实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题 ①集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)‎ ‎【答案】①②‎ ‎【举一反三】【辽宁省沈阳市郊联体2018届上 期期末】定义行列式运算，将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的图象向左平移n（n＞0）个单位，‎ 所得图象对应的函数为y=2cos（x+n+），根据所得函数为偶函数，可得n+= π， ∈，‎ 则n的最小值为，故选 D． ‎ 类型三 立体几何中的临界问题 立体几何的高考题中，最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等，除此之外，还有可能涉及到与立体几何相关的临界知识，如立体几何与其他知识的交汇，面对这些问题，需要有较强的分析判断能力及思维转换能力，还需要我们对这些问题作一些分析归类，加强知识间的联系，才能让所 知识融会贯通.‎ ‎【例3】【河南省南阳市一中2018届第六次考试】点为棱长是的正方体的内切球球面上的动点，点满足，则动点的轨迹的长度为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【举一反三】【江西省抚州市临川区一中2018届上 期质检】已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于、两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】‎ 依题意，当点为线段的中点时，由题意可知，截面为四边形，从而当时，截面为四边形，当时，该截面与正方体的上底面也相交，所以截面为五边形，故线段的取值范围是，故选B． ‎ 三．强化训练 ‎1．【上海市长宁、嘉定区2018届一模】对任意两个非零的平面向量和，定义，其中为和的夹角．若两个非零的平面向量和满足 ①；②和的夹角；③和的值都在集合中．则的值为（ ）．‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎2．【北京市西城区2017— 2018第一 期期末】设为空间中的一个平面，记正方体的八个顶点中到的距离为的点的个数为， 的所有可能取值构成的集合为，则有（ ）‎ A． ， B． ， C． ， D． ， ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 当为面时，A,C, ,到面的距离相等，即，排除C;‎ 取E,F,G,H为， 的中点，记为时，点，六个点到面的距离相等，即，排除A,B． ‎ 故选D．‎ ‎3．【湖南师大附中2018届上 期月考】狄利克雷函数是高等数 中的一个典型函数，若，则称为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数，给出下面4个命题 ①对任意，都有；②对任意，都有；③对任意，都有， ；④对任意，都有．其中所有真命题的序号是（ ） ‎ A． ①④ B． ②③ C． ①②③ D． ①③④‎ ‎【答案】D[ 。 。 ]‎ ‎（x）≥0恒成立，∴对任意a，b∈（-∞，0），都有 ，故④正确，故正确的命题是①③④，故选D．‎ ‎4．【北京市朝阳区2018届第一 期期末】如图， 为等边三角形，四边形为正方形，平面平面．若点为平面内的一个动点，且满足，则点在正方形及其内部的轨迹为（ ） ‎ A． 椭圆的一部分 B． 双曲线的一部分 C． 一段圆弧 D． 一条线段 ‎【答案】D ‎【解析】在空间中，存在过线段中点且垂直线段的平面，平面上点到两点的距离相等，记此平面为，平面与平面 有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．故点在正方形及其内部的轨迹为一条线段，选A． ‎ ‎5．【湖南省株洲市2018届教 质量统一检测】已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱，分别交于三点，若为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）‎ A． B． 3 C． D． 4‎ ‎【答案】C 当时取等号．故答案为．故选C． ‎ ‎6．【河北省衡水市阜城中 2017-2018上 期第五次月考】定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数， ，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D． [ ]‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎7．【吉林省实验中 2018届一模】在正四棱柱中, ，动点 分别在线段上，则线段 长度的最小值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 建立如图所示空间直角坐标系，‎ 则A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,4), ‎ ‎ ‎ 当且仅当时，PQ取最小值 ，选C． ‎ ‎8．【陕西省西安市长安区一中2017-2018上 期期末】已知正四棱柱中， ， 为的中点，则直线 与平面的距离为（ ）‎ A． 1 B． C． D． 2‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎9．【河南省南阳市一中2017-2018上 期第四次月考】已知各项均不为零的数列，定义向量，， ．下列命题中真命题是（ ）‎ A． 若总有成立，则数列是等比数列 B． 若总有成立，则数列是等比数列 C． 若总有成立，则数列是等差数列 D． 若总有成立，则数列是等差数列 ‎【答案】D ‎ 10．【北京市海淀区2018届第一 期期末】已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点在底面内，点在线段上，若，则长度的最小值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意得，过点作平面，垂足为，‎ ‎ 在点在线段上，分别连接,‎ ‎ 在直角中， ，‎ ‎ 在平面内过点作，则，即到直线的最短距离为， 又，当时，此时,‎ ‎ 所以的最小值为．‎ ‎11．【广西桂林市、贺州市2018届上 期期末联考】把长和宽分别为和2的长方形沿对角线折成的二面角，下列正确的命题序号是__________．‎ ‎①四面体外接球的体积随的改变而改变；‎ ‎②的长度随的增大而增大；‎ ‎③当时， 长度最长；‎ ‎④当时， 长度等于．‎ ‎【答案】②④‎ ‎ 12．【山西省太原十二中2018届上 期1月月考】在四棱锥中， 底面，底面为正方形， ， ，记四棱锥的外接球与三棱锥的外接球的表面积分别为，则___．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎13．【辽宁省沈阳市郊联体2017-2018上 期期末考试】对于四面体，有以下命题 ‎ ‎（1）若，则过向底面作垂线，垂足为底面的外心；‎ ‎（2）若， ，则过向底面作垂线，垂足为底面的内心；‎ ‎（3）四面体的四个面中，最多有四个直角三角形；‎ ‎（4）若四面体的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为．‎ 其中正确的命题是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对于①，设点A在平面BCD内的射影是O，因为AB=AC=AD，所以OB=OC=OD，‎ 则点A在底面BCD内的射影是△BCD的外心，故①正确；‎ 对于②设点A在平面BCD内的射影是O，则OB是AB在平面BCD内的射影，因为AB⊥CD，根据三垂线定理的逆定理可知 CD⊥OB 同理可证BD⊥OC，所以O是△BCD的垂心，故②不正确；‎ 对于③ 如图 直接三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4．故③正确；‎ ‎ 14．【湖南师范大 附属中 2018届上 期月考】如图所示，在棱长为6的正方体中，点分别是棱， 的中点，过， ， 三点作该正方体的截面，则截面的周长为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 15．【河北衡水金卷2018届高考模拟一】如图，在直角梯形中， ， ， ，点是线段上异于点， 的动点， 于点，将沿折起到 的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】， 平面，设 ‎，则 五棱锥的体积， ，得或（舍去），当时， 单调递增，故，即的取值范围是，故答案为．‎ ‎16．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0

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