【数学】2020届一轮复习（理）通用版12-9离散型随机变量的均值与方差作业

【数学】2020届一轮复习（理）通用版12-9离散型随机变量的均值与方差作业

温馨提示：‎ ‎ 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。‎ 核心素养提升练 六十八 ‎　　离散型随机变量的均值与方差 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.若离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P 则X的数学期望E(X)等于 (　　)‎ A.2 　　　 B.2或　　　 C.　　　 D.1‎ ‎【解析】 选C.由题意,+=1,a>0,所以a=1,所以E(X)=0×+1×=.‎ ‎2.已知X的分布列为 X ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ P 则在下列式子中①E(X)=-;②D(X)=;③P(X=0)=,正确的个数是 (　　 )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【解析】选C.由E(X)=(-1)×+0×+1×=-,知①正确;由D(X)= ×+×+×=,知②不正确;由分布列知③正确.‎ ‎3.节日期间,某种鲜花进货价是每束2.5元,销售价为每束5元;节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理.根据前五年销售情况预测,节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布:‎ X ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ P ‎0.20‎ ‎0.35‎ ‎0.30‎ ‎0.15‎ 若购进这种鲜花500束,则利润的均值为 (　　)‎ A.706元 B.690元 C.754元 D.720元 ‎【解析】选A.由分布列可以得到 E(X)=200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×0.15=340,‎ 所以利润是(340×5+160×1.6)-500×2.5=706(元).‎ ‎4.已知X是离散型随机变量,P(X=1)=,P(X=a)=,E(X)=,则D(2X-1)=‎ ‎ (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选B.因为X是离散型随机变量,‎ P(X=1)=,P(X=a)=,E(X)=,‎ 所以由已知得1×+a×=,解得a=2,‎ 所以D(X)=1-2×+2-2×=,‎ 所以D(2X-1)=22D(X)=4×=.‎ ‎【变式备选】已知离散型随机变量ξ的概率分布如下:‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.3‎ ‎3k ‎4k 随机变量η=2ξ+1,则η的数学期望为 (　　)‎ A.1.1　　　　　 B.3.2‎ C.11k　　　 D.22k+1‎ ‎【解析】选B.由0.3+3k+4k=1得k=0.1,‎ 所以E(ξ)=0×0.3+1×0.3+2×0.4=1.1,‎ E(η)=2E(ξ)+1=2×1.1+1=3.2.‎ ‎5.如果X～B(20,p),当p=且P(X=k)取得最大值时,k的值为 (　　)‎ A.9 B.10 C.11 D.12‎ ‎【解析】选B.当p=时,P(X=k)=·=·,显然当k=10时,P(X=k)取得最大值.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3件,若X表示取到次品的次数,则D(X)=________. ‎ ‎【解析】因为X～B,所以D(X)=3××=.‎ 答案:‎ ‎【变式备选】设随机变量X～B(8,p),且D(X)=1.28,则概率p的值是________. ‎ ‎【解析】由D(X)=8p(1-p)=1.28,‎ 所以p=0.2或p=0.8.‎ 答案:0.2或0.8‎ ‎7.设随机变量ξ的分布列如下表所示:‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a b c 其中a,b,c成等差数列,若随机变量ξ的均值为,则ξ的方差为________. ‎ ‎【解析】由题意有a+b+c=1,2b=a+c,b+2c=,解得a=,b=,c=,则其方差为D(ξ)=×+×+×=.‎ 答案:‎ ‎8.据统计,一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,交保险费100元,若一年内万元以上财产被窃,保险公司赔偿a元(a>1 000),为确保保险公司有可能获益,则a的取值范围是________. ‎ ‎【解题指南】转化为求保险公司在参保人身上的收益的期望问题,由此列不等式求解.‎ ‎【解析】X表示保险公司在参加保险者身上的收益,其概率分布列为:‎ X ‎100‎ ‎100-a P ‎0.995‎ ‎0.005‎ E(X)=0.995×100+(100-a)×0.005=100-.若保险公司获益,则期望大于0,解得a<20 000,所以a∈(1 000,20 000).‎ 答案:(1 000,20 000)‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎9.若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.‎ ‎ ‎ ‎(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”; ‎ ‎(2)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望E(X).‎ ‎【解析】(1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.‎ ‎(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为=84,随机变量X可能的取值为0,-1,1,因此 P(X=0)==,P(X=-1)==,‎ P(X=1)=1--=,‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎-1‎ ‎1‎ P 则E(X)=0×+(-1)×+1×=.‎ ‎10.某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,且运费由厂商承担.若厂商恰能在约定日期(×月×日)将牛奶送到,则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂20万元;若在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给牛奶厂1万元;若在约定日期后送到,每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂1万元.为保证牛奶新鲜度,汽车只能在约定日期的前两天出发,且只能选择其中的一条公路运送牛奶,已知下表内的信息:‎ ‎　　统计 ‎　　信息 汽车行　　　‎ 驶路线　　‎ 在不堵车的情况下到达城市乙所需时间(天)‎ 在堵车的情况下到达城市乙所需时间(天)‎ 堵车 的 概率 运费 ‎(万元)‎ 公路1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1.6‎ 公路2‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎0.8‎ ‎(1)记汽车选择公路1运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为ξ(单位:万元),求ξ的分布列和均值E(ξ).‎ ‎(2)选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多?‎ ‎(注:毛收入=销售商支付给牛奶厂的费用-运费) ‎ ‎【解析】(1)若汽车走公路1,‎ 不堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ=20-1.6=18.4(万元);‎ 堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ=20-1.6-1=17.4(万元),‎ 所以汽车走公路1时牛奶厂获得的毛收入ξ的分布列为:‎ ξ ‎18.4‎ ‎17.4‎ P E(ξ)=18.4×+17.4×=18.3(万元).‎ ‎(2)设汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入为η,则 不堵车时牛奶厂获得的毛收入η=20-0.8+1=20.2(万元);‎ 堵车时牛奶厂获得的毛收入η=20-0.8-2=17.2(万元).‎ 所以汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入η的分布列为 η ‎20.2‎ ‎17.2‎ P E(η)=20.2×+17.2×=18.7(万元).‎ 因为E(ξ)

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