走向高考2013高三数学人教A版总复习同步练习87圆锥曲线的综合问题理
8-7圆锥曲线的综合问题(理)
基础巩固强化
1.(2012·潍坊教学质量监测)椭圆+=1的离心率为e,点(1,e)是圆x2+y2-4x-4y+4=0的一条弦的中点,则此弦所在直线的方程是( )
A.3x+2y-4=0 B.4x+6y-7=0
C.3x-2y-2=0 D.4x-6y-1=0
[答案] B
[解析] 依题意得e=,圆心坐标为(2,2),圆心(2,2)与点(1,)的连线的斜率为=,则所求直线的斜率等于-,所以所求直线方程是y-=-(x-1),即4x+6y-7=0,选B.
2.(2011·宁波十校联考)已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于( )
A.3 B.4
C.3 D.4
[答案] C
[解析] 设A(x1,3-x),B(x2,3-x),由于A、B关于直线x+y=0对称,∴解得或设直线AB的斜率为kAB,
∴|AB|=|x1-x2|=3.故选C.
3.设F是抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点,点A是抛物线C1与双曲线C2:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的一个公共点,且AF⊥x
轴,则双曲线的离心率为( )
A.2 B.
C. D.
[答案] D
[解析] 由题意可知,抛物线C1的焦点为F(,0),因为AF⊥x轴,则A(,±p),不妨取A(,p),则双曲线C2的渐近线的斜率为=,∴=2,令a=1,则b=2,c==,∴e==.
4.(2011·南昌检测)过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 记|F1F2|=2c,则|PF1|=,|PF2|=,所以椭圆的离心率为==,选B.
5.(2011·台州二模)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点,则的值为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
[答案] C
[解析] 由题意设直线l的方程为y=(x-),即x=+,代入抛物线方程y2=2px中,整理得y2-2py-p2=0,设A(xA,yA),B(xB,yB),则yA=p,yB=-p,所以=||=3.
6.(2012·东北三校一模)已知直线y=x与双曲线-=1交于A、B两点,P为双曲线上不同于A,B的点,当直线PA,PB的斜率kPA,kPB存在时,kPA·kPB=( )
A. B.
C. D.与P点位置有关
[答案] A
[解析] 设点A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(x0,y0),则由消去x得y2=,y1+y2=0,y1y2=-,(y1+y0)(y2+y0)=y1y2+y+y0(y1+y2)=y-,(x1+x0)(x2+x0)=(2y1+x0)(2y2+x0)=4y1y2+x+2x0(y1+y2)=4y1y2+x=x-4×=9(+1)-4×=(y-),·=.
由得=,即=·,同理有=·,于是有kPA·kPB=·=()2··=()2×=,选A.
7.已知过双曲线-=1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点,则双曲线的离心率e的取值范围是________.
[答案] (1,)
[解析] 由条件知,渐近线的倾斜角小于45°,即<1,∴<1,∴<2,
即e2<2,∵e>1,∴1
0,b>0)的左焦点,若椭圆上存在点P,使得直线PF与圆x2+y2=b2相切,当直线PF的倾斜角为时,此椭圆的离心率是________.
[答案]
[解析] 依题意得OP⊥PF,∵直线PF的倾斜角为,∴∠OFP=,∴sin==,椭圆的离心率e=====.
10.(2012·昆明一中测试)过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点,当点A的纵坐标为1时,|AF|=2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线l的斜率为2,问抛物线C上是否存在一点M,使得MA⊥MB,并说明理由.
[解析] (1)由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线y=-的距离,∴1+=2,∴p=2,
∴抛物线C的方程为x2=4y.
(2)抛物线C的焦点为F(0,1),直线l的方程y=2x+1,
设点A、B、M的坐标分别为(x1,)、(x2,)、(x0,),
由方程组消去y得,x2=4(2x+1),
即x2-8x-4=0,
由韦达定理得x1+x2=8,x1x2=-4.
∵MA⊥MB,∴·=0,
∴(x1-x0)(x2-x0)+(-)(-)=0,
∴(x1-x0)(x2-x0)+(x1-x0)(x2-x0)(x1+x0)(x2+x0)=0.
∵M不与A,B重合,∴(x1-x0)(x2-x0)≠0,
∴1+(x1+x0)(x2+x0)=0,x1x2+(x1+x2)x0+x+16=0,
∴x+8x0+12=0,∵Δ=64-48>0.
∴方程x+8x0+12=0有解,即抛物线C上存在一点M,使得MA⊥MB.
能力拓展提升
11.(2011·大纲全国理,10)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=( )
A. B.
C.- D.-
[答案] D
[解析] 方法一:联立
解得或不妨设A在x轴上方,
∴A(4,4),B(1,-2),
∵F点坐标为(1,0),∴=(3,4),=(0,-2),
cos∠AFB===-.
方法二:同上求得A(4,4),B(1,-2),|AB|=3,|AF|=5,|BF|=2,
由余弦定理知,
cos∠AFB==-.
12.(2012·江西七校联考)如图,有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a1和a2,半焦距分别为c1和c2.则下列结论不正确的是( )
A.a1+c1>a2+c2 B.a1-c1=a2-c2
C.a1c2a2c1
[答案] D
[解析] 依题意得,a1>a2,c1>c2,a1+c1>a2+c2;两个椭圆的左焦点到左顶点的距离相等,即有a1-c1=a2-c2;由a1>a2,得<,又a1-c1=a2-c2,因此<,即有<,a1c2,即m2+n2<5,所以点P(m,n)在圆x2+y2=5的内部,而该圆在椭圆+=1内部,故点P(m,n)在椭圆+=1的内部,所以过点P(m,n)的直线与椭圆+=1一定相交,故公共点的个数是2.
14.(2012·安徽文,14)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若|AF|=3,则|BF|=________.
[答案]
[解析] 本题考查抛物线定义、直线与抛物线的位置关系.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|=3及抛物线定义可知x1+1=3,x1=2,∴A(2,2),则直线AF斜率为k==2,
所以AB方程为y=2(x-1),
由联立消去y得,2x2-5x+2=0,
解之得x1=2,x2=,∴B(,-),
所以|BF|=x2+1=+1=.
15.已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)当直线l的斜率为1时,求△POQ的面积;
(3)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
[解析] (1)由已知,椭圆方程可设为+=1(a>b>0).∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点,且短轴长为2,∴b=c=1,a=.
所求椭圆方程为+y2=1.
(2)右焦点F(1,0),直线l的方程为y=x-1.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由消去x得,3y2+2y-1=0,
解得y1=-1,y2=.
∴S△POQ=|OF|·|y1-y2|=|y1-y2|=.
(3)假设在线段OF上存在点M(m,0)(00,b>0)的离心率为2,坐标原点到直线AB
的距离为,其中A(0,-b),B(a,0).
(1)求双曲线的标准方程;
(2)设F是双曲线的右焦点,直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q,点M为线段PQ的中点.若点M在直线x=-2上的射影为N,满足·=0,且||=10,求直线l的方程.
[解析] (1)依题意有
解得a=1,b=,c=2.
所以,所求双曲线的方程为x2-=1.
(2)当直线l⊥x轴时,||=6,不合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2).
由消去y得,
(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0.①
因为直线与双曲线的右支交于不同两点,所以3-k2≠0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),则x1、x2是方程①的两个正根,于是有
所以k2>3.②
因为·=0,则PN⊥QN,又M为PQ的中点,||=10,所以|PM|=|MN|=|MQ|=|PQ|=5.
又|MN|=x0+2=5,∴x0=3,
而x0===3,∴k2=9,解得k=±3.
∵k=±3满足②式,∴k=±3符合题意.
所以直线l的方程为y=±3(x-2).
即3x-y-6=0或3x+y-6=0.
1.(2011·辽宁文,7)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B.1
C. D.
[答案] C
[解析] 如图所示:
∵|AF|=|AK|,|BF|=|BM|,
∴|AK|+|BM|=|AF|+|BF|=3,
∴AB的中点P到准线的距离为:
|PN|=(|AK|+|BM|)=
∴点P到y轴的距离为-=.
2.(2012·镇江调研)已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),过它的顶点O作两条互相垂直的弦OA,OB.
(1)证明直线AB过定点;
(2)求抛物线顶点O在AB上射影M的轨迹方程.
[解析] (1)不妨设A(2px,2px1),B(2px,2px2)(x1≠x2),则直线AB的斜率是,
于是lAB:y-2px2=(x-2px),
即(x1+x2)y=2px1x2+x,
又∵OA⊥OB,∴·=-1.
因此,直线方程为(x1+x2)y=-2p+x,令y=0得x=2p,
∴lAB恒过定点(2p,0).
(2)由(1)的结论可知,AB过定点N(2p,0).
设M(x,y),当AB斜率存在时,由KOM·KAB=-1可知,
·=-1,即(x-p)2+y2=p2.
当AB⊥x轴时,点M与点N重合,方程也满足.
∴点M的轨迹方程是(x-p)2+y2=p2.它表示以点(p,0)为圆心,p为半径的圆(去掉坐标原点).
3.已知动点P到定点F(,0)的距离与点P到定直线l:x=2的距离之比为.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)设M、N是直线l上的两个点,点E与点F关于原点O对称,若·=0,求|MN|的最小值.
[解析] (1)设点P(x,y),
依题意有,=,整理得+=1,
所以动点P的轨迹C的方程为+=1.
(2)∵点E与点F关于原点O对称,
∴点E的坐标为(-,0).
∵M、N是直线l上的两个点,
∴可设M(2,y1),N(2,y2)(不妨设y1>y2).
∵·=0,∴(3,y1)·(,y2)=0,
∴6+y1y2=0,即y2=-.
由于y1>y2,∴y1>0,y2<0.
∴|MN|=y1-y2=y1+≥2=2.
当且仅当y1=,y2=-时,等号成立.
故|MN|的最小值为2.