广西高考数学模拟试卷理科解析版

广西高考数学模拟试卷理科解析版

‎2017年广西高考数学模拟试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．下列集合中，是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（　　）‎ A．{2，5} B．（6，+∞） C．（0，5） D．（1，5）‎ ‎2．复数的实部与虚部分别为（　　）‎ A．7，﹣3 B．7，﹣3i C．﹣7，3 D．﹣7，3i ‎3．设a=log25，b=log26，，则（　　）‎ A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c ‎4．设向量=（1，2），=（﹣3，5），=（4，x），若+=λ（λ∈R），则λ+x的值是（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎5．已知tanα=3，则等于（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎6．设x，y满足约束条件，则的最大值为（　　）‎ A． B．2 C． D．0‎ ‎7．将函数y=cos（2x+）的图象向左平移个单位后，得到f（x）的图象，则（　　）‎ A．f（x）=﹣sin2x B．f（x）的图象关于x=﹣对称 C．f（）= D．f（x）的图象关于（，0）对称 ‎8．执行如图所示的程序框图，若输入的x=2，n=4，则输出的s等于（　　）‎ A．94 B．99 C．45 D．203‎ ‎9．直线y=2b与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[10，14]，[15，19]，[20，24]，[25，29]，[30，34]的爱看比例分别为10%，18%，20%，30%，t%．现用这5个年龄段的中间值x代表年龄段，如12代表[10，14]，17代表[15，19]，根据前四个数据求得x关于爱看比例y的线性回归方程为，由此可推测t的值为（　　）‎ A．33 B．35 C．37 D．39‎ ‎11．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． +8π B． +8π C．16+8π D． +16π ‎12．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（﹣ax+lnx+1）+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[2，e] B．[，+∞） C．[，e] D．[，]‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（x﹣1）7的展开式中x2的系数为　　．‎ ‎14．已知曲线C由抛物线y2=8x及其准线组成，则曲线C与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数为　　．‎ ‎15．若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为　　．‎ ‎16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为　　平万千米．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．某体育场一角的看台共有20排座位，且此看台的座位是这样排列的：第一排由2个座位，从第二排起每一排都比前一排多1个座位，记an表示第n排的座位数．‎ ‎（1）确定此看台共有多少个座位；‎ ‎（2）设数列{2n•an}的前20项的和为S20，求log2S20﹣log220的值．‎ ‎18．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第﹣道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为 ‎，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．‎ ‎（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；‎ ‎（2）现有3部智能手机进人审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X的分布列及数学期望．‎ ‎19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．‎ ‎（1）求证：AB1⊥CC1；‎ ‎（2）若AB1=3，A1C1的中点为D1，求二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值．‎ ‎20．如图，F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．‎ ‎21．已知函数f（x）=4x2+﹣a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．‎ ‎（1）若x=1是函数y=xf（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣）2+（y+1）2=9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）直线OP：θ=（p∈R）与圆C交于点M，N，求线段MN的长．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f（x）＞0的解集．‎ ‎（1）求M；‎ ‎（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．‎ ‎　‎ ‎2017年广西高考数学模拟试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．下列集合中，是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（　　）‎ A．{2，5} B．（6，+∞） C．（0，5） D．（1，5）‎ ‎【考点】子集与真子集．‎ ‎【分析】求解二次不等式化简A，然后可得集合A的真子集．‎ ‎【解答】解：因为A={x|x2＜5x}={x|0＜x＜5}，‎ 所以是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（1，5）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．复数的实部与虚部分别为（　　）‎ A．7，﹣3 B．7，﹣3i C．﹣7，3 D．﹣7，3i ‎【考点】复数的基本概念．‎ ‎【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．‎ ‎【解答】解： =，‎ ‎∴z的实部与虚部分别为7，﹣3．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．设a=log25，b=log26，，则（　　）‎ A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c ‎【考点】对数值大小的比较．‎ ‎【分析】利用对数函数、指数函数的性质直接求解．‎ ‎【解答】解：∵log24=2＜a=log25＜b=log26＜log28=3，‎ ‎=3，‎ ‎∴c＞b＞a．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．设向量=（1，2），=（﹣3，5），=（4，x），若+=λ（λ∈R），则λ+x的值是（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎【考点】平面向量的坐标运算．‎ ‎【分析】根据平面向量的坐标运算与向量相等，列出方程组求出λ和x的值，即可求出λ+x的值．‎ ‎【解答】解：向量=（1，2），=（﹣3，5），=（4，x），‎ ‎∴+=（﹣2，7），‎ 又+=λ（λ∈R），‎ ‎∴，‎ 解得λ=﹣，x=﹣14；‎ ‎∴λ+x=﹣﹣14=﹣．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．已知tanα=3，则等于（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用．‎ ‎【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化弦为切，即可计算得解．‎ ‎【解答】解：∵tanα=3，‎ ‎∴===．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．设x，y满足约束条件，则的最大值为（　　）‎ A． B．2 C． D．0‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】首先画出可行域，根据事情是区域内的点与原点连接的直线的斜率的最大值，求之即可．‎ ‎【解答】解：由已知得到可行域如图：则表示区域内的点与原点连接的直线的斜率，所以与C连接的直线斜率最大，且C（2，3），所以的最大值为；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．将函数y=cos（2x+）的图象向左平移个单位后，得到f（x）的图象，则（　　）‎ A．f（x）=﹣sin2x B．f（x）的图象关于x=﹣对称 C．f（）= D．f（x）的图象关于（，0）对称 ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】利用诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．‎ ‎【解答】解：将函数y=cos（2x+）的图象向左平移个单位后，得到f（x）=cos[2（x+）+]‎ ‎=cos（2x+）=﹣sin（2x+）的图象，故排除A；‎ 当x=﹣时，f（x）=1，为最大值，故f（x）的图象关于x=﹣对称，故B正确；‎ f（）=﹣sin=﹣sin=﹣，故排除C；‎ 当x=时，f（x）=﹣sin=﹣≠0，故f（x）的图象不关于（，0）对称，故D错误，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，若输入的x=2，n=4，则输出的s等于（　　）‎ A．94 B．99 C．45 D．203‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】输入x和n的值，求出k的值，比较即可．‎ ‎【解答】解：第一次运算：s=2，s=5，k=2；‎ 第二次运算：s=5+2=7，s=16，k=3；‎ 第三次运算：s=16+3=19，s=41，k=4；‎ 第四次运算：s=41+4=45，s=94，k=5＞4，‎ 输出s=94，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．直线y=2b与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用条件得出∠AOC=60°，C（b，2b），代入双曲线﹣=1，可得﹣4=1，b=a，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，‎ ‎∴∠AOC=60°，‎ ‎∴C（b，2b），‎ 代入双曲线﹣=1，可得﹣4=1，∴b=a，‎ ‎∴c==a，‎ ‎∴e==，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[10，14]，[15，19]，[20，24]，[25，29]，[30，34]的爱看比例分别为10%，18%，20%，30%，t%．现用这5个年龄段的中间值x代表年龄段，如12代表[10，14]，17代表[15，19]，根据前四个数据求得x关于爱看比例y的线性回归方程为，由此可推测t的值为（　　）‎ A．33 B．35 C．37 D．39‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】‎ 计算前四组数据的平均数，代入线性回归方程求出k的值，再由回归直线方程求出x=32时的值即可．‎ ‎【解答】解：前四组数据的平均数为，‎ ‎=×（12+17+22+27）=19.5，‎ ‎=×（10+18+20+30）=19.5，‎ 代入线性回归方程=kx﹣4.68，‎ 得19.5=k×19.5﹣4.68，‎ 解得k=1.24，‎ ‎∴线性回归方程为=1.24x﹣4.68；‎ 当x=32时， =1.24×32﹣4.68≈35，‎ 由此可推测t的值为35．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． +8π B． +8π C．16+8π D． +16π ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图知该几何体是下面为半圆柱体、上面为四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，由柱体、锥体的体积公式即可求出几何体的体积．‎ ‎【解答】解：根据三视图可知几何体是下面为半个圆柱、上面为一个四棱锥的组合体，‎ 且四棱锥的底面是俯视图中小矩形的两条边分别是2、4，‎ 其中一条侧棱与底面垂直，高为2，‎ 圆柱的底面圆半径为2、母线长为4，‎ 所以该几何体的体积为 V=×2×4×2+×π×22×4=+8π．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（﹣ax+lnx+1）+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[2，e] B．[，+∞） C．[，e] D．[，]‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤ax﹣lnx≤2对x∈[1，3]恒成立．令g（x）=ax﹣lnx，则由 g′（x）=a﹣=0，求得x=．‎ 分类讨论求得g（x）的最大值和最小值，从而求得a的范围．‎ ‎【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，‎ 若不等式f（﹣ax+lnx+1）+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，‎ 则2f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，即f（ax﹣lnx﹣1）≥f（1）对x∈[1，3]恒成立．‎ ‎∴﹣1≤ax﹣lnx﹣1≤1 对x∈[1，3]恒成立，‎ 即0≤ax﹣lnx≤2对x∈[1，3]恒成立．‎ 令g（x）=ax﹣lnx，则由 g′（x）=a﹣=0，求得x=．‎ ‎①当≤1，即 a＜0 或a≥1时，g′（x）≥0在[1，3]上恒成立，g（x）为增函数，‎ ‎∵最小值g（1）=a≥0，最大值g（3）=3a﹣ln3≤2，∴0≤a≤，‎ 综合可得，1≤a≤．‎ ‎②当≥3，即0＜a≤时，g′（x）≤0在[1，3]上恒成立，g（x）为减函数，‎ ‎∵最大值 g（1）=a≤2，最小值g（3）=3a﹣ln3≥0，∴≤a≤2，‎ 综合可得，a无解．‎ ‎③当1＜＜3，即＜a＜1时，在[1，）上，g′（x）＜0恒成立，g（x）为减函数；‎ 在（，3]上，g′（x）＞0恒成立，g（x）为增函数．‎ 故函数的最小值为g（）=1﹣ln，∵g（1）=a，g（3）=3a﹣ln3，g（3）﹣g（1）=2a﹣ln3．‎ 若 2a﹣ln3＞0，即ln＜a＜1，∵g（3）﹣g（1）＞0，则最大值为g（3）=3a﹣ln3，‎ 此时，由1﹣ln≥0，g（3）=3a﹣ln3≤2，求得≤a≤，综合可得，ln＜a＜1．‎ 若2a﹣ln3≤0，即＜a≤ln3=ln，∵g（3）﹣g（1）≤0，则最大值为g（1）=a，‎ 此时，最小值1﹣ln≥0，最大值g（1）=a≤2，求得≤a≤2，‎ 综合可得≤a≤ln．‎ 综合①②③可得，1≤a≤或ln＜a＜1或≤a≤ln，‎ 即≤a≤，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（x﹣1）7的展开式中x2的系数为　﹣21　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】利用通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：通项公式Tr+1=，令7﹣r=2，解得r=5．‎ ‎∴（x﹣1）7的展开式中x2的系数为﹣=﹣21．‎ 故答案为：﹣21．‎ ‎　‎ ‎14．已知曲线C由抛物线y2=8x及其准线组成，则曲线C与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数为　4　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】分别求出抛物线y2=8x及其准线与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：圆的圆心坐标为（﹣3，0），半径为4，抛物线的顶点为（0，0），焦点为（2，0），‎ 所以圆（x+3）2+y2=16与抛物线y2=8x的交点个数为2．‎ 圆心到准线x=﹣2的距离为1，小于半径，直线与圆有两个交点，‎ 综上所述，曲线C与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎15．若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为　18π　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】设长方体的三度为a，b，c，则ab=1，abc=4，可得c=4，长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径的最小值，即可求出球O表面积的最小值．‎ ‎【解答】解：设长方体的三度为a，b，c，则ab=1，abc=4，∴c=4．‎ 长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，所以2r=≥=3，‎ 当且仅当a=b时，r的最小值为，‎ 所以球O表面积的最小值为：4πr2=18π．‎ 故答案为：18π．‎ ‎　‎ ‎16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为　21　‎ 平万千米．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】由题意画出图象，并求出AB、BC、AC的长，由余弦定理求出cosB，由平方关系求出sinB的值，代入三角形的面积公式求出该沙田的面积．‎ ‎【解答】解：由题意画出图象：‎ 且AB=13里=6500米，BC=14里=7000米，‎ AC=15里=7500米，‎ 在△ABC中，由余弦定理得，‎ cosB===，‎ 所以sinB==，‎ 则该沙田的面积：即△ABC的面积S=‎ ‎=‎ ‎=21000000（平方米）=21（平方千米），‎ 故答案为：21．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．某体育场一角的看台共有20排座位，且此看台的座位是这样排列的：第一排由2个座位，从第二排起每一排都比前一排多1个座位，记an表示第n排的座位数．‎ ‎（1）确定此看台共有多少个座位；‎ ‎（2）设数列{2n•an}的前20项的和为S20，求log2S20﹣log220的值．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）由题意可得数列{an}为等差数列，根据等差数列通项公式即可求得an=2+（n﹣1）=n+1，（1≤n≤20），由此看台共有座位个数为S20‎ ‎，由等差数列前n项和公式即可求得S20．‎ ‎（2）由（1）可知2n•an=（n+1）•2n，利用“错位相减法”即可求得数列{2n•an}的前20项的和为S20，代入根据对数的运算性质即可求得log2S20﹣log220的值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得数列{an}为等差数列，‎ 首项a1=2，公差d=1，‎ ‎∴an=2+（n﹣1）=n+1，（1≤n≤20），‎ ‎∴由等差数列前n项和公式可知：此看台共有S20===230；‎ ‎（2）由2n•an=（n+1）•2n，‎ 数列{2n•an}的前20项和S20=2•2+3•22+4•23+…+21•220，‎ ‎∴2S20=2•22+3•23+4•24+…+21•221，‎ 两式相减得：﹣S20=2•2+22+23+…+220﹣21•221，‎ ‎=2+﹣21•221，‎ ‎=﹣20•221，‎ ‎∴S20=20•221，‎ log2S20﹣log220=log220•221﹣log220=log220+log2221﹣log220=21．‎ ‎∴log2S20﹣log220=21．‎ ‎　‎ ‎18．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第﹣道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．‎ ‎（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；‎ ‎（2）现有3部智能手机进人审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X的分布列及数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件A，则P（A）=．‎ ‎（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为．由题意可得X可取0，1，2，3，则X～B．‎ ‎【解答】解：（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件A，则．‎ ‎（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为．由题意可得X可取0，1，2，3，‎ 则X～B.，．所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故（或）．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．‎ ‎（1）求证：AB1⊥CC1；‎ ‎（2）若AB1=3，A1C1的中点为D1，求二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）连结AC1，则△ACC1，△B1C1C都是正三角形，取CC1中点O，连结OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，由此能证明CC1⊥AB1．‎ ‎（2）分别以OB1，OC1，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）连结AC1，则△ACC1，△B1C1C都是正三角形，‎ 取CC1中点O，连结OA，OB1，‎ 则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，‎ ‎∵OA∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，‎ ‎∵AB1⊂平面OAB1，∴CC1⊥AB1．‎ 解：（2）由（1）知OA=OB1=3，‎ 又AB1=3，∴OA2+OB12=AB12，‎ ‎∴OA⊥OB1，OA⊥平面B1C1C，‎ 如图，分别以OB1，OC1，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则C（0，﹣，0），B1（3，0，0），A（0，0，3），C1（0，，0），A1（0，2，3），D1（0，，），‎ 设平面CAB1的法向量=（x，y，z），‎ ‎∵=（3，0，﹣3），=（1，﹣，1），‎ ‎∴，取x=1，得=（），‎ 设平面AB1D1的法向量=（a，b，c），‎ ‎∵=（0，，﹣），=（﹣3，，），‎ ‎∴，取b=1，得=（），‎ ‎∴cos＜＞===，‎ 由图知二面角C﹣AB1﹣D1的平面角为钝角，‎ ‎∴二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值为﹣．‎ ‎　‎ ‎20．如图，F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（，y1），Q（），由OP⊥OQ，即=0，当直线AB的斜率不存在时，S=1．当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，‎ 联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出△ABC的面积为1．‎ ‎【解答】解：（1）∵F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，‎ D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，‎ ‎∴，解得a=2，b=1，c=，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为=1．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（，y1），Q（），‎ 由OP⊥OQ，即=0，（*）‎ ‎①当直线AB的斜率不存在时，S=|x1|×|y1﹣y2|=1．‎ ‎②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，‎ 联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，‎ ‎△=16（4k2+1﹣m2），，‎ 同理，，代入（*），整理，得4k2+1=2m2，‎ 此时，△=16m2＞0，‎ AB=|x1﹣x2|=，‎ h=，∴S=1，‎ 综上，△ABC的面积为1．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=4x2+﹣a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．‎ ‎（1）若x=1是函数y=xf（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）求得函数y=xf（x）的导数，由极值的概念可得a=12，求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；‎ ‎（2）求出f（x）的导数和单调区间，以及极值，由零点个数为2，可得a=3，作出y=f（x）的图象，令t=g（x），由题意可得t=﹣1或t=‎ ‎，即f（x）=﹣1﹣b或f（x）=﹣b都有3个实数解，由图象可得﹣1﹣b＞0，且﹣b＞0，即可得到所求a+b的范围．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=4x2+﹣a，‎ 则y=xf（x）=4x3+1﹣ax的导数为y′=12x2﹣a，‎ 由题意可得12﹣a=0，解得a=12，‎ 即有f（x）=4x2+﹣12，‎ f′（x）=8x﹣，‎ 可得曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为7，切点为（1，﹣7），‎ 即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+7=7（x﹣1），‎ 即为y=7x﹣14；‎ ‎（2）由f（x）=4x2+﹣a，导数f′（x）=8x﹣，‎ 当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0或0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．‎ 可得x=处取得极小值，且为3﹣a，‎ 由f（x）有两个零点，可得3﹣a=0，即a=3，零点分别为﹣1，．‎ 令t=g（x），即有f（t）=0，可得t=﹣1或，‎ 则f（x）=﹣1﹣b或f（x）=﹣b，‎ 由题意可得f（x）=﹣1﹣b或f（x）=﹣b都有3个实数解，‎ 则﹣1﹣b＞0，且﹣b＞0，即b＜﹣1且b＜，‎ 可得b＜﹣1，即有a+b＜2．‎ 则a+b的范围是（﹣∞，2）．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣）2+（y+1）2=9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）直线OP：θ=（p∈R）与圆C交于点M，N，求线段MN的长．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）利用直角坐标方程化为极坐标方程的方法，求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）利用|MN|=|ρ1﹣ρ2|，求线段MN的长．‎ ‎【解答】解：（1）（x﹣）2+（y+1）2=9可化为x2+y2﹣2x+2y﹣5=0，‎ 故其极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0．…‎ ‎（2）将θ=代入ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，得ρ2﹣2ρ﹣5=0，‎ ‎∴ρ1+ρ2=2，ρ1ρ2=﹣5，‎ ‎∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|==2．…‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f（x）＞0的解集．‎ ‎（1）求M；‎ ‎（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）通过讨论x的范围，解关于x的不等式，求出M的范围即可；‎ ‎（2）根据绝对值的性质证明即可．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=，‎ 当x＜﹣2时，由x﹣3＞0得，x＞3，舍去；‎ 当﹣2≤x≤时，由3x+1＞0得，x＞﹣，即﹣＜x≤；‎ 当x＞时，由﹣x+3＞0得，x＜3，即＜x＜3，‎ 综上，M=（﹣，3）；‎ ‎（2）证明：∵x，y∈M，∴|x|＜3，|y|＜3，‎ ‎∴|x+y+xy|≤|x+y|+|xy|≤|x|+|y|+|xy|=|x|+|y|+|x||y|＜3+3+3×3=15．‎ ‎　‎ ‎2017年3月23日