高中数学人教a版必修4课时达标检测（二十九）简单的三角恒等变换 word版含解析
课时达标检测（二十九）简单的三角恒等变换
一、选择题
1．cos2π
8
－1
2
的值为( )
A．1 B.1
2
C. 2
2 D. 2
4
答案：D
2．已知 sin
π
4
－x ＝3
5
，则 sin 2x 的值为( )
A.19
25 B.16
25
C.14
25 D. 7
25
答案：D
3．设 a＝1
2cos 6°－ 3
2 sin 6°，b＝ 2tan 13°
1＋tan213°
，c＝ 1－cos 50°
2
，则有( )
A．a>b>c B．a
0，|φ|<π
2 的最小正周期为π，且 f(－x)＝f(x)，
则( )
A．f(x)在 0，π
2 上单调递减
B．f(x)在
π
4
，3π
4 上单调递减
C．f(x)在 0，π
2 上单调递增
D．f(x)在
π
4
，3π
4 上单调递增
答案：A
二、填空题
6．若 cos 2θ＋cos θ＝0，则 sin 2θ＋sin θ＝________.
答案：0 或± 3
7．等腰三角形的顶角的正弦值为 5
13
，则它的底角的余弦值为________．
答案： 26
26
或5 26
26
8．在△ABC 中，若 cos A＝1
3
，则 sin2B＋C
2
＋cos 2A 等于________．
答案：－1
9
三、解答题
9．若π<α<3π
2
，化简 1＋sin α
1＋cos α－ 1－cos α
＋ 1－sin α
1＋cos α＋ 1－cos α
.
解：∵π<α<3π
2
，∴π
2<α
2<3π
4
，
∴cosα
2<0，sinα
2>0.
∴原式
＝
sinα
2
＋cosα
2 2
2|cosα
2|－ 2|sinα
2|＋
sinα
2
－cosα
2 2
2|cosα
2|＋ 2|sinα
2|
＝
sinα
2
＋cosα
2 2
－ 2 sinα
2
＋cosα
2
＋
sinα
2
－cosα
2 2
2 sinα
2
－cosα
2
＝－
sinα
2
＋cosα
2
2
＋
sinα
2
－cosα
2
2
＝－ 2cosα
2.
10．点 P 在直径 AB＝1 的半圆上移动，过 P 作圆的切线 PT 且 PT＝1，∠PAB＝α，问α
为何值时，四边形 ABTP 面积最大？
解：如图所示，
∵AB 为直径，
∴∠APB＝90°，AB＝1，
PA＝cos α，PB＝sin α.
又 PT 切圆于 P 点，∠TPB＝∠PAB＝α，
∴S 四边形 ABTP＝S△PAB＋S△TPB
＝1
2PA·PB＋1
2PT·PB·sin α
＝1
2sin αcos α＋1
2sin2α
＝1
4sin 2α＋1
4(1－cos 2α)
＝1
4(sin 2α－cos 2α)＋1
4
＝ 2
4 sin(2α－π
4)＋1
4.
∵0<α<π
2
，－π
4<2α－π
4<3
4π，
∴当 2α－π
4
＝π
2
，即α＝3
8π时，S 四边形 ABTP 最大．
11．设函数 f(x)＝sin2ωx＋2 3sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线 x＝π对
称．其中ω，λ为常数，且ω∈
1
2
，1 .
(1)求函数 f(x)的最小正周期；
(2)若 y＝f(x)的图象经过点
π
4
，0 ，求函数 f(x)的值域．
解：(1)因为
f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2 3sin ωx·cos ωx＋λ
＝－cos 2ωx＋ 3sin 2ωx＋λ
＝2sin 2ωx－π
6 ＋λ.
由直线 x＝π是 y＝f(x)图象的一条对称轴，
可得 sin 2ωπ－π
6 ＝±1.
所以 2ωπ－π
6
＝kπ＋π
2(k∈Z)，
即ω＝k
2
＋1
3(k∈Z)．
又ω∈
1
2
，1 ，k∈Z，所以 k＝1，故ω＝5
6.
所以 f(x)的最小正周期是6π
5 .
(2)由 y＝f(x)的图象过点
π
4
，0 ，
得 f
π
4 ＝0，
即λ＝－2sin
5
6
×π
2
－π
6 ＝－2sinπ
4
＝－ 2，
即λ＝－ 2.
故 f(x)＝2sin
5
3
x－π
6 － 2，
函数 f(x)的值域为[－2－ 2，2－ 2 ]．
