高等数学下册 chap2(导数与微分)2-2(函数的求导法则)

高等数学下册 chap2(导数与微分)2-2(函数的求导法则)

一、函数的和、差、积、商的 三、复合函数的求导法则 四、初等函数的求导问题 二、反函数的求导法则 第二节 函数的求导法则 求导法则 定理 1 并且 则 它们的线性组合、积、商 在点 x 处也可导 , 一、函数的线性组合、积、商的求导法则 证 则由 导数的定义 有 证 (3) 推论 注意 : 例 解 例 解 例 解 同理可得 即 例 解 同理可得 即 练习 解 法一 法二 注 在进行求导运算中 , 且也能提高结果的准 这样使求导过程简单 , 尽量先化简再求导 , 确性 . ? 用求导法则与用定义求导数时 , 结果有时不一致 , 这是为什么 ? 如已知 无意义 , 解 所以 , 不存在 . 上述解法有问题吗 ? 注意问题出在 不连续 . 因此 可能在不连续点处不代表该点处的导数值 . 用定义 ! 二、反函数的求导法则 定理 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 . 证 于是有 例 解 同理可得 单调、可导 , 直接函数 反函数 注 如果利用三角学中的公式 : 也可得公式 也可得公式 三、复合函数的求导法则 定理 即 因变量对自变量求导 , 等于因变量对中间变量求导 , 乘以中间变量对自变量求导 .( 链式法则 ) 证 推广 例 解 例 解 例 解 例 解 例 解 1. 常数和基本初等函数的导数公式 四、初等函数的求导法则 3. 反函数的求导法则 或 且 2. 函数的和、差、积、商的求导法则 设 ) ( ), ( x v v x u u = = 可导，则 （ 1 ） v u v u ¢ ¢ = ¢ ) ( , （ 2 ） u c cu ¢ = ¢ ) ( （ 3 ） v u v u uv ¢ + ¢ = ¢ ) ( , （ 4 ） ) 0 ( ) ( 2 ¹ ¢ - ¢ = ¢ v v v u v u v u . ( 是常数 ) 4. 复合函数的求导法则 初等函数的 导数未必是初等函数 . 注 利用上述公式及法则初等函数求导问题 可完全解决 . 例 解 例 解 例 解 所以 例 解 例 证 由于斜率相等 , 知二切线平行 . (1) 求交点 分别为曲线在 A , B 点 的切线斜率 . (2) 求导数 作的曲线的切线彼此平行 . 解 练习 分析 这是抽象函数与具体函数相结合的导数 , 综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及 复合函数求导法则 . ( 注意成立条件 ); 复合函数的求导法则 五、小结 不能遗漏 ); ( 对于 复合函数 , 反函数的求导法则 层的复合结构 , 注意一层 函数的积、商求导法则 注意 记住基本初等函数的导数公式 3. 用求导公式求导数 ( 区间内点处 ). 1. 用定义求导数 ( 分段点处 或因条件所限必须用定义求 ) 2. 用左右导数定义求导数 ( 分段点处或区间端点处 ) 注意 思考题 ( 是非题 ) 非 例如 处处可导 , 处不可导 , 但复合函数 处处可导 . 1 、 试证：可导偶函数的导函数是奇函数。 证明 2 、