【数学】2019届一轮复习北师大版解析几何与向量综合问题学案

【数学】2019届一轮复习北师大版解析几何与向量综合问题学案

‎2018年高考数学专题复习难点突破名师讲练：解析几何与向量综合问题 一、考点突破 ‎ 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支中有着广泛的应用，向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学的许多主干知识综合起来，形成知识交汇点。在高中数学体系中，解析几何有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量知识对其做形与数的转化，则会大大简化解题过程。‎ 二、重难点提示 重点：平面向量的概念、加减运算、坐标运算、数量积及对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直等。‎ 难点：以平面向量为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直射影等问题以及圆锥曲线中的轨迹、范围、最值、定值、对称等典型问题。‎ 一、知识脉络图 二、知识点拨 解析几何与向量知识综合时可能出现的向量内容：‎ ‎ 1. 给出直线的方向向量或；‎ ‎ 2. 给出与相交，等于已知过的中点；‎ ‎ 3. 给出，等于已知是的中点；‎ ‎ 4. 给出，等于已知与A，B的中点三点共线；‎ ‎ 5. 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数，等于已知三点共线。‎ ‎ 6. 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即 ‎ 7. 若不共线，给出，等于已知，即是直角，给出，等于已知是钝角， 给出，等于已知是锐角；‎ ‎ 8. 给出，等于已知是的平分线；‎ ‎ 9. 在平行四边形中，给出，等于已知是菱形；‎ ‎ 10. 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形；‎ ‎ 11. 在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；‎ ‎ 12. 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；‎ ‎ 13. 在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；‎ ‎ 14. 在中，给出等于已知通过的内心；‎ ‎ 15. 在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；‎ ‎ 16. 在中，给出，等于已知是中边的中线。‎ 能力提升类 例1 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）‎ A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 一点通：先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定的方向与的角平分线一致，再由可得到 ‎，即可得出答案。‎ 因为同向的单位向量，由向量加法的平行四边形法则知是与∠ABC的角平分线（射线）同向的一个向量，又由，知P点的轨迹是∠ABC的角平分线，从而点P的轨迹一定通过△ABC的内心。‎ 答案：B 点评：本题主要考查向量的线性运算和几何意义．‎ 例2 在平面系直角坐标中，△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A（－1，0）、B（1，0），平面内两点G，M同时满足下列条件：①＋＋＝；②||＝||＝||：③∥。（Ⅰ）求△ABC的顶点C的轨迹方程；（Ⅱ）过点P（3，0）的直线l与（Ⅰ）中轨迹交于E，F两点，求·的取值范围。‎ 一点通：由于此题涉及的动点有三个，因此采用设而不求思想先设C、G、M三点的坐标，然后将坐标代入①②中的两个等式，同时利用向量平行的条件进行转化，第（Ⅰ）小题就可求解。第（Ⅱ）小题则需利用判别式确定直线与所求轨迹相交的条件，即直线斜率k的取值范围，然后利用向量的数量积公式及韦达定理建立·关于k的函数式，最后根据求函数值域的方法即可求得结果。‎ 答案：（Ⅰ）设C（x，y），G（x0，y0），M（xM，yM），‎ ‎∵||＝||，∴M点在线段AB的中垂线上。‎ 由已知A（－1，0），B（1，0），∴xM＝0，又∵∥，∴yM＝y0，‎ 又＋＋＝，∴（－1－x0，y0）＋（1－x0，－y0）＋（x－x0，x－y0）＝（0，0），‎ ‎∴x0＝，y0＝，yM＝，‎ ‎∵||＝||，∴＝，‎ ‎∴x2＋＝1（y≠0），∴顶点C的轨迹方程为x2＋＝1（y≠0）。‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为：y＝k（x－3），E（x1，y1），F（x2，y2），‎ 由，消去y得：（k2＋3）x2－6k2x＋9k2－3＝0…①，‎ ‎∴x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 而·＝||·||·cos0°＝|PE|·|PF|＝|3－x1|·|3－x2|‎ ‎＝（1＋k2）|9－3（x1＋x2）＋x1x2|＝（1＋k2）||＝＝24－，‎ 由方程①知△＝（6k2）2－4（k2＋3）（9k2－3）＞0，k2＜，‎ ‎∵k≠0，∴0＜k2＜，∴k2＋3∈（3，），∴·∈（8，）。‎ 点评：本题主要考查向量的坐标运算及几何意义、轨迹的直接求法、不等式的解法，考查“设而不求法”结合二次方程的判别式及韦达定理在解决直线与圆锥曲线位置关系中的应用，同时考查函数与方程的思想、转化的思想以及逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方法的应用能力。解答本题有两个关键：（1）对条件中向量关系的转化；（2）建立·关于直线斜率k的函数。解答本题还有一个易错点：忽视直线与圆锥曲线相交的条件限制，造成所求范围扩大。‎ 综合运用类 例3 已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E满足，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率e的取值范围。‎ 一点通：找到e与的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e的取值范围。‎ 答案：建立如图坐标系，这时CD⊥y轴，‎ 因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。‎ 依题意，记A（－C，0），C（h），E（x0，y0），其中c=为双曲线的半焦距，h是梯形的高。‎ 由，即（x0+c，y0）= （－x0，h－y0）得：x0=。‎ 设双曲线的方程为，则离心率e=。由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e=代入双曲线的方程得 将（1）式代入（2）式，整理得（4－4）=1+2，故=1。‎ 依题设得，解得。‎ 所以双曲线的离心率的取值范围是。‎ 点评：本题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力．‎ 思维拓展类 例4 在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点。已知△为等腰三角形．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．‎ 一点通：‎ ‎（Ⅰ）直接利用为等腰三角形得，解其对应的方程即可求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）先把直线方程与椭圆方程联立，求得，两点的坐标，代入，即可求点的轨迹方程。‎ ‎ 答案：（Ⅰ）设 ‎ 由题意，可得 即 整理得（舍），‎ 或所以 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 可得椭圆方程为 直线PF2方程为 A，B两点的坐标满足方程组 消去y并整理，得 解得 ‎ 进而得方程组的解 不妨设 设点M的坐标为，‎ 由 于是有 由 即，‎ 化简得 将 所以。因此，点M的轨迹方程是 点评：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，还考查学生解决问题的能力与运算能力。‎ 例5 如图，以椭圆（）的中心O为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点F（）（）作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点A。连结OA交小圆于点B。设直线BF是小圆的切线。‎ ‎（1）证明，并求直线与轴的交点M的坐标；‎ ‎（2）设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明。‎ 一点通：‎ ‎ （1）直接利用∽，找到对应边的比值相等即可证明，再求出直线的斜率，利用与直线垂直可得直线的斜率，进而求出直线的方程以及与轴的交点的坐标；‎ ‎ （2）先把直线的方程与椭圆方程联立，求出关于、两点的坐标以及直线的斜率之间的等量关系，代入整理可得结论。‎ 答案：（1）由题设条件知，～，故，即，因此 ‎ ①‎ 在中，‎ 于是，直线OA的斜率，设直线BF的斜率为，则 这时，直线BF的方程为，令，则 所以直线BF与轴的交点为 ‎（2）由（1），得直线BF的方程为，且 ②‎ 由已知，设、，则它们的坐标满足方程组 ③‎ 由方程组③消去，并整理得 ④‎ 由①、②和④式得，‎ 由方程组③消去，并整理得 ⑤‎ 由②和⑤式得，‎ 综上，得到 注意到，得 ‎ ‎ ‎ ‎ 点评：本题是对椭圆与圆以及直线与椭圆位置关系的综合考查。这种类型的题目，解题思路比较清晰，但对整理过程要求比较高，所以在做题时，一定要认真，细致。‎ ‎1. 求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，解决此类问题需掌握四种基本方法：‎ ‎①直接法：建系、设点、列式、化简、证明（可以省略），此法适用于较简单的问题；‎ ‎ ②定义法：如果能够确定动点的轨迹满足已知曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可由曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义直接写出轨迹方程；‎ ‎ ③待定系数法：若已知曲线的形状（如椭圆、双曲线、抛物线），可用待定系数法；‎ ‎ ④相关点法（坐标代换法）：若动点依赖于另一动点，而又在某已知曲线上，则可先写出关于的方程，再将换成。‎ ‎2. 有关直线与圆锥曲线位置关系的问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段的中点、弦长等知识，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现。 ‎3. 求与圆锥曲线有关的参数或参数范围的问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合。‎ 试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两个点关于直线对称。‎ 解：设椭圆上关于直线对称的点，，‎ 则根据对称性可知线段被直线垂直平分。‎ 可得直线的斜率，直线与椭圆有两个交点，且的中点在直线上，‎ 故可设直线的方程为，‎ 整理可得，‎ 所以，，‎ 由可得，‎ 所以将，代入直线可得 所以，。‎ 则的取值范围为 ‎（答：）； ‎ 提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称的问题时，切记别忘了检验！‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎3. 过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 （ ） 21世纪教育网 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. ‎5 C. D.‎ 二、填空题 ‎1. 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 。‎ ‎2. 点在双曲线的右支上，若点到右焦点的距离等于，则 。‎ ‎3. 如图所示，直线x=2与双曲线的渐近线交于，两点，记，任取双曲线上的一点P，若，则a、b满足的一个等式是 。‎ ‎4. 已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足，则弦AB的中点到准线的距离为____________。‎ 三、解答题 ‎1. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为 ‎ （1）求双曲线C的方程；‎ ‎ （2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）。求k的取值范围。‎ ‎2. 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。‎ 一、选择题 ‎1. B 解析：因为是已知双曲线的左焦点，所以，即，所以双曲线方程为，设点P，则有，解得，因为，，‎ 所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是，选B。‎ ‎2. B 解析：设直线为椭圆的右准线，为离心率，过、分别作，垂直于，，为垂足，过作垂直于，由椭圆的第二定义得，，得，，‎ ‎，，即，故选B。‎ ‎3. C ‎ 解析：对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，则有 ‎，因 ‎．‎ ‎4. D 解析：双曲线的一条渐近线为，由方程组，消去y，得有唯一解，所以△=，所以，，故选D。 ‎ 二、填空题 ‎1. 如图，，‎ 作轴于点D1，则由，得，所以，‎ 即，由椭圆的第二定义得 又由，得，整理得。‎ 两边都除以，得，解得。‎ ‎2. 2‎ ‎3. 4ab=1‎ ‎4. ‎ 解析：设FB=m，由抛物线的定义知 ‎。‎ 中，AC=‎2m，AB=‎4m，，‎ 直线AB的方程为，‎ ‎ 与抛物线方程联立，消去y得。‎ 所以弦AB的中点到准线的距离为。‎ 三、解答题 ‎1. 解：（1）设双曲线的方程为 ‎ 由已知得 故双曲线C的方程为 ‎（2）将 由直线l与双曲线交于不同的两点得 即 ① ‎ 设，则 而 于是有 ‎ ②‎ 由①、②式得 ‎ 故k的取值范围为 ‎2. （Ⅰ）解：设椭圆方程为 则直线AB的方程为，代入，化简得 ‎。‎ 令A（），B），则 由与共线，得 又，‎ 即，所以，‎ 故离心率 ‎ ‎（II）证明：由（Ⅰ）知，所以椭圆可化为 设，由已知得 在椭圆上，‎ 即 由（Ⅰ）知 ‎。‎ 又，代入①得。‎ 故为定值，定值为1。‎