【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第十二章第1讲　数系的扩充与复数的引入学案

【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第十二章第1讲　数系的扩充与复数的引入学案

知识点 考纲下载 复数 ‎ 理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．‎ ‎ 了解复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎ 会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.‎ 算法与 程序框图 ‎ 了解算法的含义，了解算法的思想．‎ ‎ 理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环；理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.‎ 框图 ‎ 了解程序框图、工序流程图(即统筹图)与结构图．‎ ‎ 能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用．‎ ‎ 会运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息.‎ 合情推理 与演绎推理 ‎ 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．‎ ‎ 了解演绎推理的重要性；掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．‎ ‎ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.‎ 直接证明 与间接证明 ‎ 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．‎ ‎ 了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.‎ 第1讲　数系的扩充与复数的引入 ‎[学生用书P199]‎ ‎1．复数的有关概念 ‎(1)复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．‎ ‎(2)复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R)‎ ‎(3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(4)共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(5)复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a、b∈R)．‎ ‎2．复数的几何意义 ‎(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．‎ ‎(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.‎ ‎3．复数的运算 ‎(1)复数的加、减 、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ‎①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；‎ ‎②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；‎ ‎③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；‎ ‎④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．‎ ‎(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　)‎ ‎(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)‎ ‎(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)‎ ‎(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　　)‎ ‎(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√‎ ‎ (教材习题改编)设m∈R，复数z＝m2－1＋(m＋1)i表示纯虚数，则m的值为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．1 B.－1‎ C．±1 D．0‎ 解析：选A.由题意得 解得 所以m＝1.故选A.‎ ‎ (教材习题改编)设x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则复数z＝x＋yi在复平面上对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D.由题意得 所以x＝4，y＝－2，‎ 所以复数z＝4－2i在复平面上对应的点位于第四象限，故选D.‎ ‎ (教材习题改编)复数的共轭复数为(　　)‎ A．2＋i B.2－i C．－2＋i D．－2－i 解析：选B.＝＝＝＝2＋i.‎ 因为2＋i的共轭复数为2－i，故选B.‎ ‎ (2017·高考江苏卷)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．‎ 解析：法一：复数z＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，则|z|＝＝.‎ 法二：|z|＝|1＋i|·|1＋2i|＝×＝.‎ 答案： ‎ (教材习题改编)已知(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝________．‎ 解析：因为z＝＝ ‎＝＝2－i，所以z＝2＋i.‎ 答案：2＋i ‎　　　　　　复数的有关概念[学生用书P200]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ (1)(2017·高考全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)‎ A．i(1＋i)2　　　　　　 B.i2(1－i)‎ C．(1＋i)2 D．i(1＋i)‎ ‎(2)(2017·高考天津卷)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．‎ ‎(3)(2017·高考浙江卷)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________．‎ ‎【解析】　(1)i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数，排除A；i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数，排除B；(1＋i)2＝2i，2i是纯虚数．故选C.‎ ‎(2)因为＝＝为实数，所以a＋2＝0，即a＝－2.‎ ‎(3)因为(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，所以所以或所以a2＋b2＝5，ab＝2.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)－2　(3)5　2‎ 解决复数概念问题的方法及注意事项 ‎(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．‎ ‎(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于(　　)‎ A．3，－2 B.3，2‎ C．3，－3 D．－1，4‎ 解析：选A.因为(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，‎ 所以a＝3，b＝－2，故选A.‎ ‎2．(2016·高考全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ 解析：选B.因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝　＝，选B.‎ ‎3．(2018·九江第一次统考)设复数z＝，则z的共轭复数为(　　)‎ A.－i B.＋i C．1－3i D．1＋3i 解析：选B.z＝＝＝＋i.‎ ‎　　　　　　复数的运算(高频考点)‎ ‎[学生用书P200]‎ 复数的运算是每年高考的热点，主要涉及复数的乘、除运算，且常与复数的有关概念、几何意义相结合考查，题型为选择题，难度较小，主要命题角度有：‎ ‎(1)复数的乘法运算；‎ ‎(2)复数的除法运算；‎ ‎(3)复数的综合运算．‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 角度一　复数的乘法运算 ‎ (1)(2017·高考全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝(　　)‎ A．1－i B.1＋3i C．3＋i D．3＋3i ‎(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(　　)‎ A．－3 B.－2‎ C．2 D．3‎ ‎(3)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝(　　)‎ A．－1 B.0‎ C．1 D．2‎ ‎【解析】　(1)(1＋i)(2＋i)＝2＋i＋2i＋i2＝1＋3i.故选B.‎ ‎(2)(1＋2i)(a＋i)＝(a－2)＋(2a＋1)i，由已知条件，得a－2＝2a＋1，解得a＝－3.故选A.‎ ‎(3)因为 (2＋ai)(a－2i)＝－4i，所以4a＋(a2－4)i＝－4i.‎ 所以解得a＝0.故选B.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)A　(3)B ‎ 角度二　复数的除法运算 ‎ (1)复数等于(　　)‎ A．i B.1＋i C．－i D．1－i ‎(2)(2016·高考全国卷Ⅲ)若z＝1＋2i，则＝(　　)‎ A．1 B.－1‎ C．i D．－i ‎(3)()6＋＝________．‎ ‎【解析】　(1)＝＝＝i.‎ ‎(2)＝＝i. ‎ ‎(3)原式＝＋ ‎＝i6＋＝－1＋i.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)C　(3)－1＋i ‎ 角度三　复数的综合运算 ‎ (1)(2018·贵阳检测)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于(　　)‎ A．1＋2i B.1－2i C．－1＋2i D．－1－2i ‎(2)(2016·高考全国卷Ⅲ)若z＝4＋3i，则＝(　　)‎ A．1 B.－1‎ C.＋i D．－i ‎(3)(2018·郑州模拟)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　)‎ A．－4 B.－ C．4 D． ‎【解析】　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，所以2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得3a＋bi＝3－2i，所以解得 所以z＝1－2i，故选B.‎ ‎(2)＝＝－i，故选D.‎ ‎(3)设z＝a＋bi(a，b∈R)，‎ 故(3－4i)(a＋bi)＝3a＋3bi－4ai＋4b ‎＝|4＋3i|，‎ 所以解得b＝.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)D　(3)D 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 ‎(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．‎ ‎(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．‎ ‎(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答．‎ ‎(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答．‎ ‎(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知(1－i)z＝2＋i，则z的共轭复数＝(　　)‎ A.＋i B.－i C.＋i D．－i 解析：选B.z＝＝＝＝＋i，‎ 所以＝－i.‎ ‎2.＝________．‎ 解析：＝ ‎＝i2 018＝i2＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎3.＋＝________．‎ 解析：＋ ‎＝＋ ‎＝i＋i1 008·(1＋i)＝＋(＋1)i.‎ 答案：＋(＋1)i ‎　　　　　　复数的几何意义[学生用书P201]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ (1)(2017·高考全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(　　)‎ A．第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎(2)(2017·高考北京卷)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，1) B.(－∞，－1)‎ C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)‎ ‎【解析】　(1)z＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于第三象限，故选C.‎ ‎(2)复数(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，其在复平面内对应的点(a＋1，1－a)在第二象限，故解得a<－1，故选B.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)B 复数的几何意义及应用 ‎(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.‎ ‎(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．复数z＝＋3i在复平面内对应的点所在的象限为(　　)‎ A．第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选A.z＝＋3i＝＋3i＝＋3i＝2－i＋3i＝2＋2i，故z在复平面内对应的点在第一象限，故选A.‎ ‎2．在复平面内与复数z＝所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为(　　)‎ A．1＋2i B.1－2i C．－2＋i D．2＋i 解析：选C.依题意得，复数z＝＝i(1－2i)＝2＋i，其对应的点的坐标是(2，1)，因此点A(－2，1)对应的复数为－2＋i.‎ ‎ 复数的运算技巧 ‎(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．‎ ‎(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．‎ ‎ 复数代数运算中常用的几个结论 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．‎ ‎(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i；‎ ‎(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；‎ ‎(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.‎ ‎ 辨明三个易误点 ‎(1)两个虚数不能比较大小．‎ ‎(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．‎ ‎(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．‎ ‎[学生用书P339(单独成册)]‎ ‎1．已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝(　　)‎ A．5－5i　　　　　　　 B.7－5i C．5＋5i D．7＋5i 解析：选C.(2＋i)(3＋i)＝6＋5i＋i2＝5＋5i，故选C.‎ ‎2．设i是虚数单位，若复数a＋(a∈R)是纯虚数，则a等于(　　)‎ A．－1 B.1‎ C．－2 D．2‎ 解析：选D.因为a＋＝a＋＝a＋＝a－2＋i是纯虚数，所以a＝2.故选D.‎ ‎3．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数＋z2在复平面内对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选A.因为z＝1＋i，所以＋z2＝＋(1＋i)2＝＋1＋2i＋i2＝＋2i＝1＋i，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故选A.‎ ‎4．(2018·福建基地综合测试)已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为(　　)‎ A．1＋2i B.1－2i C．2＋i D．2－i 解析：选D.＝(x－xi)＝1－yi，所以 解得x＝2，y＝1，所以x＋yi＝2＋i，其共轭复数为2－i故选D.‎ ‎5．(2018·安徽江南十校联考)若复数z满足z(1－i)＝|1－i|＋i，则z的实部为(　　)‎ A. B.－1‎ C．1 D． 解析：选A.由z(1－i)＝|1－i|＋i，得z＝＝＝＋i，故z的实部为，故选A.‎ ‎6．已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则t等于________．‎ 解析：因为z1＝3＋4i，z2＝t＋i，‎ 所以z1·z2＝(3t－4)＋(4t＋3)i，‎ 又z1·z2是实数，‎ 所以4t＋3＝0，所以t＝－.‎ 答案：－ ‎7．若复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则·z＝________．‎ 解析：因为z＝1＋2i，所以＝1－2i.‎ 所以·＝z·＋1＝5＋1＝6. ‎ 答案：6‎ ‎8．已知复数z满足＝i(其中i是虚数单位)，则|z|＝________．‎ 解析：由＝i知，z＋2＝zi－2i，即z＝，‎ 所以|z|＝＝＝2.‎ 答案：2‎ ‎9．计算：(1)；‎ ‎(2)＋；‎ ‎(3).‎ 解：(1)＝ ‎＝＝＝＋i.‎ ‎(2)＋＝＋＝＋＝－1.‎ ‎(3)＝＝＝ ‎＝－－i.‎ ‎10．如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：‎ ‎(1)、所表示的复数；‎ ‎(2)对角线所表示的复数；‎ ‎(3)B点对应的复数．‎ 解：(1)＝－，所以所表示的复数为－3－2i.‎ 因为＝，所以所表示的复数为－3－2i.‎ ‎(2)＝－，所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.‎ ‎(3)＝＋＝＋，‎ 所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，‎ 即B点对应的复数为1＋6i.‎ ‎1．已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝(　　)‎ A．－7 B.7‎ C．－4 D．4‎ 解析：选A.因为＝1＋＋＝－3－4i，‎ 所以－3－4i＝a＋bi，则a＝－3，b＝－4，‎ 所以a＋b＝－7，故选A.‎ ‎2．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1－z)·|＝________．‎ 解析：因为z＝－1－i，所以＝－1＋i，‎ 所以(1－z)·＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，‎ 所以|(1－z)·|＝|－3＋i|＝.‎ 答案： ‎3．已知复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，则实数m＝________．‎ 解析：z＝＝＝＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5.‎ 答案：－5‎ ‎4．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m(1＋i)＝1＋ni，则＝________．‎ 解析：由m(1＋i)＝1＋ni，得m＋mi＝1＋ni，即m＝n＝1，所以＝＝i2＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎5．已知复数z的共轭复数是，且满足z·＋2iz＝9＋2i.‎ 求z.‎ 解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.‎ 因为z·＋2iz＝9＋2i，‎ 所以(a＋bi)(a－bi)＋2i(a＋bi)＝9＋2i，‎ 即a2＋b2－2b＋2ai＝9＋2i，‎ 所以 由②得a＝1，代入①，得b2－2b－8＝0.‎ 解得b＝－2或b＝4.‎ 所以z＝1－2i或z＝1＋4i.‎ ‎6．若虚数z同时满足下列两个条件：‎ ‎①z＋是实数；‎ ‎②z＋3的实部与虚部互为相反数．‎ 这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．‎ 解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.‎ 设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，‎ z＋＝a＋bi＋ ‎＝a＋bi＋ ‎＝＋i.‎ 因为z＋是实数，所以b－＝0.‎ 又因为b≠0，所以a2＋b2＝5.①　　　　　　　　‎ 又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，‎ 所以a＋3＋b＝0.②　　　　　　　　‎ 由①②得解得 或 故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i.‎