人教A版选修1-13-3函数的最大（小）值与导数（含答案）

人教A版选修1-13-3函数的最大（小）值与导数（含答案）

§1．3．3 函数的最大（小）值与导数（1 课时） 【学情分析】： 这部分是在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法，然后讨论函数的极值， 由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法，最后在可以确定函数极值的前提下， 给出求可导函数的最大值与最小值的方法 【教学目标】： （1）使学生理解函数的最大值和最小值的概念，能区分最值与极值的概念 （2）使学生掌握用导数求函数最值的方法和步骤 【教学重点】： 利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 【教学难点】： 函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．熟练计算函数最值的步骤 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 复习引入 设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，f(x0)是函数 f(x)的一个极大 值 f(x0)，x0 是极大值点，则对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)____f(x0) 设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，f(x0)是函数 f(x)的一个极小 值 f(x0)，x0 是极小值点，则对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)____f(x0) 知识的巩固 概念对比 回顾以前所学关于最值的概念，形成对比认识： 函数最大值的概念： 设函数 y=f(x)的定义域为 I.如果存在实数 M 满足： （1）对于任意的_____，都有 f(x)___M （2）存在__________ ，使得_______ 则称 M 为函数 y=f(x)的最________值 函数最小值的概念： 设函数 y=f(x)的定义域为 I.如果存在实数 M 满足： （1）对于任意的_____，都有 f(x)___M （2）存在__________ ，使得_______ 则称 M 为函数 y=f(x)的最________值 思考：你觉得极值与最值的区别在哪里？ 让学生发现极值与 最值的概念区别， 概念辨析练习 （1）函数的极大（小）值一定是函数的最大（小）值，极 大（小）值点就是最大（小）值点 （2）函数的最大（小）值一定是函数的极大（小）值，最 大（小）值点就是极大（小）值点 （3）函数 y=f(x)在 x=a 处取得极值是函数 y=f(x)在 x=a 处 取得最值的____________（充要性） 通过练习深化他们 对函数取极值与最 值的区别 对极值与最值 概念的深化理 解 （1）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函 数的极值是比较极值点附近函数值得出的． （2）函数的最值是描述函数在整个定义域上的整体性质， 函数的极值是描述函数在某个局部的性质 （3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个， 而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 点评提高 闭区间上的函 数最值问题 （1）在闭区间上函数最值的存在性： 通过观察一系列函数在闭区间上的函数图像，并指出函数 的最值及相应的最值点： a.函数 y=-x+2 在区间[-3,2]的图像 b.函数 xxf 1)(  在区间[1/2，3]的图像 c.函数 2 2 3y x x   在区间[-3，0]的图像 d.函数图像如下： x 3 x 2 x 1 b a x O y 一般性总结： 在闭区间  ba, 上连续的函数 )(xf 在  ba, 上必有最大值 与最小值． （连续函数的闭区间定理——数学分析） （2）在闭区间上函数最值点的分析： 既然在闭区间  ba, 上连续的函数 )(xf 在  ba, 上必有最 值，那么最值点会是哪些点呢？ 通过上述图像的观察，可以发现最值点可能是闭区间的端 点，函数的极值点 有无其他可能？ 没有——反证法可说明 本节的主要内容及 主要结论，也是求函 数最值的理论根据 和方法指引 需要注意的地 方 判断正误： （1）在开区间 ( , )a b 内连续的函数 )(xf 一定有最大值与最 小值 （2）函数 )(xf 在闭区间 ba, 上一定有最大值与最小值 （3）函数 )(xf 在闭区间 ba, 上连续，是 )(xf 在闭区间  ba, 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件． 说明： 开区间 ),( ba 内的可导函数不一定有最值，若有唯一 的极值，则此极值必是函数的最值 （1）F；（2）F；（3） T 例题精讲 求闭区间上的连续函数的最值 对于教材例 5 的处理方式： 此题课本直接求出了极值和相应的极值点，个人认为还是 让学生经历一个求极值的过程： 先要求学生求函数 31( ) 4 43f x x x   在区间上的极值 及极值点 再提问学生是否可以马上下结论：最值是多少？ 务必让学生牢记：求函数的最值不光要求极值，还要计算 函数在闭区间端点处的函数值 整个例题的使用务必让学生体会求函数最值的方法与步骤 求闭区间上的连续函数的最值，务必勤加练习，方能熟练 掌握其方法，思维方法周密、不缺漏 除教材提供的练习外还可以补充以下练习： 3 2( ) 2 3 12 5f x x x x    在[0,3]上的最大值和最小值 ( ) 3sinf x x  在[ ,2 ]3   上的最大值和最小值 ( ) cos sinf x x x x  在[0,2 ] 上的最大值和最小值 ( ) 2 1f x x x   在[0,4]上的最大值和最小值 2 4( ) 1 xf x x   上的最大值和最小值 求闭区间上连 续函数最值的 方法与步骤总 结 设函数 )(xf 在 ba, 上连续，在 ( , )a b 内可导，则求 )(xf 在  ba, 上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求 )(xf 在 ( , )a b 内的极值； ⑵将 )(xf 的各极值与 )(af 、 )(bf 比较得出函数 )(xf 在  ba, 上的最值 课后练习： 1、函数 3 2( ) 2 3 12 5f x x x x    在区间 0,3 上的最大值和最小值分别为（ ） A 5，-15 B 5，-4 C -4，-15 D 5，-16 答案 D 2、函数 344  xxy 在区间 2,3 上的最小值为（ ） A 72 B 36 C 12 D 0 答案 D ' 3 ' 3 ' '4 4, 0,4 4 0, 1, 1 , 0; 1 , 0y x y x x x y x y         令 当 时 当 时 3、函数 x xy ln 的最大值为（ ） A 1e B e C 2e D 3 10 答 案 A 令 ' ' ' 2 2 (ln ) ln 1 ln 0,x x x x xy x ex x       ， 当 x e 时 ， ' 0y  ； 当 x e 时 ， ' 0y  ， 1( )y f e e  极大值 ，在定义域内只有一个极值，所以 max 1y e  4、函数 ( ) cos sinf x x x x  在 0,2 上的最大值是__________最小值是__________ 答案 5、函数 2cosy x x  在区间[0, ]2  上的最大值是 答案 36  ' 1 2sin 0, 6y x x     ，比较 0, ,6 2   处的函数值，得 max 36y   6、求函数 3 2( ) 3 9f x x x x a     （1）求函数 ( )y f x 的单调递减区间 （2）函数 ( )y f x 在区间  2,2 上的最大值是 20，求它在该区间上的最小值 答案： ' 2( ) 3 6 9 3( 3)( 1) 0f x x x x x          , 1  ，  3, 为减区间  1,3 为增区间 (2) 8 3 4 9 2 22f a a         > ( 2) 8 3 4 9 ( 2) 2f a a          所以 (2) 8 3 4 9 2 22 20f a a          a=-2,所以最小值为 ( 1) 1 3 1 9 ( 2) 2 16f          