- 2021-05-25 发布 |
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文档介绍
【数学】2018届一轮复习人教A版二项式定理学案
1.二项式定理 二项式定理 (a+b)n=________________________________________(n∈N*) 二项展开式的通项公式 Tk+1=________________,它表示第________项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C(k∈{0,1,2,…,n}) 2.二项式系数的性质 (1)C=________,C=________. C=________________. (2)C=________________. (3)n是偶数时,________________项的二项式系数最大;n是奇数时,________与________项的二项式系数相等且最大. (4)C+C+C+…+C=________. 【知识拓展】 二项展开式形式上的特点 (1)项数为________. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n. (3)字母a按________排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按________排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从________,C,一直到C,________. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Can-kbk是二项展开式的第k项.( ) (2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.( ) (4)在(1-x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项.( ) (5)若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则a7+a6+…+a1的值为128.( ) 1.(教材改编)(x-y)n的二项展开式中,第m项的系数是( ) A.C B.C C.C D.(-1)m-1C 2.(2016·四川)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为( ) A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4 3.(2016·云南部分名校1月统一考试)已知,那么n展开式中含x2项的系数为( ) A.130 B.135 C.121 D.139 4.在(-)n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是________. 题型一 二项展开式 命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数 例1 (1)(2016·全国乙卷)(2x+)5的展开式中,x3的系数是____________.(用数字填写答案) (2)(2015·课标全国Ⅰ)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60 命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数 例2 (1)(2015·课标全国Ⅱ)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a =____________. (2)(2016·山东)若5的展开式中x5的系数为-80,则实数a=________. 思维升华 求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k+1,代回通项公式即可. (1)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字填写答案) (2)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=________.(用数字填写答案) 题型二 二项式系数的和或各项系数的和的问题 例3 在(2x-3y)10的展开式中,求: (1)二项式系数的和; (2)各项系数的和; (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项系数和与偶数项系数和; (5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. 思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m (a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n (a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可. (2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=. (1)(2016·北京海淀区模拟)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8 (2)若(1-2x)2 016=a0+a1x+a2x2+…+a2 016x2 016,则++…+的结果是多少? 题型三 二项式定理的应用 例4 (1)设a∈Z且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,则a等于( ) A.0 B.1 C.11 D.12 (2)1.028的近似值是________.(精确到小数点后三位) 思维升华 (1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题,整除问题中要关注展开式的最后几项,而求近似值则应关注展开式的前几项. (2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理,注意选择合适的形式. (1)1-90C+902C-903C+…+(-1)k90kC+…+9010C除以88的余数是( ) A.-1 B.1 C.-87 D.87 (2)已知2n+2·3n+5n-a能被25整除,求正整数a的最小值. 15.二项展开式的系数与二项式系数 典例 (1)(2016·河北武邑中学期末)若(-)n展开式的各项系数绝对值之和为1 024,则展开式中含x项的系数为________. (2)(2016·河北邯郸一中调研)已知(x-m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x4的系数是-35,则a1+a2+…+a7=________. 错解展示 解析 (1)(+)n展开式中,令x=1可得4n=1 024,∴n=5, ∴(-)n展开式的通项Tk+1=(-3)k·C·, 令=1,得k=1. 故展开式中含x项的系数为C=5. (2)a1+a2+…+a7=C+C+…+C=27-1. 答案 (1)5 (2)27-1 现场纠错: 纠错心得: 提醒:完成作业 第十章 §10.3 答案精析 基础知识 自主学习 知识梳理 1.Can+Can-1b1+…+Can-kbk+…+Cbn Can-kbk k+1 2.(1)1 1 C+C (2)C (3)T+1 T T+1 (4)2n 知识拓展 (1)n+1 (3)降幂 升幂 (4)C C 思考辨析 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 考点自测 1.D 2.A 3.B 4.7 题型分类 深度剖析 例1 (1)10 (2)C 例2 (1)3 (2)-2 跟踪训练1 (1)-20 (2) 例3 解 设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,(*) 各项系数的和为a0+a1+…+a10,奇数项系数和为a0+a2+…+a10,偶数项系数和为a1+a3+a5+…+a9,x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9,x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10. 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. (1)二项式系数的和为C+C+…+C=210. (2)令x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1. (3)奇数项的二项式系数和为C+C+…+C=29, 偶数项的二项式系数和为C+C+…+C=29. (4)令x=y=1,得到a0+a1+a2+…+a10=1,① 令x=1,y=-1(或x=-1,y=1), 得a0-a1+a2-a3+…+a10=510,② ①+②得2(a0+a2+…+a10)=1+510, ∴奇数项系数和为; ①-②得2(a1+a3+…+a9)=1-510, ∴偶数项系数和为. (5)x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9=; x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10=. 跟踪训练2 (1)B [由题意得a=C, b=C, ∴13C=7C, ∴=, ∴=13,解得m=6, 经检验符合题意,故选B.] (2)解 当x=0时,左边=1,右边=a0,∴a0=1. 当x=时,左边=0,右边=a0+++…+, ∴0=1+++…+. 即++…+=-1. 例4 (1)D (2)1.172 解析 (1)512 012+a=(52-1)2 012+a=C·522 012-C·522 011+…+C×52·(-1)2 011+C·(-1)2 012+a, ∵C·522 012-C·522 011+…+C×52·(-1)2 011能被13整除且512 012+a能被13整除, ∴C·(-1)2 012+a=1+a也能被13整除,因此a的值为12. (2)1.028=(1+0.02)8≈C+C·0.02+C·0.022+C·0.023≈1.172. 跟踪训练3 (1)B [1-90C+902C-903C+…+(-1)k90kC+…+9010C=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C889+…+C88+1,∵前10项均能被88整除,∴余数是1.] (2)解 原式=4·6n+5n-a=4(5+1)n+5n-a =4(C5n+C5n-1+…+C52+C5+C)+5n-a =4(C5n+C5n-1+…+C52)+25n+4-a, 显然正整数a的最小值为4. 现场纠错系列 现场纠错 (1)-15 (2)1 解析 (1)在(+)n的展开式中,令x=1, 可得(-)n展开式的各项系数绝对值之和为4n=22n=1 024=210,∴n=5. 故(-)5展开式的通项为Tk+1=(-3)k·C·, 令=1,得k=1, 故展开式中含x项的系数为-15. (2)∵(x-m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7, 令x=0,∴a0=(-m)7. 又∵展开式中x4的系数是-35, ∴C·(-m)3=-35, ∴m=1.∴a0=(-m)7=-1. 在(x-m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中, 令x=1,得0=-1+a1+a2+…+a7, 即a1+a2+a3+…+a7=1. 纠错心得 和二项展开式有关的问题,要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数,是系数和还是二项式系数的和.查看更多