中考复习讲义三种构造辅助圆解题的模型

中考复习讲义三种构造辅助圆解题的模型

中考热点:三种构造辅助圆解题的模型 一、问题导读 ‎“圆”是一个完美的图形，在初中数学中具有丰富内容，其中大部分是与角度相关性质，如在圆周角中能轻易找到，等角和直角并与圆心角联系也比较紧密 ，通过在图形中构造辅助圆往往能获得意想不到的效果，如果题目中出现了以下条件：三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆；同一侧有相等的角，或者需要构造出相等的角时，作辅助圆；若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．在这些情况下，借助圆去解决一些问题都是非常好的一个选择，下面举例说明这三种构造辅助圆解题的模型应用。‎ 二、典例精析 类型1　根据共端点等线段模型，根据圆的定义构造圆 ‎1.如图，已知OA＝OB＝OC，且∠AOB＝k∠BOC，则∠ACB是∠BAC的（　　）‎ A．k/2倍 B．k倍 C．2k D．1/k ‎【分析】由OA＝OB＝OC，得到A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，则∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，而∠AOB＝k∠BOC，即可得到∠ACB＝k∠BAC．‎ ‎【解答】∵OA＝OB＝OC，∴A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，如图，‎ ‎∴∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，‎ 而∠AOB＝k∠BOC，即2∠ACB＝k2∠BAC，∴∠ACB＝k∠BAC．故选：B．‎ ‎2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（　　）‎ A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对 ‎【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．‎ ‎【解答】如图所示：当PE∥AB．‎ 在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴由勾股定理可求得AB＝10，‎ 由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．‎ ‎∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．‎ 又∵FP为定值，∴PD有最小值．‎ 又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．‎ ‎∴AF/AB=DF/BC，即4/10=DF/8，解得：DF＝3.2．‎ ‎∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：B．‎ ‎3.如图2所示,在凸四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=80°,则∠ADC的度数为____度　　‎ ‎【解析】∵AB＝BC＝BD，得到A，C，D在以B为圆心的同一个圆上，‎ ‎∴∠ACD=1/2∠ABD, ∠DAC=1/2∠DBC,‎ ‎∵∠ABC=∠ABD +∠DBC =80°,‎ ‎∴∠ACD+∠DAC=1/2∠ABD+1/2∠DBC=1/2(∠ABD+∠DBC)= 1/2×80°=40°,‎ ‎∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣40°＝140°．‎ 故答案为：140．‎ ‎4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，则∠BDC＝　 　度，∠DBC＝_____度．‎ ‎【解析】法一：∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D在以A为圆心的圆上，‎ ‎∵∠BAC＝25°，∴∠BDC＝1/2∠BAC＝12.5°，‎ ‎∵∠CAD＝75°，∴∠DBC＝1/2∠CAD＝37.5°．‎ 故答案为：12.5，37.5．‎ 法二：∵AB＝AC＝AD，‎ ‎∴∠ADB＝∠ABD，∠ACB＝∠ABC，∠ADC＝∠ACD，‎ ‎∵∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，‎ ‎∴∠ACB＝（180°﹣25°）÷2＝77.5°，∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝100°，‎ ‎∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣75°）÷2＝52.5°，‎ ‎∴∠ADB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，‎ ‎∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝52.5°﹣40°＝12.5°，‎ ‎∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝52.5°+77.5°＝130°，‎ ‎∴∠DBC＝180°﹣∠DCB﹣∠BDC＝180°﹣130°﹣12.5°＝37.5°．‎ ‎∴∠BDC＝12.5°，∠DBC＝37.5°．‎ 类型2 直角模型，依据直径所对的圆周角是直角，构造三角形的外接圆解题 ‎5. 如图所示，矩形ABCG与矩形CDEF全等，点BCD在一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使得∠APE为直角的点P的个数是_____个．‎ ‎【分析】∵∠APE的顶点P在线段BD上移动，且∠APE为直角，∴点P也在以AE为直径的⊙O的圆上运动；∴以AE为直径作⊙O，⊙O与BD的交点即为所求．‎ ‎【解答】∵点BCD在一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，∠APE为直角，∴点P在以AE为直径的⊙O的圆上运动，∴点P就是⊙O与BD的交点，由图示知，BD与⊙O有2个交点．故答案为：2．‎ ‎【点评】本题主要考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角．解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想．‎ ‎6. 已知：如图，直尺的宽度为2，A、B两点在直尺的一条边上，AB＝6，C、D两点在直尺的另一条边上．若∠ACB＝∠ADB＝90°，则C、D两点之间的距离为_____．‎ ‎【分析】由∠ACB＝∠ADB＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得A，B，C，D在以AB为直径的圆上，C，D即是此圆与直尺的交点，设E为AB中点，可得EC是半径为3，然后作EF⊥CD交CD于F，根据垂径定理可得：CD＝2CF，然后由勾股定理求得CF的长，继而求得答案．‎ ‎【解答】设E为AB中点，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴A，B，C，D在以AB为直径的圆上，‎ 连接DE，CE，则CE＝DE＝1/2AB＝3，作EF⊥CD交CD于F，∴CD＝2CF，‎ ‎∵AB∥CD，∴EF＝2，在Rt△CFE和Rt△DFE中，CF＝√5，∴CD＝2√5．故答案为：2√5．‎ ‎【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理以及勾股定理等知识．此题拿度适中，解题的关键是由∠ACB＝∠ADB＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，得到A，B，C，D在以AB为直径的圆上．‎ ‎7. 已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）‎ ‎（1）如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；‎ ‎（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据平行线等分线段定理得到点P是斜边的中点，再直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，要求线段CP的长，只需根据勾股定理求得AB的长．‎ ‎（2）若PQ与AC不平行，则要使△CPQ成为直角三角形．只需保证∠CPQ＝90°．根据直径所对的圆周角是直角，则分析以CQ为直径的圆和斜边AB的公共点的情况：一是半圆和AB相切；二是半圆和AB相交．首先求得相切时CQ的值，即可进一步求得相交时CQ的范围．‎ ‎【解答】（1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝13；‎ ‎∵Q是BC的中点，∴CQ＝QB；‎ 又∵PQ∥AC，∴AP＝PB，即P是AB的中点，∴Rt△ABC中，CP＝13/2．‎ ‎（2）当AC与PQ不平行时，只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形．‎ 以CQ为直径作半圆D，‎ ‎①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连接DM，则 DM⊥AB，且AC＝AM＝5，∴MB＝AB﹣AM＝13﹣5＝8；‎ 设CD＝x，则DM＝x，DB＝12﹣x；‎ 在Rt△DMB中，DB＝DM+MB，‎ 即（12﹣x）＝x+8，解之得x＝10/3，∴CQ＝2x＝20/3；‎ 即当CQ＝20/3且点P运动到切点M位置时，△CPQ为直角三角形．‎ ‎②当20/3＜CQ＜12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形 ‎③当0＜CQ＜20/3时，半圆D与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆D外，∠CPQ＜90°，此时△CPQ不可能为直角三角形．‎ ‎∴当20/3≤CQ＜12时，△CPQ可能为直角三角形．‎ ‎8.已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=ax+bx-2过点A,B,顶点为C,点P(m,n)为抛物线上一点,其中n<0.‎ ‎(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;‎ ‎(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围.‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，再利用x＝0得出y的值即可得出C点坐标．‎ ‎（2）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，进而得出m的取值范围；]‎ 解:(1) （1）∵抛物线y＝ax+bx﹣2（a≠0）过点A，B，‎ ‎∴a-b-2=0, 16a+4b-2=0，解得：a=1/2, b=-3/2，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y＝1/2x﹣3/2x﹣2，‎ 当x＝0时，y＝﹣2，∴C（0，﹣2）；‎ ‎(2)∵A(-1,0),B(4,0),抛物线与y轴的交点D的坐标为(0,-2),‎ 如图，抛物线的对称轴与x轴的交点为M(3/2,0),‎ ‎∵AD=1+2=5,AB=(4+1) =25,BD=4+2=16+4=20,则AD+BD=AB,‎ 由勾股定理的逆定理,知△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,以M为圆心,以MA为半径作圆,则☉M经过点D,则☉M内抛物线上的所有的点都可以是P点,且使∠APB为钝角,‎ 根据抛物线及圆的对称性,☉M与抛物线的另一个交点坐标为(3,-2),‎ 则满足条件的m的取值范围为:-1

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