2020-2021学年江苏省常州实验学校、田家炳中学两校联考八年级(上)期中数学试卷 解析版

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2020-2021学年江苏省常州实验学校、田家炳中学两校联考八年级(上)期中数学试卷 解析版

2020-2021 学年江苏省常州实验学校、田家炳中学两校联考八年 级(上)期中数学试卷 一、选择题(本大题共 8 小题,下列各题都给出代号为 A,B,C,D 的四个答案,其中有且只 有一个是正确的,每小题 2 分,共 16 分 1.日常生活中,我们会看到很多标志,在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中, 是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.下列各实数中是无理数的是( ) A. B.1.2012001 C.﹣0. D. 3.下列说法正确的是( ) A.2 的平方根是 B.(﹣4)2 的算术平方根是 4 C.近似数 35 万精确到个位 D.无理数 的整数部分是 5 4.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别是 a,b,c,下列条件不能判断△ABC 是直角 三角形的是( ) A.a=6,b=8,c=10 B.a=5,b=12,c=13 C.a=1,b=2,c=3 D.∠A:∠B:∠C=1:2:3 5.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AB=10,AD 是△ABC 的一条角平分线.若 CD=3, 则△ABD 的面积为( ) A.15 B.30 C.12 D.10 6.如图,已知 AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍然不能判定△ABC≌△ADC 的是 ( ) A.CB=CD B.∠B=∠D=90° C.∠BAC=∠DAC D.∠BCA=∠DCA 7.如图,在△ABC 中,AB 边的垂直平分线 DE,分别与 AB 边和 AC 边交于点 D 和点 E, BC 边的垂直平分线 FG,分别与 BC 边和 AC 边交于点 F 和点 G,又△BEG 的周长为 16, 且 GE=1,则 AC 的长为( ) A.16 B.15 C.14 D.13 8.在 Rt△ACB 中,∠C=90°,∠A=30°,在直线 BC 或直线 AC 上找到一点 P,使△PAB 是等腰三角形,则满足条件的点 P 的个数是( ) A.4 B.6 C.7 D.8 二、填空题(每小题 2 分,共 18 分) 9.16 的平方根是 . 10.已知△ABC≌△DEF,若∠B=40°,∠D=30°,则∠F= °. 11.如果等腰三角形中有一个角是 80°,那么底角是 度. 12.若 +|y+4|=0,则 xy 的立方根是 . 13.如图,已知△ABC 中,AB=AC,AD 平分∠BAC,E 是 AC 的中点,若 AB=6,则 DE 的长为 . 14.游泳员小明横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点 C 偏离欲达到点 B60 米,结 果他在水中实际游了 100 米,这条河宽为 米. 15.如图,已知△ABC 是等边三角形,点 B、C、D、E 在同一直线上,且 CG=CD,DF= DE,则∠E= 度. 16.如图,在长方形 ABCD 中,AB=8,AD=10,点 E 为 BC 上一点,将△ABE 沿 AE 折叠, 点 B 恰好落在线段 DE 上的点 F 处,则 BE 的长为 . 17.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=7cm,BC=3cm,CD 为 AB 边上的高,点 E 从点 B 出发,在直线 BC 上以 2cm 的速度移动,过点 E 作 BC 的垂线交直线 CD 于点 F, 当点 E 运动 s 时,CF=AB. 三、解答题(本大题共 9 小题,其中 18、20、21、24 每题 6 分,19、22、23、25 每题 8 分, 26 题 10 分,共 66 分) 18.(6 分)计算: ﹣( )2+ +( π ﹣3)0. 19.(8 分)求下列各题中的 x 的值. (1)3x3﹣20=1; (2)2(x+1)2=8. 20.(6 分)在边长为 1 的小正方形组成的 10×10 网格中(我们把组成网格的小正方形的顶 点称为格点),△ABC 的三个顶点都在格点上,请利用网格线和直尺画图. (1)在图中画出△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A′B′C′; (2)在图中找一点 O,使 OA=OB=OC; (3)在直线 1 上找一点 P,使 PA+PB 的长最短. 21.(6 分)如图,点 A、B、C、D 在一条直线上,EA=FB,AB=CD,EC=FD. 求证:(1)△AEC≌△BFD; (2)EA∥FB. 22.(8 分)如图,在△ABC 中,∠C=90°,D 是 BC 上一点(D 与 C 不重合). (1)尺规作图:过点 D 作 BC 的垂线 DE 交 AB 于点 E,作∠BAC 的平分线 AF 交 DE 于 点 F,交 BC 于点 G(保留作图痕迹,不用写作法); (2)在(1)的条件下,求证:△AEF 是等腰三角形. 23.(8 分)如图,AD 是△ABC 的中线,DE⊥AC 于点 E,DF 是△ABD 的中线,且 CE=1, DE=2,AE=4. (1)求证:∠ADC=90°; (2)求 DF 的长. 24.(6 分)如图,在△ABC 中,BA=BC,BE 平分∠ABC,AD⊥BC 于点 D,且 AD=BD, BE 与 AD 相交于 F,请探索线段 AB,BD,DF 之间的数量关系,并证明你的结论. 25.(8 分)如图 ① ,美丽的弦图,蕴含着四个全等的直角三角形. (1)弦图中包含了一大,一小两个正方形,已知每个直角三角形较长的直角边为 a.较 短的直角边为 b,斜边长为 c,结合图 ① ,试验证勾股定理; (2)如图 ② ,将这四个直角三角形紧密地拼接,形成飞镖状,已知外围轮廓(粗线)的 周长为 24,OC=3,求该飞镖状图案的面积; (3)如图 ③ ,将八个全等的直角三角形紧密地拼接,记图中正方形 ABCD,正方形 EFGH, 正方形 MNKT 的面积分别为 S1、S2、S3,若 S1+S2+S3=16,则 S2= . 26.(10 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,BC=6,点 D 为线段 BC 上的一 个动点,以 AD 为直角边向右作等腰 Rt△ADF,使 AD=AF,∠DAF=90°. (1)连结 CF,找出图中的一对全等三角形,并说明理由; (2)过 A 点作△ADF 的对称轴交直线 BC 于点 E,若 CE=1,求 BD 的长. 2020-2021 学年江苏省常州实验学校、田家炳中学两校联考八年 级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 8 小题,下列各题都给出代号为 A,B,C,D 的四个答案,其中有且只 有一个是正确的,每小题 2 分,共 16 分 1.日常生活中,我们会看到很多标志,在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中, 是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解. 【解答】解:A、是轴对称图形,本选项符合题意; B、不是轴对称图形,本选项不符合题意; C、不是轴对称图形,本选项不符合题意; D、不是轴对称图形,本选项不符合题意. 故选:A. 2.下列各实数中是无理数的是( ) A. B.1.2012001 C.﹣0. D. 【分析】根据无理数是无限不循环小数,可得答案. 【解答】解:A. 是分数,属于有理数,不符合题意; B.1.2012001 是有限小数,属于有理数,不符合题意; C.﹣0. 是无限循环小数,属于有理数,不符合题意; D. 是无理数,符合题意; 故选:D. 3.下列说法正确的是( ) A.2 的平方根是 B.(﹣4)2 的算术平方根是 4 C.近似数 35 万精确到个位 D.无理数 的整数部分是 5 【分析】根据平方根的定义,算术平方根的定义,近似数的定义及无理数的估算方法分 别计算可判定求解. 【解答】解:A.2 的平方根是± ,故错误; B.(﹣4)2 的算术平方根是 4,故正确; C.近似数 35 万精确到万位,故错误; D.∵4< <5,∴无理数 的整数部分是 4,故错误. 故选:B. 4.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别是 a,b,c,下列条件不能判断△ABC 是直角 三角形的是( ) A.a=6,b=8,c=10 B.a=5,b=12,c=13 C.a=1,b=2,c=3 D.∠A:∠B:∠C=1:2:3 【分析】根据勾股定理逆定理和三角形内角和定理即可判断. 【解答】解:A、∵a=6,b=8,c=10,∴a2+b2=c2,故△ABC 为直角三角形,不符合 题意; B、∵a=5,b=12,c=13,∴a2+b2=c2,故△ABC 为直角三角形,不符合题意; C、∵a=1,b=2,c=3,∴1+2=3,不能组成三角形,符合题意; D、∵∠A:∠B:∠C=1:2:3,且∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=90°,故△ABC 为 直角三角形,不符合题意; 故选:C. 5.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AB=10,AD 是△ABC 的一条角平分线.若 CD=3, 则△ABD 的面积为( ) A.15 B.30 C.12 D.10 【分析】过 D 点作 DE⊥AB 于 E,如图,根据角平分线的性质得 DE=DC=3,然后根据 三角形面积公式计算 S△ABD. 【解答】解:过 D 点作 DE⊥AB 于 E,如图, ∵AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC, ∴DE=DC=3, ∴S△ABD= ×10×3=15. 故选:A. 6.如图,已知 AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍然不能判定△ABC≌△ADC 的是 ( ) A.CB=CD B.∠B=∠D=90° C.∠BAC=∠DAC D.∠BCA=∠DCA 【分析】要判定△ABC≌△ADC,已知 AB=AD,AC 是公共边,具备了两组边对应相等, 故添加 CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据 SSS、SAS、HL 能判 定△ABC≌△ADC,而添加∠BCA=∠DCA 后则不能. 【解答】解:A、添加 CB=CD,根据 SSS,能判定△ABC≌△ADC,故 A 选项不符合题 意; B、添加∠B=∠D=90°,根据 HL,能判定△ABC≌△ADC,故 D 选项不符合题意; C、添加∠BAC=∠DAC,根据 SAS,能判定△ABC≌△ADC,故 B 选项不符合题意; D、添加∠BCA=∠DCA 时,不能判定△ABC≌△ADC,故 C 选项符合题意; 故选:D. 7.如图,在△ABC 中,AB 边的垂直平分线 DE,分别与 AB 边和 AC 边交于点 D 和点 E, BC 边的垂直平分线 FG,分别与 BC 边和 AC 边交于点 F 和点 G,又△BEG 的周长为 16, 且 GE=1,则 AC 的长为( ) A.16 B.15 C.14 D.13 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 EB=EA、GB=GC,根据三角形的周长公式 计算,得到答案. 【解答】解:∵DE 是 AB 边的垂直平分线, ∴EB=EA, ∵FG 是 BC 边的垂直平分线, ∴GB=GC, ∵△BEG 的周长为 16, ∴GB+GE+EB=16, ∴AE+GE+GC=16, ∴AC+GE+GE=16, ∵GE=1, ∴AC=16﹣2=14, 故选:C. 8.在 Rt△ACB 中,∠C=90°,∠A=30°,在直线 BC 或直线 AC 上找到一点 P,使△PAB 是等腰三角形,则满足条件的点 P 的个数是( ) A.4 B.6 C.7 D.8 【分析】根据题意,点 P 在直线 BC 或直线 AC 上,使△PAB 是等腰三角形,则三角形的 两底角相等,两腰相等. 【解答】解:如图:当以 B 为圆心,AB 长为半径作圆,交直线 BC 于两点,即为 P,交 直线 AC 于一点,此题符合条件的 P 点有 3 个; 同理:当以 A 为圆心,AB 长为半径作圆,交直线 AC 于两点,即为 P,交直线 BC 于一 点,此题符合条件的 P 点有 2 个; 作 AB 的垂直平分线交 AC 于点 P,交 BC 的延长线于 P,此题符合条件的 P 点有 2 个, AB 的垂直平分线和 BC 直线的交点与之前的交点重合. 故有 6 个点. 故选:B. 二、填空题(每小题 2 分,共 18 分) 9.16 的平方根是 ±4 . 【分析】根据平方根的定义,求数 a 的平方根,也就是求一个数 x,使得 x2=a,则 x 就 是 a 的平方根,由此即可解决问题. 【解答】解:∵(±4)2=16, ∴16 的平方根是±4. 故答案为:±4. 10.已知△ABC≌△DEF,若∠B=40°,∠D=30°,则∠F= 110 °. 【分析】先根据全等三角形的性质得到∠E=∠B=40°,然后根据三角形内角和求∠F 的度数. 【解答】解:∵△ABC≌△DEF, ∴∠E=∠B=40°, ∴∠F=180°﹣∠E﹣∠D=180°﹣40°﹣30°=110°. 故答案为 110. 11.如果等腰三角形中有一个角是 80°,那么底角是 80 或 50 度. 【分析】根据题意,分已知角是底角与不是底角两种情况讨论,结合三角形内角和等于 180°,分析可得答案. 【解答】解:根据题意,一个等腰三角形的一个角等于 80°, ① 当这个角是底角时,即该等腰三角形的底角的度数是 80°, ② 设该等腰三角形的底角是 x, 则 2x+80°=180°, 解可得,x=50°,即该等腰三角形的底角的度数是 50°; 故答案为:80 或 50. 12.若 +|y+4|=0,则 xy 的立方根是 ± . 【分析】先根据非负数的性质求出 x、y 的值,再代入算式,然后利用立方根的定义求解 即可. 【解答】解:∵ +|y+4|=0, ∴x2﹣2=0,y+4=0, 解得 x= ,y=﹣4, 当 x= 时, = =﹣ ; 当 x=﹣ 时, = ; 综上,xy 的立方根是± , 故答案为:± . 13.如图,已知△ABC 中,AB=AC,AD 平分∠BAC,E 是 AC 的中点,若 AB=6,则 DE 的长为 3 . 【分析】根据等腰三角形的性质可得 AD⊥BC,再根据在直角三角形中,斜边上的中线 等于斜边的一半可得答案. 【解答】解:∵AB=AC,AD 平分∠BAC, ∴AD⊥BC, ∴∠ADC=90°, ∵点 E 为 AC 的中点, ∴DE= AC=3. 故答案为:3. 14.游泳员小明横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点 C 偏离欲达到点 B60 米,结 果他在水中实际游了 100 米,这条河宽为 80 米. 【分析】从实际问题中找出直角三角形,利用勾股定理解答. 【解答】解:根据图中数据,运用勾股定理求得 AB= = =80m, 答:该河流的宽度为 80m. 故答案为:80. 15.如图,已知△ABC 是等边三角形,点 B、C、D、E 在同一直线上,且 CG=CD,DF= DE,则∠E= 15 度. 【分析】根据等边三角形三个角相等,可知∠ACB=60°,根据等腰三角形底角相等即 可得出∠E 的度数. 【解答】解:∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ACB=60°,∠ACD=120°, ∵CG=CD, ∴∠CDG=30°,∠FDE=150°, ∵DF=DE, ∴∠E=15°. 故答案为:15. 16.如图,在长方形 ABCD 中,AB=8,AD=10,点 E 为 BC 上一点,将△ABE 沿 AE 折叠, 点 B 恰好落在线段 DE 上的点 F 处,则 BE 的长为 4 . 【分析】先由矩形的性质得 BC=AD=10,CD=AB=8,∠B=∠C=90°,再由折叠的 性质得∠AFE=∠B=90°,FE=BE,AF=AB=8,则∠AFD=90°,DF=6,设 BE= FE=x,则 CE=10﹣x,DE=x+6,然后在 Rt△CDE 中,由勾股定理得出方程,解方程 即可. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴BC=AD=10,CD=AB=8,∠B=∠C=90°, 由折叠的性质得:∠AFE=∠B=90°,FE=BE,AF=AB=8, ∴∠AFD=90°, ∴DF= = =6, 设 BE=FE=x,则 CE=10﹣x,DE=x+6, 在 Rt△CDE 中,由勾股定理得:82+(10﹣x)2=(x+6)2, 解得:x=4, 即 BE 的长为 4, 故答案为:4. 17.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=7cm,BC=3cm,CD 为 AB 边上的高,点 E 从点 B 出发,在直线 BC 上以 2cm 的速度移动,过点 E 作 BC 的垂线交直线 CD 于点 F, 当点 E 运动 2 或 5 s 时,CF=AB. 【分析】 ① 当点 E 在射线 BC 上移动时,若 E 移动 5s,则 BE=2×5=10(cm),根据全 等三角形的判定和性质即可得到结论. ② 当点 E 在射线 CB 上移动时,若 E 移动 2s,则 BE′=2×2=4(cm),根据全等三角 形的判定和性质即可得到结论. 【解答】解: ① 如图,当点 E 在射线 BC 上移动时,若 E 移动 5s,则 BE=2×5=10(cm), ∴CE=BE﹣BC=10﹣3=7cm. ∴CE=AC, 在△CFE 与△ABC 中, , ∴△CEF≌△ABC(ASA), ∴CF=AB, ② 当点 E 在射线 CB 上移动时,若 E 移动 2s,则 BE′=2×2=4(cm), ∴CE′=BE′+BC=4+3=7(cm), ∴CE′=AC, 在△CF′E′与△ABC 中, , ∴△CF′E′≌△ABC(ASA), ∴CF′=AB, 综上所述,当点 E 在射线 CB 上移动 5s 或 2s 时,CF′=AB; 故答案为:2 或 5. 三、解答题(本大题共 9 小题,其中 18、20、21、24 每题 6 分,19、22、23、25 每题 8 分, 26 题 10 分,共 66 分) 18.(6 分)计算: ﹣( )2+ +( π ﹣3)0. 【分析】原式利用平方根、立方根性质,以及零指数幂法则计算即可求出值. 【解答】解:原式=3﹣7﹣ +1 =﹣3﹣ =﹣ . 19.(8 分)求下列各题中的 x 的值. (1)3x3﹣20=1; (2)2(x+1)2=8. 【分析】(1)先移项、合并,再两边都除以 3,最后根据立方根的定义求解即可; (2)先两边都除以 2,再根据平方根的定义求解即可. 【解答】解:(1)∵3x3﹣20=1, ∴3x3=21, 则 x3=7, ∴x= ; (2)∵2(x+1)2=8, ∴(x+1)2=4, 则 x+1=±2, ∴x=﹣1±2,即 x=1 或 x=﹣3. 20.(6 分)在边长为 1 的小正方形组成的 10×10 网格中(我们把组成网格的小正方形的顶 点称为格点),△ABC 的三个顶点都在格点上,请利用网格线和直尺画图. (1)在图中画出△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A′B′C′; (2)在图中找一点 O,使 OA=OB=OC; (3)在直线 1 上找一点 P,使 PA+PB 的长最短. 【分析】(1)依据轴对称的性质,即可得到△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A′B′C′; (2)依据 OA=OB=OC 可得,点 O 为△ABC 的三边的垂直平分线的交点; (3)依据“两点之间,线段最短”,可得 PA+PB 的长最小值等于 A'B 的长,连接 A'B, 与直线 l 的交点 P 即为所求. 【解答】解:(1)如图所示,△A′B′C′即为所求; (2)如图所示,作 AB 和 BC 的垂直平分线,交于点 O,则点 O 即为所求; (3)如图所示,连接 A'B,与直线 l 的交点 P 即为所求. 21.(6 分)如图,点 A、B、C、D 在一条直线上,EA=FB,AB=CD,EC=FD. 求证:(1)△AEC≌△BFD; (2)EA∥FB. 【分析】(1)证出 AC=BD,由 SSS 证明△AEC≌△BFD 即可; (2)由全等三角形的性质得∠EAC=∠FBD,即可得出结论. 【解答】证明:(1)∵AB=CD, ∴AB+BC=CD+BC, 即 AC=BD, 在△AEC 和△BFD 中, , ∴△AEC≌△BFD(SSS); (2)由(1)得:△AEC≌△BFD, ∴∠EAC=∠FBD, ∴EA∥FB. 22.(8 分)如图,在△ABC 中,∠C=90°,D 是 BC 上一点(D 与 C 不重合). (1)尺规作图:过点 D 作 BC 的垂线 DE 交 AB 于点 E,作∠BAC 的平分线 AF 交 DE 于 点 F,交 BC 于点 G(保留作图痕迹,不用写作法); (2)在(1)的条件下,求证:△AEF 是等腰三角形. 【分析】(1)根据要求作出图形即可. (2)证明∠FEA=∠EAF,推出 EF=EA,可得结论. 【解答】(1)解:图形如图所示. (2)证明:∴EF⊥BC, ∴∠BDE=∠C=90°, ∴EF∥AC, ∴∠EFA=∠CAF, ∵FA 平分∠BAC, ∴∠BAF=∠CAF, ∴∠EFA=∠EAF, ∴EF=EA, ∴△AEF 是等腰三角形. 23.(8 分)如图,AD 是△ABC 的中线,DE⊥AC 于点 E,DF 是△ABD 的中线,且 CE=1, DE=2,AE=4. (1)求证:∠ADC=90°; (2)求 DF 的长. 【分析】(1)利用勾股定理的逆定理,证明△ADC 是直角三角形,即可得出∠ADC 是直 角; (2)根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可. 【解答】证明:(1)∵DE⊥AC 于点 E, ∴∠AED=∠CED=90°, 在 Rt△ADE 中,∠AED=90°, ∴AD2=AE2+DE2=42+22=20, 同理:CD2=5, ∴AD2+CD2=25, ∵AC=AE+CE=4+1=5, ∴AC2=25, ∴AD2+CD2=AC2, ∴△ADC 是直角三角形, ∴∠ADC=90°; (2)∵AD 是△ABC 的中线,∠ADC=90°, ∴AD 垂直平分 BC, ∴AB=AC=5, 在 Rt△ADB 中,∠ADB=90°, ∵点 F 是边 AB 的中点, ∴DF= . 24.(6 分)如图,在△ABC 中,BA=BC,BE 平分∠ABC,AD⊥BC 于点 D,且 AD=BD, BE 与 AD 相交于 F,请探索线段 AB,BD,DF 之间的数量关系,并证明你的结论. 【分析】先由等腰三角形的性质得 BE⊥AC,则∠C+∠CBE=90°,再由直角三角形的 性质得∠C+∠DAC=90°,得∠CBE=∠DAC,然后证△BDF≌△ADC(ASA),得 DF =DC,进而得出结论. 【解答】解:AB=BD+DF,理由如下: ∵BA=BC,BE 平分∠ABC, ∴BE⊥AC, ∴∠BEC=90°, ∴∠C+∠CBE=90°, ∵AD⊥BC, ∴∠BDF=∠ADC=90°, ∴∠C+∠DAC=90°, ∴∠CBE=∠DAC, 即∠DBF=∠DAC, 在△BDF 和△ADC 中, , ∴△BDF≌△ADC(ASA), ∴DF=DC, ∵BC=BD+DC,AB=BC, ∴AB=BD+DF. 25.(8 分)如图 ① ,美丽的弦图,蕴含着四个全等的直角三角形. (1)弦图中包含了一大,一小两个正方形,已知每个直角三角形较长的直角边为 a.较 短的直角边为 b,斜边长为 c,结合图 ① ,试验证勾股定理; (2)如图 ② ,将这四个直角三角形紧密地拼接,形成飞镖状,已知外围轮廓(粗线)的 周长为 24,OC=3,求该飞镖状图案的面积; (3)如图 ③ ,将八个全等的直角三角形紧密地拼接,记图中正方形 ABCD,正方形 EFGH, 正方形 MNKT 的面积分别为 S1、S2、S3,若 S1+S2+S3=16,则 S2= . 【分析】(1)通过图中小正方形面积证明勾股定理; (2)可设 AC=x,根据勾股定理列出方程可求 x,再根据直角三角形面积公式计算即可 求解; (3)根据图形的特征得出四边形 MNKT 的面积设为 x,将其余八个全等的三角形面积一 个设为 y,从而用 x,y 表示出 S1,S2,S3,得出答案即可. 【解答】解:(1)S 小正方形=(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,另一方面 S 小正方形=c2﹣4× ab=c2 ﹣2ab, 即 b2﹣2ab+a2=c2﹣2ab, 则 a2+b2=c2. (2)24÷4=6, 设 AC=x,依题意有 (x+3)2+32=(6﹣x)2, 解得 x=1, ×(3+1)×3×4 = ×4×3×4 =24. 故该飞镖状图案的面积是 24. (3)将四边形 MTKN 的面积设为 x,将其余八个全等的三角形面积一个设为 y, ∵正方形 ABCD,正方形 EFGH,正方形 MNKT 的面积分别为 S1,S2,S3,S1+S2+S3=16, ∴S1=8y+x,S2=4y+x,S3=x, ∴S1+S2+S3=3x+12y=16, ∴x+4y= , ∴S2=x+4y= . 故答案为: . 26.(10 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,BC=6,点 D 为线段 BC 上的一 个动点,以 AD 为直角边向右作等腰 Rt△ADF,使 AD=AF,∠DAF=90°. (1)连结 CF,找出图中的一对全等三角形,并说明理由; (2)过 A 点作△ADF 的对称轴交直线 BC 于点 E,若 CE=1,求 BD 的长. 【分析】(1)先判断出∠BAD=∠CAF,即可得出结论; (2)由已知得出∠ABC=∠ACB=45°,分两种情况: ① 连接 EF,DE=5﹣BD,由(1) 知△ABD≌△ACF 得出 BD=CF,∠ABD=∠ACF=45°,则∠FCE=∠ACF+∠ACB= 90°,得出 CF2+CE2=EF2,由 AE 是△ADF 的对称轴得出 AE 垂直平分 DF,则 EF=DE, 推出 BD2+CE2=DE2,即 BD2+12=(5﹣BD)2,即可求出 BD 的长; ② 连接 EF,DE= 7﹣BD,由(1)知△ABD≌△ACF,得出 BD=CF,∠ABD=∠ACF=45°,则∠FCD =∠ACF+∠ACB=90°,∠FCE=90°,得出 CF2+CE2=EF2,由 AE 是△ADF 的对称 轴得出 AE 垂直平分 DF,则 EF=DE,推出 BD2+CE2=DE2,即 BD2+12=(7﹣BD)2, 即可求出 BD 的长. 【解答】解:(1)△ABD≌△ACF,理由如下: ∵∠BAC=∠DAF=90°, ∴∠BAD=∠CAF, 在△ABD 和△ACF 中, , ∴△ABD≌△ACF(SAS); (2)∵AB=AC,∠BAC=90°, ∴∠ABC=∠ACB=45°, 分两种情况: ① 连接 EF,如图 1 所示: DE=BC﹣CE﹣BD=6﹣1﹣BD=5﹣BD, 由(1)知:△ABD≌△ACF, ∴BD=CF,∠ABD=∠ACF=45°, ∴∠FCE=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°, ∴CF2+CE2=EF2, ∵AE 是△ADF 的对称轴, ∴AE 垂直平分 DF, ∴EF=DE, ∴BD2+CE2=DE2, 即:BD2+12=(5﹣BD)2, 解得:BD= ; ② 连接 EF,如图 2 所示: DE=BC﹣BD+CE=6﹣BD+1=7﹣BD, 由(1)知:△ABD≌△ACF, ∴BD=CF,∠ABD=∠ACF=45°, ∴∠FCD=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°, ∴∠FCE=90°, ∴CF2+CE2=EF2, ∵AE 是△ADF 的对称轴, ∴AE 垂直平分 DF, ∴EF=DE, ∴BD2+CE2=DE2, 即:BD2+12=(7﹣BD)2, 解得:BD= ; 综上所述,BD 的长为 或 .
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