中考数学专题训练 图形变换含解析

中考数学专题训练 图形变换含解析

专题训练 ‎ (图形变换)‎ ‎(120分钟　120分)‎ 一、选择题(本大题共20小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分)‎ ‎1.((2019·无锡中考)下列图形中,是中心对称图形的是　(　　)‎ ‎【解析】选C.A.不是中心对称图形,故不符合题意;‎ B.不是中心对称图形,故不符合题意;‎ C.是中心对称图形,故符合题意;‎ D.不是中心对称图形,故不符合题意.‎ ‎2.(2019·济南历城模拟)如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方体组成的,则这个几何体的俯视图是　(　　)‎ ‎【解析】选C.从上面看外边是一个矩形,里面是一个圆.‎ ‎3.在平面直角坐标系中,把△ABC经过平移得到△A′B′C′,若A(1,m),B(4,2),点A的对应点A′(3,m+2),则点B的对应点B′的坐标为　(　　)‎ A.(6,5)　　　　　　　B.(6,4)‎ C.(5,m) D.(6,m)‎ ‎【解析】选B.∵把△ABC经过平移得到△A′B′C′,‎ 点A(1,m)的对应点为A′(3,m+2),‎ ‎∴平移规律是:先向右平移2个单位,再向上平移2个单位,∵点B的坐标为(4,2),‎ ‎∴点B的对应点B′的坐标为(6,4).‎ ‎4.如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△DEF关于直线m:x=1对称,点M,N分别是这两个三角形中的对应点,如果点M的横坐标是a,那么点N的横坐标是　‎ A.-a B.-a+1‎ C.a+2 D.-a+2‎ ‎【解析】选D.设N点的横坐标为b,‎ 由△ABC与△DEF关于直线m:x=1对称,点M,N分别是这两个三角形中的对应点,得 ‎=1,解得b=2-a.‎ ‎5.(2019·绍兴中考)一块竹条编织物,先将其按如图所示绕直线MN翻转180°,再将它按逆时针方向旋转90°,所得的竹条编织物是　(　　)‎ ‎【解析】选B.绕MN翻折180°后,可得图(1),再逆时针旋转90°,可得图(2).‎ ‎6.如图,已知l1∥l2∥l3,DE=4,DF=6,那么下列结论正确的是　(　　)‎ A.BC∶EF=1∶1 B.BC∶AB=1∶2‎ C.AD∶CF=2∶3 D.BE∶CF=2∶3‎ ‎【解析】选B.∵l1∥l2∥l3,‎ ‎∴===,∴=,‎ ‎∴BC∶AB=1∶2.‎ ‎7.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及x,那么x的值　(　　)‎ A.只有1个 B.可以有2个 C.可以有3个 D.有无数个 ‎【解析】选B.∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直 角三角形的边长分别是3,4及x,∴x可能是斜边或4是斜边,∴x=5或.‎ ‎∴x的值可以有2个.‎ ‎8.如图,小正方形的边长均为1,则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是　‎ ‎【解析】选B.∵小正方形的边长均为1,‎ ‎∴△ABC三边分别为2,,,‎ 同理:A中各边的长分别为:,3,;‎ B中各边长分别为:,1,;‎ C中各边长分别为:1,2,;‎ D中各边长分别为:2,,;‎ ‎∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例,且相似比为,∴与 ‎△ABC相似.‎ ‎9.(2019·聊城模拟)一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是　(　　)‎ ‎【解析】选A.由于俯视图为三角形.主视图为两个长方形和左视图为长方形可得此几何体为三棱柱.‎ ‎10.如图所示格点图中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在格点上,以原点O为位似中心,相似比为,把△ABC缩小,则点C的对应点C′的坐标为　(　　)‎ A.‎ B.(2,6)‎ C.(2,6)或(-2,-6)‎ D.或 ‎【解析】选D.∵以原点O为位似中心,相似比为,把△ABC缩小,‎ ‎∴点C的对应点C′的坐标为(1,)或.‎ ‎11.(2019·连云港中考)如图,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=1∶2,则下列等式一定成立的是　(　　)‎ A.=‎ B.=‎ C.=‎ D.=‎ ‎【解析】选D.因为△ABC∽△DEF,‎ 所以=,A不一定成立;‎ ‎=1,B不成立;‎ ‎=,C不成立;‎ ‎=,D成立.‎ ‎12.如图,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,将△ABC绕点A逆时针旋转 ‎75°得到△AB′C′,过点B′作B′D⊥CA,交CA的延长线于点D,若AC=3,则AD的长为　(　　)‎ A.2　　 　B‎.3　‎　 　C.2　 　　D.3‎ ‎【解析】选B.∵△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴∠CAB=∠B=45°,‎ ‎∵AC=BC=3,∴AB=6,‎ ‎∵将△ABC绕点A逆时针旋转75°得到△AB′C′,‎ ‎∴∠B′AB=75°,AB′=6,‎ ‎∴∠DAB′=180°-75°-45°=60°,‎ ‎∵B′D⊥CA,∴∠DB′A=30°,∴AD=AB′=3.‎ ‎13.如图所示,AB是☉O的直径,D,E是半圆上任意两点,连接AD,DE,AE与BD相交于点C,要使△ADC与△ABD相似,可以添加一个条件.下列添加的条件中错误的是　‎ A.∠ACD=∠DAB 　　 B.AD=DE C.AD·AB=CD·BD 　　 D.AD2=BD·CD ‎【解析】选C.A.∵∠ACD=∠DAB,而∠ADC=∠BDA,‎ ‎∴△DAC∽△DBA,所以A选项的添加条件正确;‎ B.∵AD=DE,∴∠DAE=∠E,而∠E=∠B,‎ ‎∴∠DAC=∠B,∴△DAC∽△DBA,所以B选项的添加条件正确;‎ C.∵∠ADC=∠BDA,∴当DA∶DC=DB∶DA,即AD2=DC·BD时,△DAC∽△DBA,所以C选项的添加条件不正确;‎ D.∵∠ADC=∠BDA,∴当DA∶DC=DB∶DA,即AD2=DC·BD时,△DAC∽△DBA,所以D选项的添加条件正确.‎ ‎14.(2019·常德二模)已知:如图,在△ABC中,P为AB上一点,在下列四个条件中:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP·AB;④AB·CP=AP·CB,其中能满足△APC和△ACB相似的条件是　(　　)‎ A.①②④ B.①③④‎ C.②③④ D.①②③‎ ‎【解析】选D.因为∠A=∠A,所以根据两角相等,两个三角形相似,①、②能满足;根据两边对应成比例,夹角相等,两个三角形相似,③能满足;④是两边成比例,但夹角不一定相等,所以④不能满足.‎ ‎15.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的侧面积是(　　)‎ A.12πcm2　 　B.8πcm‎2　‎　 C.6πcm2　　 D.3πcm2‎ ‎【解析】选B.观察三视图知:该几何体为圆柱,高为‎4 cm,底面直径为‎2 cm,‎ 侧面积为:πdh=2π×4=8πcm2.‎ 则这个几何体的侧面积是8πcm2.‎ ‎16.如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿着射线BC的方向平移2个单位后,得到△A′B′C′,连接A′C,则△A′B′C的面积是　(　　)‎ A.4　　　　B‎.2‎　　　　C.4　　　　D.8‎ ‎【解析】选C.∵△ABC沿着射线BC的方向平移2个单位后,得到△A′B′C′,‎ ‎∴A′B′=AB=4,∠A′B′C′=∠B=60°,‎ B′C=6-2=4,‎ 过点A′作A′D⊥B′C于点D,‎ 则A′D=A′B′=×4=2,‎ ‎∴S△A′B′C=B′C·A′D=×4×2=4.‎ ‎17.如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,BC上的点,且DE∥AC,若S△BDE=4,S△CDE=16,则△ACD的面积为　(　　)‎ A.64 B‎.72 ‎ C.80 D.96‎ ‎【解析】选C.∵S△BDE=4,S△CDE=16,‎ ‎∴S△BDE∶S△CDE=1∶4,‎ ‎∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∵DE∥AC,‎ ‎∴△DBE∽△ABC,‎ ‎∴S△DBE∶S△ABC=1∶25,‎ ‎∴S△ABC=100,S△ACD=80.‎ ‎18.如图,△ABC为等边三角形,P为BC上一点,△APQ为等边三角形,PQ与AC相交于点M,则下列结论中正确的是(　　)‎ ‎①AB∥CQ;②∠ACQ=60°;③AP2=AM·AC;④若BP=PC,则PQ⊥AC.‎ A.只有①② B.只有①③‎ C.只有①②③ D.①②③④‎ ‎【解析】选D.如题图,‎ ‎∵△ABC和△APQ是等边三角形,‎ ‎∴AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠B=∠PAQ=60°,‎ ‎∴∠BAP=∠CAQ=60°-∠PAC,‎ 在△ABP和△ACQ中,‎ ‎∴△ABP≌△ACQ(SAS),‎ ‎∴∠ACQ=∠B=60°=∠BAC,故②正确,‎ ‎∴AB∥CQ,故①正确,‎ ‎∵∠APQ=∠ACP=60°,∠PAC=∠PAC,‎ ‎∴△APM∽△ACP,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AP2=AC·AM,故③正确,‎ ‎∵BP=PC,‎ ‎∴∠BAP=30°,‎ ‎∴∠PAC=30°,‎ ‎∵∠APQ=60°,‎ ‎∴∠AMP=90°,‎ ‎∴PQ⊥AC,故④正确.‎ ‎19.(2019·泸州中考)如图,矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中点,F在边BC上,且BF=2FC,AF分别与DE,DB相交于点M,N,则MN的长为　(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选B.过F作FH⊥AD于H,交ED于O,则FH=AB=2.‎ ‎∵BF=2FC,BC=AD=3,‎ ‎∴BF=AH=2,FC=HD=1,‎ ‎∴AF===2.‎ ‎∵OH∥AE,‎ ‎∴==,‎ ‎∴OH=AE=,‎ ‎∴OF=FH-OH=2-=,‎ ‎∵AE∥FO,∴△AME∽△FMO,‎ ‎∴===,‎ ‎∴AM=AF=,‎ ‎∵AD∥BF,∴△AND∽△FNB,‎ ‎∴==,‎ ‎∴AN=AF=,‎ ‎∴MN=AN-AM=-=.‎ ‎20.(2019·眉山中考)“今有井径五尺,不知其深,立五尺木于井上,从木末望水岸,入径四寸.问井深几何?”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题,它的题意可以由图获得,则井深为　(　　)‎ A.1.25‎尺 B.57.5尺 C.6.25尺 D.56.5尺 ‎【解析】选B.如图,由题意,得BC∥DE,从而△ABF∽△ADE,因此=,即=,解得BD=57.5,所以井深为57.5尺.‎ 二、填空题(本大题共4小题,满分12分,只要求填写最后结果,每小题填对得3分)‎ ‎21.(2019·临沂模拟)如图,在正方形方格中,阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案,再将方格内空白的一个小正方形涂黑,使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有________种.‎ ‎【解析】在1,2,3处分别涂黑都可得一个轴对称图形,故涂法有3种.‎ 答案:3‎ ‎22.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=30°,将△DCB绕点C顺时针旋转60°后,点D的对应点恰好与点A重合,得到△ACE,若AB=3,BC=4,则BD=________(提示:可连接BE).‎ ‎【解析】连接BE,如图所示,‎ ‎∵△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△ACE,AB=3,BC=4,∠ABC=30°,‎ ‎∴∠BCE=60°,CB=CE,AE=BD,‎ ‎∴△BCE是等边三角形,‎ ‎∴∠CBE=60°,BE=BC=4,‎ ‎∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=30°+60°=90°,‎ ‎∴AE===5,‎ 又∵AE=BD,∴BD=5,‎ 答案:5‎ ‎23.(2019·泰安一模)如图放置的△OAB1,△B‎1A1B2,△B‎2A2B3,…都是边长为2的等边三角形,点A在y轴上,点O,B1,B2,B3,…都在直线l上,则点B2019的坐标是________.‎ ‎【解析】过点B1作B‎1C⊥x轴,因为△B‎1A1B2,△B‎2A2B3,…都是边长为2的等边三角形,所以OB1=2,∠AOB1=60°,∠B1OC=30°,所以OC=OB1‎ cos30°=2×=,CB1=OB1sin30°=2×=1,所以B1的坐标为(,1),‎ 同理B2的坐标为(2,2),B3的坐标为(3,3),B4的坐标为(4,4),…,所以B2019的坐标是(2019,2019).‎ 答案:(2019,2019)‎ ‎24.(2019·衢州中考)如图,正△ABO的边长为2,O为坐标原点,A在x轴上,B在第二象限,△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚,经一次翻滚后得到△A1B1O,则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________,翻滚2019次后AB中点M经过的路径长为________.‎ ‎【解析】如图作B3E⊥x轴于点E,易知OE=5,B3E=,‎ 所以B3(5,),‎ 观察图象可知3次一个循环,一个循环点M的运动路径为++=π,因为2019÷3=672…1,‎ 所以翻滚2019次后AB中点M经过的路径长为 ‎672·π+π=π.‎ 答案:(5,)　π 三、解答题(本大题共5个小题,满分48分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)‎ ‎25.(8分)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点B的坐标为(1,0).‎ ‎(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B‎1C1,写出B1点的坐标.‎ ‎(2)画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B‎2C2,写出B2点的坐标.‎ ‎【解析】(1)如图所示,△A1B‎1C1即为△ABC关于x轴对称的图形,‎ B1点的坐标是(1,0).‎ ‎(2)如图所示,△A2B‎2C2即为△ABC绕原点O按逆时针旋转90°的三角形,‎ B2点的坐标是(0,1).‎ ‎26.(8分)如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.‎ ‎(1)求证:△COD是等边三角形.‎ ‎(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由.‎ ‎(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?‎ ‎【解析】(1)∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,‎ ‎∴CO=CD,∠OCD=60°,∴△COD是等边三角形.‎ ‎(2)当α=150°时,△AOD是直角三角形.‎ 理由如下:∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,∴△BOC≌△ADC,∴∠ADC=∠BOC=150°.‎ 又∵△COD是等边三角形,∴∠ODC=60°.‎ ‎∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°.‎ ‎∵∠BOC=150°,∠AOB=110°,∠COD=60°,‎ ‎∴∠AOD=360°-∠BOC-∠AOB-∠COD=360°-150°-110°-60°=40°,‎ ‎∴△AOD不是等腰直角三角形,‎ 即△AOD是直角三角形.‎ ‎(3)①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO.‎ ‎∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α,∠ADO=α-60°,‎ ‎∴190°-α=α-60°,∴α=125°;‎ ‎②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO.‎ ‎∵∠OAD=180°-(∠AOD+∠ADO)=180°-(190°-α+α-60°)=50°,∴α-60°=50°,∴α=110°;‎ ‎③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD.‎ ‎∵∠OAD=50°,∴∠AOD=190°-α,‎ ‎∴190°-α=50°,解得α=140°.‎ 综上所述,当α的度数为125°或110°或140°时,‎ ‎△AOD是等腰三角形.‎ ‎27.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上一点,且AD=BD.将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE.‎ ‎(1)求证:AE∥BC.‎ ‎(2)连接DE,判断四边形ABDE的形状,并说明理由.‎ ‎【解析】(1)由旋转性质得∠BAD=∠CAE,‎ ‎∵AD=BD,‎ ‎∴∠B=∠BAD,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴∠B=∠DCA;‎ ‎∴∠CAE=∠DCA,‎ ‎∴AE∥BC.‎ ‎(2)四边形ABDE是平行四边形,‎ 理由如下:‎ 由旋转性质得AD=AE,‎ ‎∵AD=BD,‎ ‎∴AE=BD,‎ 又∵AE∥BC,‎ ‎∴四边形ABDE是平行四边形.‎ ‎28.(10分)(2019·武汉中考)在△ABC中,P为边AB上一点.‎ ‎(1)如图,若∠ACP=∠B,求证:AC2=AP·AB.‎ ‎(2)若M为CP的中点,AC=2.‎ ‎①如图2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长;‎ ‎②如图3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,直接写出BP的长.‎ ‎【解析】(1)∵∠ACP=∠B,∠A=∠A,∴△APC∽△ACB,=,‎ ‎∴AC2=AB·AP.‎ ‎(2)①取AP中点G,连接MG.‎ 设AG=x,则PG=x,BG=3-x.‎ 易证△APC∽△GMB,　=.即=.‎ ‎∴-2x2+6x=2⇒x2-3x+1=0,∴x=.‎ ‎∵AB=3,∴AP=3±.AP=3+(舍),‎ ‎∴AP=3-,‎ ‎∴BP=.‎ ‎②BP=-1.‎ 过C作CH⊥AB于H,延长AB至E,使BE=BP,设BP=x,‎ CH=,HE=+x,EC2=()2+(+x)2,‎ 由△ECP∽△EAC.EC2=EP·EA,‎ ‎3+3+x2+2x=2x(x++1),‎ ‎∴x=-1.‎ ‎29.(12分)(2019·吉林中考)(1)如图①,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以点B为中心,把△ABC逆时针旋转90°,得到△A1BC1;再以点C为中心,把△ABC顺时针旋转90°,得到△A2B‎1C,连接C1B1,则C1B1与BC的位置关系为________.‎ ‎(2)如图②,当△ABC是锐角三角形,∠ABC=α(α≠60°)时,将△ABC按照(1)中的方式旋转α,连接C1B1,探究C1B1与BC的位置关系,写出你的探究结论,并加以证明.‎ ‎(3)如图③,在图②的基础上,连接B1B,若C1B1=BC,△C1BB1的面积为4,则△B1BC的面积为________.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)平行,∵把△ABC逆时针旋转90°,得到△A1BC1;再以点C为中心,把△ABC顺时针旋转90°,得到△A2B‎1C,‎ ‎∴∠C1BC=∠B1CB=90°,BC1=BC=CB1,∴BC1∥CB1,‎ ‎∴四边形BCB‎1C1是平行四边形,∴C1B1∥BC.‎ 答案:平行 ‎(2)C1B1∥BC.‎ 方法一:如图②-1,过点C1作C1D⊥BC于点D,过点B1作B‎1F⊥BC于点F.‎ 则C1D∥B‎1F,∠C1DB=∠B1FC=90°.‎ 由旋转可知,BC1=BC=CB1,∠C1BD=∠B1CF,‎ ‎∴△C1BD≌△B1CF(AAS),‎ ‎∴C1D=B‎1F,又C1D∥B‎1F,‎ ‎∴四边形C1DFB1是平行四边形,‎ ‎∴C1B1∥BC.‎ 方法二:如图②-2,过点C1作C1E∥B‎1C交BC于点E,‎ 则∠C1EB=∠B1CB.‎ 由旋转可知,BC1=BC=B‎1C,∠C1BC=∠B1CB,‎ ‎∴∠C1BC=∠C1EB,∴C1B=C1E,∴C1E=B‎1C,‎ 又C1E∥B‎1C,‎ ‎∴四边形C1ECB1是平行四边形.‎ ‎∴C1B1∥BC.‎ ‎(3)由(2)知C1B1∥BC,‎ 设C1B1与BC之间的距离为h,‎ ‎∵C1B1=BC,‎ ‎∴=,‎ ‎∵=B‎1C1·h,=BC·h,‎ ‎∴===,‎ ‎∵△C1BB1的面积为4,‎ ‎∴△B1BC的面积为6.‎ 答案:6‎