江苏省苏锡常镇四市2020届高三第二次教学情况调研数学试题 Word版含解析

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江苏省苏锡常镇四市2020届高三第二次教学情况调研数学试题 Word版含解析

- 1 - 江苏省 2019—2020 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二) 数学试题 第 I 卷(必做题,共 160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置 上.) 1.已知集合 A={1,2},B={﹣1,a},若 A  B={﹣1,a,2},则 a=_______. 【答案】1 【解析】 【分析】 根据集合 A B 中的元素,判断出 a 的值. 【详解】∵集合 A={1,2},B={﹣1,a},且 A  B={﹣1,a,2}, ∴a=1. 故答案为:1 【点睛】本小题主要考查根据并集的结果求参数,属于基础题. 2.若复数 z 满足(1﹣i)z=1+i,其中 i 是虚数单位,则 z 的实部为_______. 【答案】0 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算求得 z ,由此求得 z 的实部. 【详解】 2 2 2 1 (1 ) 1 2 1 (1 )(1 ) 1 i i i iz ii i i i           ,∴z 的实部为 0. 故答案为: 0 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算,考查复数实部的概念,属于基础题. 3.某校 100 名学生参加知识竞赛的成绩均在[50,100]内,将学生成绩分成[50,60),[60, 70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,得到如图所示的频率分布直方图,则成绩在[80, 90)内的学生人数是_______. - 2 - 【答案】30 【解析】 【分析】 用1减去成绩在 80,90 以外的学生的频率,将所得结果乘以100,求得成绩在 80,90 以内 的学生人数. 【详解】[1 (0.005 0.02 2 0.025) 10] 100 30       . 故答案为:30 【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图进行计算,属于基础题. 4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的 y 的值为_______. 【答案】﹣1 【解析】 【分析】 运行循环结构代码,由此计算出输出的 y 的值. 【详解】运行程序, 第一步:y=2,x=2; 第二步:y=﹣1,x=﹣1; 退出循环, 输出的 y 的值为﹣1. - 3 - 故答案为: 1 【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序代码计算输出结果,属于基础题. 5.某班推选一名学生管理班级防疫用品,已知每个学生当选是等可能的,若“选到女生”的 概率是“选到男生”的概率的 1 2 ,则这个班级的男生人数与女生人数的比值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的 1 2 ,求得男生和女生人数的比值. 【详解】∵“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的 1 2 , ∴男生人数与女生人数的比值为 2. 故答案为: 2 【点睛】本小题主要考查概率的概念,属于基础题. 6.函数 2 lny x x   的定义域为_______. 【答案】 0,2 【解析】 【分析】 由函数 2 lny x x   有意义,得到 2 0 0 x x     ,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,函数 2 lny x x   有意义,则满足 2 0 0 x x     ,解得 0 2x  , 所以函数 2 lny x x   的定义域为 0,2 . 故答案为 0,2 . 【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解,其中解答中根据函数的解析式,得出函数解 析式有意义的不等式组是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 7.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=4x的焦点是双曲线 2 2 2 14 x y a a   的顶点,则a=______. 【答案】1 - 4 - 【解析】 【分析】 先求得抛物线 2 4y x 的焦点坐标,根据抛物线的焦点是双曲线的顶点,求得 a 的值. 【详解】∵抛物线 y2=4x的焦点是(1,0), ∴双曲线 2 2 2 14 x y a a   的顶点为(1,0),故 a=1. 故答案为:1 【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点、双曲线的顶点,属于基础题. 8.已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS , 4 25S S , 2 2a  ,则 4a =_______. 【答案】2 或 8 【解析】 【分析】 根据已知条件进行化简,对 1 2a a 是否为零分成两种情况进行分类讨论,由此求得 4a 的值. 【详解】∵ na 为等比数列, 4 25S S ,∴ 1 2 3 4 1 25( )a a a a a a     , ∴ 3 4 1 24( )a a a a   , 当 1 2 0a a  时, 1q   ,此时 2 4 2 2a a q  ; 当 1 2 0a a  时, 2 4q  ,此时 2 4 2 2 4 8a a q    , 综上所述, 4a =2 或 8. 故答案为: 2 或8 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式和前 n 项和公式的基本量计算,属于基础题. 9.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 6,点 M 是对角线 A1C 上靠近点 A1 的三等分点,则三棱 锥 C—MBD 的体积为_______. - 5 - 【答案】24 【解析】 【分析】 利用顶点转化的方法,由 =C MBD M BCDV V — 计算出几何体的体积. 【详解】 2 3 1 1 1 2 1= 6 243 2 3 9C MBD M BCDV V BC AA      — . 故答案为: 24 【点睛】本小题主要考查三棱锥体积的求法,属于基础题. 10.已知定义在 R 上的奇函数 ( )f x 的周期为 2,且 x[0,1]时, 12 , 0 2( ) 1 1,  11 2 x a x f x bx xx          , 则 a+b=_______. 【答案】0 【解析】 【分析】 根据函数  f x 的奇偶性、周期性求得    1 , 0f f 的值,由此列方程,解方程求得 ,a b 的值, 进而求得 a b的值. 【详解】∵ ( )f x 为定义在 R 上的奇函数,∴ ( 1) (1)f f   ①, (0) 0f  , ∵函数 ( )f x 的周期为 2,∴ ( 1) (1)f f  ②,由①,②得 ( 1) (1) 0f f   ∴ 0(0) 2 0 1 01 1(1) 02 f a a a bb bf               . - 6 - 故答案为: 0 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性,属于基础题. 11.已知锐角 满足sin 2 2cos2 1    ,则 tan( )4   =_______. 【答案】2 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简已知条件,并转化为只含 tan 的表达式,由此求得 tan 的值,进而求 得 tan 4     的值. 【详解】∵sin 2 2cos2 1    , ∴ 2 2 2 22sin cos 2(cos sin ) sin cos 0          , 化简得 2 23sin 2sin cos cos 0      ,两边同时除以 2cos  得, 23tan 2tan 1 0    ,∵ 为锐角,∴ tan >0 解得 1tan 3   , ∴ 1 1tan tan 34tan( ) 214 1 tan tan 1 14 3           . 故答案为: 2 【点睛】本小题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,属 于基础题. 12.如图,在△ABC 中,∠ABC= 2  ,AB=1,BC=3,以 AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角 形 ACD,则 BD AC  =_______. - 7 - 【答案】4 【解析】 【分析】 取 AC 的中点 E ,连接 ,ED BE ,则 ED AC .根据平面向量的线性运算以及数量积运算, 将 BD AC  转化为 2 21 ( )2 BC BA  ,由此求得 BD AC  的值. 【详解】取 AC 中点 E,连接 ,ED BE ,则 ED AC ,则 1( ) ( ) ( )2BD AC BE ED AC BE AC BA BC BC BA                    2 2 2 21 1( ) (3 1 ) 42 2BC BA       . 故答案为: 4 【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算、数量积运算,考查了化归与转化的数学思想 方法,属于基础题. 13.在平面直角坐标系 xOy 中,AB 是圆 O:x2+y2=1 的直径,且点 A 在第一象限;圆 O1:(x ﹣a)2+y2=r2(a>0)与圆 O 外离,线段 AO1 与圆 O1 交于点 M,线段 BM 与圆 O 交于点 N,且 1 0OM O N    ,则 a 的取值范围为_______. 【答案】  2 2,4 【解析】 【分析】 根据 1 0OM O N    判断出四边形 1ONO M 为平行四边形,由此求得圆 1O 的方程以及 1AO 的 长,进而判断出 A 点在圆 2 2( ) 9x a y   上,根据圆 2 2( ) 9x a y   与圆 2 2 1x y  的位 - 8 - 置关系,求得 a 的取值范围. 【详解】 1 0OM O N     四边形 ONO1M 为平行四边形,即 ON=MO1=r=1, 所以圆 1O 的方程为 2 2 1x a y   , 且 ON 为△ABM 的中位线 AM=2ON=2 AO1=3, 故点 A 在以 O1 为圆心,3 为半径的圆上,该圆的方程为: 2 2( ) 9x a y   , 故 2 2( ) 9x a y   与 x2+y2=1 在第一象限有交点,即 2<a<4, 由  2 2 2 2 9 1 x a y x y       ,解得 2 8 0 2 22A ax aa     , 故 a 的取值范围为( 2 2 ,4). 故答案为: 2 2,4 【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系,考查化归与转化的数学思想方法,考查数形结 合的数学思想方法,属于难题. 14.已知 a,bR,a+b=t(t 为常数),且直线 y=ax+b 与曲线 exy x (e 是自然对数的底 数,e≈2.71828…)相切.若满足条件的有序实数对(a,b)唯一存在,则实数 t 的取值范围为 _______. - 9 - 【答案】  2 5, ee       【解析】 【分析】 设出切点坐标  0 0 0, exx x ,根据切点在切线和曲线上,以及导数与切线的斜率的关系列方程组, 由此求得 a b关于 0x 的表达式,构造函数  f x ,利用  'f x 研究  f x 的单调性,由此求 得t 的取值范围. 【详解】设切点为( 0x , 0 0 xx e ) ( 1)e xy x   , ∴ 0 0 0 20 0 0 0 ( 1)e e e x x x a x b x x ax b         , 0 2 0 0e ( 1)xa b x x t      有唯一解, 构造函数  2( ) 1xf x e x x    ( ) e ( 2)( 1)xf x x x     , x (  ,﹣2) ﹣2 (﹣2,1) 1 (1,  ) ( )f x ﹣ 0 ﹢ 0 ﹣ ( )f x 递减 2 5 e  递增 e 递减 注意到 2x   时   0f x  , 故 ( )f x t 有唯一解时 t 的取值范围为(  , 2 5 e  ) {e}. 故答案为:  2 5, ee       【点睛】本小题主要考查导数与切线问题,考查利用导数研究函数的单调性、极值,考查化 归与转化的数学思想方法,属于难题. - 10 - 二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.) 15.已知△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且 bsin2A=asinB. (1)求 A; (2)求 cos(B+ 6  )+sin(C+ 3  )的最大值. 【答案】(1) 3  (2)1 【解析】 【分析】 (1)利用正弦定理和二倍角公式化简已知条件,由此求得 cos A,进而求得 A 的大小. (2)用 B 表示出C ,将所求表达式化为 sin( )3B  ,结合三角函数最值的求法,求得所求最 大值. 【详解】(1)∵bsin2A=asinB,∴2bsinAcosA=asinB, ∴由正弦定理 sin sin a b A B  ,得 2 cosba A ab , ∵ 0ab  ,∴ 1cos 2A  , 又∵三角形内角 A (0 ) , ,∴A= 3  ; (2)由(1)A= 3  ,又 A+B+C= ,得 C= 2 3A B B     ,B 2(0 )3  , , cos(B+ 6  )+sin(C+ 3  ) cos cos sin sin sin( )6 6B B B      1 3sin cos sin( )2 2 3B B B    ∵B 2(0 )3  , ,∴ ( )3 3B     , ,∴当 =3 2B   , 即 6B  时, sin( )3B  取最大值 1, ∴cos(B+ 6  )+sin(C+ 3  )的最大值为 1. 【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形,考查三角形内角和定理,考查三角函数最值的 求法,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题. 16.已知在四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是菱形,且平面 A1ADD1⊥平面 ABCD,DA1=DD1, - 11 - 点 E,F 分别为线段 A1D1,BC 的中点. (1)求证:EF∥平面 CC1D1D; (2)求证:AC⊥平面 EBD. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析; 【解析】 【分析】 (1)连接 1CD ,通过证明四边形 1ED CF 是平行四边形,证得 1/ /EF CD ,由此证得 / /EF 平 面 1 1CC D D . (2)通过证明 DE AD ,结合面面垂直的性质定理证得 DE  平面 ABCD ,由此证得 DE AC ,由菱形的性质得到 BD AC ,从而证得 AC  平面 EBD . 【详解】(1)连结 CD1,四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,A1B1C1D1,BB1C1C 是平行四边形, ∴A1D1//B1C1,BC//B1C1,且 A1D1=B1C1,BC=B1C1, 又∵点 E,F 分别为线段 AD,BC 的中点, ∴ED1//FC,ED1=FC, 所以四边形 ED1CF 是平行四边形, ∴EF//CD1,又∵EF 平面 CC1D1D,CD 平面 CC1D1D, ∴EF//平面 CC1D1D. (2)四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,四边形 AA1D1D 是平行四边形, ∴AD//A1D1,在△DA1D1 中,DA1=DD1,点 E 为线段 A1D1 的中点, - 12 - ∴DE⊥A1D1,又∵AD//A1D1,∴DE⊥AD, 又∵平面 A1ADD1⊥平面 ABCD,平面 A1ADD1 平面 ABCD=AD,DE 平面 A1ADD1, ∴DE⊥平面 ABCD,又 AC  平面 ABCD,∴DE⊥AC, ∵底面 ABCD 是菱形,∴BD⊥AC, 又∵BDDE=D,BD,DE  平面 EBD, ∴AC⊥平面 EBD. 【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查线面垂直的证明,考查空间想象能力和逻辑 推理能力,属于中档题. 17.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2 2 2 2 1x y a b   (a>b>0)的离心率为 1 2 ,右焦点到右准 线的距离为 3. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 P(0,1)的直线 l 与椭圆 C 交于两点 A,B.己知在椭圆 C 上存在点 Q,使得四边形 OAQB 是平行四边形,求 Q 的坐标. 【答案】(1) 2 2 14 3 x y  (2)Q(1, 3 2 )或(﹣1, 3 2 ) 【解析】 【分析】 (1)结合椭圆离心率以及右焦点到右准线的距离,以及 2 2 2b a c  ,求得 2 2, ,a b c ,进而求 得椭圆C 的标准方程. (2)首先判断直线l 斜率不存在时,四边形OAQB 不可能是平行四边形,不符合题意.然后 设出直线 l 的方程 1y kx  ,联立直线l 的方程和椭圆方程,写出根与系数关系,求得Q 点 坐标并代入椭圆方程,由此求得 k 的值,进而求得Q 点坐标. 【详解】(1)设焦距为 2c, ∵椭圆 C 的离心率为 1 2 ,∴ 1 2 c a  ①, ∵右焦点到右准线的距离为 3,∴ 2 3a cc   ②, 由①,②解得 a=2,c=1,故 b2=a2﹣c2=3, - 13 - ∴椭圆 C 的标准方程为 2 2 14 3 x y  , (2)当直线 l 斜率不存在时,四边形 OAQB 不可能平行四边形,故直线 l 斜率存在 ∵直线 l 过点 P(0,1),设直线 l 为: 1y kx  , 设 A( 1x , 1 1kx  ),B( 2x , 2 1kx  ), 由四边形 OAQB 是平行四边形,得 Q( 1 2x x , 1 2( ) 2k x x  ) 2 2 1 3 4 12 0 y kx x y       ,化简得: 2 2(3 4 ) 8 8 0k x kx    , 1 2 2 2 1 2 2 8 8 3 4 82(3 4 ) 3 4 kx xk kx k x x k               , 1 2 2 2 8 6( ) 2 ( ) 23 4 3 4 kk x x k k k         , ∴Q( 2 8 3 4 k k   , 2 6 3 4k ),∵点 Q 在椭圆 C 上, ∴ 2 2 2 2 8 63( ) 4( ) 123 4 3 4 k k k     ,解得 1 2k   ,代入 Q 的坐标,得 Q(1, 3 2 )或(﹣1, 3 2 ). 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,考查运算求解 能力,属于中档题. 18.某地开发一片荒地,如图,荒地的边界是以 C 为圆心,半径为 1 千米的圆周.已有两条互 相垂直的道路 OE,OF,分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 A,B.现规划修建一条新路(由 线段 MP, PQ ,线段 QN 三段组成),其中点 M,N 分别在 OE,OF 上,且使得 MP,QN 所在直线 分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 P,Q, PQ 所对的圆心角为 6  .记∠PCA= 2 (道路宽 度均忽略不计). - 14 - (1)若 5 12   ,求 QN 的长度; (2)求新路总长度的最小值. 【答案】(1)QN 的长度为 1 千米(2) 2 3+ 6  【解析】 【分析】 (1)连接 , ,CB CN CM ,通过切线的几何性质,证得四边形 BCQN 是正方形,由此求得QN 的长度. (2)用 表示出线段 MP , PQ ,线段QN 的长,由此求得新路总长度的表达式,利用基本 不等式求得新路总长度的最小值. 【详解】(1)连接 CB,CN,CM,OM⊥ON,OM,ON,PM,QN 均与圆 C 相切 ∴CB⊥ON,CA⊥OM,CP⊥MP,CQ⊥NQ,∴CB⊥CA ∵∠PCA= 2 5 6  ,∠PCQ= 6  ,∴∠QCB= 52 6 6 2 2         , 此时四边形 BCQN 是正方形,∴QN=CQ=1, 答:QN 的长度为 1 千米; - 15 - (2)∵∠PCA= 2 ,可得∠MCP= ,∠NCQ= 2 3   , 则 MP= tan , PQ 6  ,NQ= 2tan tan2 tan 33tan( ) 23 3 tan 11 tan tan3           设新路长为 ( )f  ,其中  ( 6  , 2  ),即 3tan 3   ∴ tan 3 3 4 2 3( ) tan tan6 3 3 63 tan 1 3tan 3 f                  , 3 4 2 32 tan 2 3+3 3 6 63tan 3               ,当 tan 3  时取“=”, 答:新路总长度的最小值为 2 3+ 6  . 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查三角函数在实际生活中的应用,考查基 本不等式求最值,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题. 19.已知各项均为正数的数列 na 的前 n 项和为 nS , 1 2a  ,且对任意 n N , 1 1 12 2n n n n n na S a S a a     恒成立. (1)求证:数列 2n n S a       是等差数列,并求数列 na 的通项公式; (2)设 4 3n nb a n   ,已知 2b , ib , jb (2<i<j)成等差数列,求正整数 i,j. 【答案】(1)证明见解析; 2n na  (2)i=4,j=5 【解析】 【分析】 (1)根据题目所给递推关系式证得数列 2n n S a       是等差数列,由此得到 2 2n nS a  .利用 1 1 , 1 , 2n n n S na S S n     求得数列 na 的通项公式. (2)由(1)求得 nb 的表达式,由 2 , ,i jb b b 成等差数列列方程,分成 2j i  和 1j i  两种 情况进行分类讨论,由此求得整数 ,i j . - 16 - 【详解】(1)∵ 1 1 12 2n n n n n na S a S a a     , ∴ 1 1( 2) ( 2)n n n na S a S    , ∵数列 na 各项均为正数,∴ 1 0n na a   ,等式两边同时除以 1n na a  , 得 1 1 2 2 0n n n n S S a a      ,故数列 2n n S a       是等差数列,首项为 2,公差为 0, ∴ 2 2n n S a   ,即 2 2n nS a  ①, 2 22 2S a  ,求得 2 4a  , ∴ 1 12 2n nS a   (n≥2)②,①﹣②得 12 2n n na a a   ,即 12n na a  , 又 2 14 2a a  ,∴对任意 n N ,数列 na 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列 故数列 na 的通项公式为 2n na  ; (2) 4 3 2 4 3n n nb a n n      , ∴ 2 9b  , 2 4 3i ib i   , 2 4 3j jb j   , ∵ 2b , ib , jb (2<i<j)成等差数列, ∴ 2(2 4 3) 9 2 4 3i ji j      , 变形得 1 1 1 2 3 2 12 2 j i i i i j        (*), ①当 2j i  时, 1 12 1 12 j i i j     , 令 1 2 3 2i i ic   (i≥3),则 1 1 2 1 2 3 5 2 02 2 2i i i i i i i ic c         (i≥3), ∴数列 ic 单调递减,故 (max) 3 3 14ic c   , ∴ 1 2 3 12i i    , 1 12 1 12 j i i j     ,故 2j i  时*式不成立, ②当 1j i  时,*式转化为 0 1 1 2 3 12 12 2i i i i       ,解得 i=4,故 j=5. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式,考查等差中项的性质,考查数 列的单调性,考查化归与转化的数学思想方法,考查分类讨论的数学思想方法,属于难题. 20.已知函数 ( ) ( 1) lnf x m x x   , 2( ) ( 2) ( 3) 2g x m x n x     ,m,nR. (1)当 m=0 时,求函数 ( )f x 的极值; - 17 - (2)当 n=0 时,函数 ( ) ( ) ( )F x g x f x  在(0,  )上为单调函数,求 m 的取值范围; (3)当 n>0 时,判断是否存在正数 m,使得函数 ( )f x 与 ( )g x 有相同的零点,并说明理由. 【答案】(1)函数 ( )f x 有极大值﹣1,无极小值;(2)m 的取值范围为{0};(3)存在正数 m, 使得函数 ( )f x 与 ( )g x 有相同的零点,详见解析. 【解析】 【分析】 (1)当 0m  时,利用  'f x 研究函数  f x 的单调性,由此求得函数  f x 的极值. (2)当 0n  时,由  ' 0F x  或  ' 0F x  恒成立,将 m 分成 0 2m  , 0m  , 2m  和 0m  四种情况进行分类讨论,由此求得 m 的取值范围. (3)设 0x 为相同的零点,由此得到 0 0 2 0 0 ( 1) ln 0 ( 2) ( 3) 2 0 m x x m x n x          ,进而得到 0 0 0 lnx xm x  ①, 2 0 0 0 0ln ( 3) 2 0x x x n x      ②.通过构造函数法,结合零点存在性定 理,证得①②能同时成立,由此证得存在符合题意的正数 m . 【详解】(1)当 m=0 时, ( ) lnf x x x   , ∴ 1( ) 1f x x     ,令 ( ) 0f x  ,解得 x=1,列表如下: x (0,1) 1 (1,  ) ( )f x + 0 - ( )f x 单调递增 单调递减 ∴当 x=1 时,函数 ( )f x 有极大值﹣1,无极小值; (2)当 n=0 时,函数 2( ) ( ) ( ) ( 2) ( 4) ln 2F x g x f x m x m x x        ∴ 22( 2) ( 4) 1 (2 1)[( 2) 1]( ) m x m x x m xF x x x          , - 18 - 要使函数 ( ) ( ) ( )F x g x f x  在(0,  )上为单调函数, 则对 x (0,  ), ( ) 0F x ≥ 或 ( ) 0F x  恒成立, 令 ( ) (2 1)[( 2) 1]g x x m x    , ( ) 0g x  或 ( ) 0g x  恒成立 ①当 0<m<2 时,x(0,1 2 ) ( 1 2 m , )时, ( ) 0g x ,x( 1 2 , 1 2 m )时, ( ) 0g x , 不符题意; ②当 m<0 时,x(0, 1 2 m ) ( 1 2 , )时, ( ) 0g x ,x( 1 2 m ,1 2 )时, ( ) 0g x , 不符题意; ③当 m≥2 时, x(0, 1 2 )时, ( ) 0g x , x( 1 2 ,  )时, ( ) 0g x ,不符题意; ④当 m=0 时, 2( ) (2 1) 0g x x    ,此时 ( ) 0F x  恒成立, 函数 ( ) ( ) ( )F x g x f x  在(0,  )上单调递减,符合题意, 综上所述,m 的取值范围为{0}; (3)∵函数 ( )f x 与 ( )g x 有相同的零点,不妨设 0x 为相同的零点 则 0 0 2 0 0 ( 1) ln 0 ( 2) ( 3) 2 0 m x x m x n x          , 得 0 0 0 lnx xm x  ①, 2 0 0 0 0ln ( 3) 2 0x x x n x      ②, 由(1)知 ( ) ln (1) 1 0f x x x f       ,故 0 0ln 0x x  , ∴ 0 0 0 ln 0x xm x   , 令 2 0 0 0 0 0( ) ln ( 3) 2h x x x x n x      , 又 (1) 0h n  , ( +3) ( 3)ln( 3) 2 0h n n n      , 故当 0x (1,n+3)时, 0( ) 0h x  ,②式有解,且能满足 0 0 0 ln 0x xm x   , ∴存在正数 m,使得函数 ( )f x 与 ( )g x 有相同的零点. - 19 - 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值,考查函数零点问题的研究,考 查分类讨论的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题. 第 II 卷(附加题,共 40 分) 【选做题】本题包括 A,B,C 三小题,请选定其中两题作答,每小题 10 分共计 20 分,解答 时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 21.已知点 M(2,1)在矩阵 A= 1       2 a b      对应的变换作用下得到点 N(5,6),求矩阵 A 的特征值. 【答案】矩阵 A 的特征值为 4 或﹣1 【解析】 【分析】 首先根据矩阵变换列方程组,解方程组求得 ,a b 的值,也即求得矩阵 A ,然后根据特征值的 求法,求得矩阵 A 的特征值. 【详解】∵点 M(2,1)在矩阵 A= 1       2 a b      对应的变换作用下得到点 N(5,6), ∴ 1    2 5    2 1 6 a b                 ,则 2 5 2 2 6 a b      ,解得 3 2 a b    ,∴A= 1   3 2   2      , 1     3( ) ( 1)( 2) 62       2f E A              ,令 ( ) 0f   , 得 2 3 4 0    ,解得 1 4  , 2 1   , ∴矩阵 A 的特征值为 4 或﹣1. 【点睛】本小题主要考查矩阵特征值的求法,考查矩阵变换,属于基础题. 22.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 2cos sin x y      ( 为参数).以原点 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 sin( ) 104     . (1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)点 P 是曲线 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离的最小值. 【答案】(1) 2 2 14 x y  ; 2 5 0x y   (2) 10 2 【解析】 - 20 - 【分析】 (1)利用 2 2sin cos 1   求得曲线C 的普通方程,由直角坐标和极坐标转化公式,求得 直线 l 的直角坐标方程. (2)设出 P 点的坐标,根据点到直线的距离公式,求得 P 到直线 l 的距离的表达式,根据三 角函数最值的求法,求得 P 到直线l 的距离的最小值. 【详解】(1)由题意,曲线 C 的普通方程为 2 2 14 x y  , 由 sin( ) 104     得 2 2sin cos 102 2      , 化简得直线 l 的普通方程为 2 5 0x y   . (2)设 P(2cos ,sin ),则 P 到直线 l 的距离 2cos sin 2 5 5 sin( ) 2 5 2 5 5 sin( ) 2 2 2 d              所以当sin( )  =1 时,dmin= 10 2 所以 P 到直线 l 的距离的最小值为 10 2 . 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程,考查极坐标方程转化为直角坐标方程,考 查利用参数求最值,属于中档题. 23.已知 a,b,c 是正数,求证:对任意 xR,不等式 2 1 b c ax x a b c       恒成立. 【答案】证明见解析; 【解析】 【分析】 先由基本不等式求得 b c a a b c   的最小值,然后根据绝对值三角不等式证得不等式成立. 【详解】对于正数 a,b,c,由均值不等式得 33 3b c a b c a a b c a b c       , 当且仅当 a=b=c 时取“=”, 任意 xR ,由绝对值不等式得 2 1 2 1 ( 2) ( 1) 3x x x x x x            - 21 - 当且仅当 x≤﹣1 时取“=”, ∴对任意 xR ,都有不等式 2 1 b c ax x a b c       成立. 【点睛】本小题主要考查基本不等式和绝对值三角不等式,属于中档题. 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分,解答时应写出文字说明,证明过程 或演算步骤. 24.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AB=2,AD=AP=3,点 M 是棱 PD 的中点. (1)求二面角 M—AC—D 的余弦值; (2)点 N 是棱 PC 上的点,已知直线 MN 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 3 22 22 ,求 PN PC 的值. 【答案】(1) 2 17 17 (2) 1 4 PN PC  【解析】 【分析】 (1)建立空间直角坐标系,根据平面 ACD 和平面 MAC 的法向量,计算出二面角 M AC D  的余弦值. (2)设 ( (0,1))PN PC    ,由此求得 MN  ,根据直线 MN 与平面 ABCD 所成角的正弦 值列方程,解方程求得  的值,进而求得 PN PC . 【详解】(1)以{ AB  , AD  , AP  }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 A—xyz, - 22 - 则各点的坐标为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,3,0),D(0,3,0),P(0,0,3),M(0, 3 2 , 3 2 ), AP  =(0,0,3), AC  =(2,3,0), AM  =(0, 3 2 , 3 2 ) 因为 PA⊥平面 ABCD,所以平面 ACD 的一个法向量为 AP  =(0,0,3), 设平面 MAC 的法向量为 n  =(x,y,z),所以 0 0 n AC n AM         , 即 2 3 0 3 3 02 2 x y y z     ,取 n  =(3,﹣2,2), ∴cos< AP  , n  >= AP 6 2 17= = 173 9+4+4AP n n       , ∴二面角 M—AC—D 的余弦值为 2 17 17 ; (2)设 ( (0,1))PN PC    ,其中 (2,3, 3)PC   , ∴ 3 3 3 3(0, , ) (2 ,3 , 3 ) (2 ,3 , 3 )2 2 2 2MN MP PN                  , ∵平面 ABCD 的一个法向量为 AP  =(0,0,3), ∴ 2 2 2 33( 3 )2cos , 3 33 4 (3 ) ( 3 )2 2 AP MNAP MN AP MN                    - 23 - 2 33 2 922 18 2         ∵直线 MN 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 3 22 22 , ∴ 2 33 3 222 = 22922 18 2        ,∴ 2 2 3( 3 ) 92 =9 2222 18 2        , 化简得 4 1  ,即 1 4   ,∴ 1 4 PN PC  . 【点睛】本小题主要考查面面角的求法,考查根据线面角求线段长度的比值,考查空间想象 能力,考查运算求解,属于中档题. 25.已知数列 na 中, 1 6a  , 2 1 1 33n n na a a    (n N ). (1)分别比较下列每组中两数的大小:① 2a 和 36 2  ;② 3a 和 336 ( )2  ; (2)当 n≥3 时,证明: 2 2 3( ) 2( ) 36 2 n i ni i a    . 【答案】(1)① 2a = 36 2  ;② 3a > 336 ( )2  (2)证明见解析; 【解析】 【分析】 (1)根据递推关系式求得 2 3,a a ,比较出①②中两数的大小关系. (2)首先利用数学归纳法证明当 n≥3 时, ( 1) 236 ( )2 n n na    ,然后利用放缩法,证得所要证 明的不等式成立. 【详解】(1)①∵ 2 2 1 6 6 3 93a      , 36 92   ,∴ 2a = 36 2  ; ②∵ 2 3 1 9 9 3 213a      , 33 816 ( )2 4   ,∴ 3a > 336 ( )2  ; (2)先用数学归纳法证明:当 n≥3 时, ( 1) 236 ( )2 n n na    , - 24 - 当 n=3 时, 3a > 336 ( )2  ; 假设当 n=k(k≥3,k N )时,结论成立,即 ( 1) 236 ( )2 k k ka    , 当 n=k+1 时, ( 1) ( 1) 2 22 2 1 1 1 3 33 (6 ( ) ) 6 ( ) 33 3 2 2 k k k k k k ka a a            ( 1) ( 1) 22 21 3 3(6 ( ) ) 6 ( )3 2 2 k k k k      其中 ( 1) ( 1) 22 2 ( 3) 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) 2 2 2 1 3 3(6 ( ) ) 6 ( ) 33 2 2 2( ) 123 3 36 ( ) 6 ( ) 6 ( )2 2 2 k k k k k k k k k k k k k a                 , ∴ ( 1) 2 1 36 ( )2 k k ka     ,∴当 n=k+1 时,结论也成立, 综上所得,当 n≥3 时, ( 1) 236 ( )2 n n na    , 从而,当 n≥3 时, 2 13( ) ( )6 2 nn na  , 则 2 2 2 3 1 2 3 12 2 2 3 3 3 3 3 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 6 2 2 2 2 2 2 2 n i n ni i a a                , 131 ( )3 32 2( ) 332 21 2 n n       , ∴当 n≥3 时, 2 2 3( ) 2( ) 36 2 n i ni i a    . 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的项,考查数学归纳法证明不等式,考查放 缩法证明不等式,考查等比数列前 n 项和,属于难题. - 25 -
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