【数学】2019一轮复习苏教版回归教材纠错例析帮你减少高考失分点5学案

【数学】2019一轮复习苏教版回归教材纠错例析帮你减少高考失分点5学案

‎5.立体几何　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．空间几何体表面积和体积的求法 几何体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，求几何体的体积常用公式法、割补法、等积变换法．‎ ‎[问题1]　底面边长为2，高为1的正三棱锥的表面积为________．‎ 答案　3 解析　由题意作出图形如图．‎ ‎∵三棱锥P－ABC是正三棱锥，顶点P在底面上的射影D是底面的中心，取BC的中点F，连结PF，DF，PD.‎ 在△PDF中，PD＝1，DF＝，‎ ‎∴PF＝ ＝，‎ ‎∴棱锥的侧面积S侧＝3××2×＝2，‎ ‎∵底面积为，∴表面积为3.‎ ‎2．空间平行问题的转化关系 平行问题的核心是线线平行，证明线线平行的常用方法有：三角形的中位线、平行线分线段成比例(三角形相似)、平行四边形等．‎ ‎[问题2]　下列命题正确的是________．(填序号)‎ ‎①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；‎ ‎②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行；‎ ‎③如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b；‎ ‎④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.‎ 答案　④‎ ‎3．空间垂直问题的转化关系 垂直问题的核心是线线垂直，证明线线垂直的常用方法有：‎ 等腰三角形底边上的中线、勾股定理、平面几何方法等．‎ ‎[问题3]　已知两个平面垂直，下列命题：‎ ‎①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；‎ ‎②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；‎ ‎③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；‎ ‎④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．‎ 其中正确命题的个数是________．‎ 答案　1‎ 易错点1　旋转体辨识不清 例1　如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积．‎ 易错分析　注意这里是旋转图中的阴影部分，不是旋转梯形ABCD.在旋转的时候边界形成一个圆台，并在上面挖去了一个“半球”，其体积应是圆台的体积减去半球的体积．解本题易出现的错误是误以为旋转的是梯形ABCD，在计算时没有减掉半球的体积．‎ 解　由题图中数据及圆台和球的体积公式，得 V圆台＝×π(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，‎ V半球＝π×23×＝π(cm3)．‎ 所以旋转体的体积为 V＝V圆台－V半球＝52π－π＝π(cm3)．‎ 易错点2　线面关系把握不准 例2　设a，b为两条直线，α，β为两个平面，且a⊄α，a⊄β，则下列结论中正确的个数为________．‎ ‎①若b⊂β，a∥b，则a∥β；‎ ‎②若a⊥β，α⊥β，则a∥α；‎ ‎③若a⊥b，b⊥α，则a∥α.‎ 易错分析　本题易出现的问题就是对空间点、线、面的位置关系把握不准，考虑问题不全面，不能准确把握题中的前提——a⊄α，a⊄β，对空间中的平行、垂直关系的判定和性质定理中的条件把握不准导致判断失误．如①中忽视已知条件中的a⊄β，误以为该项错误等．‎ 解析　对于①，若有b⊂β，a∥b，且已知a⊄β，所以根据线面平行的判定定理可得a∥β，故①正确；对于②，若a⊥β，α⊥β，则根据空间线面位置关系可知，a⊂α或a∥α，而由已知可知a⊄α，所以a∥α，故②正确；对于③，若a⊥b，b⊥α，所以a⊂α或a∥α，而由已知可得a⊄α，所以a∥α，故③正确．‎ 答案　3‎ 易错点3　线面关系论证不严谨 例3　在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点．‎ ‎(1)求证：EF∥平面ABC1D1；‎ ‎(2)求证：EF⊥B1C.‎ 易错分析　利用空间线面关系的判定或性质定理证题时，推理论证一定要严格按照定理中的条件进行，否则出现证明过程不严谨的问题．‎ 证明　(1)连结BD1，如图所示．‎ 在△DD1B中，E，F分别为DD1，DB的中点，则 ‎⇒EF∥平面ABC1D1.‎ ‎(2)ABCD－A1B1C1D1为正方体⇒AB⊥平面BCC1B1‎ ‎⇒ ‎⇒ ‎⇒⇒EF⊥B1C.‎ ‎1．已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是________．(填上所有正确命题的序号)‎ ‎①若α∥β，m⊂α，则m∥β；‎ ‎②若m∥α，n⊂α，则m∥n；‎ ‎③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；‎ ‎④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.‎ 答案　①④‎ 解析　①这是面面平行的性质，正确；②只能确定m，n没有公共点，有可能异面，错误；③当m⊂α时，才能保证m⊥β，错误；④由m⊥α，n⊥α，得m∥n，又n⊥β，所以m⊥β，正确．‎ ‎2．(2017·江苏南通中学期中)已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为________．‎ 答案　π 解析　设圆锥的底面半径为r，母线长为l，‎ 则解得r＝，l＝2，‎ 所以高h＝＝，‎ 所以V＝πr2h＝π×2×＝π.‎ ‎3．(2017·江苏新海中学期中)将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是________．‎ 答案　 解析　等腰直角三角形的斜边长为4，斜边的高为2.‎ ‎∴旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体．‎ 圆锥的底面半径为2，高为2.‎ ‎∴几何体的体积V＝2××π×4×2＝.‎ ‎4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则三棱锥A－B1D1D的体积为________ cm3.‎ 答案　3‎ 解析 ＝＝××B1A1‎ ‎＝××AD×D1D×B1A1‎ ‎＝××3×2×3＝3(cm3)．‎ ‎5．设一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为________．‎ 答案　2‎ 解析　由题意可得正四棱锥的高为2，体积为×(2)2×2＝8，所以正方体的体积为8，所以棱长为2.‎ ‎6．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；‎ ‎③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；‎ ‎④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．‎ 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的序号)‎ 答案　②③④‎ 解析　当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.‎ ‎7．将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1＋r2＋r3＝________.‎ 答案　5‎ 解析　由题意可得三个扇形的弧长分别为，，5π，分别等于三个圆锥底面圆的周长，则r1＝，r2＝，r3＝，所以r1＋r2＋r3＝＋＋＝5.‎ ‎8．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3 cm，AA1＝1 cm，则三棱锥D1－A1BD的体积为________ cm3.‎ 答案　 解析　因为在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，‎ AB＝3 cm，AA1＝1 cm，‎ 所以三棱锥D1－A1BD的体积 ‎＝＝×AB ‎＝××A1D1×D1D×AB ‎＝×3×1×3＝(cm3)．‎ ‎9．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP＝OC，PA⊥PD.‎ 求证：(1)直线PA∥平面BDE；‎ ‎(2)平面BDE⊥平面PCD.‎ 证明　(1)连结OE，如图所示．‎ 因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC的中点．‎ 又E为PC的中点，‎ 所以OE∥PA.‎ 因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，‎ 所以直线PA∥平面BDE.‎ ‎(2)因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD.‎ 因为OP＝OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC.‎ 又PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD＝P，‎ 所以OE⊥平面PCD.‎ 因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD.‎ ‎10．(2017·江苏江阴市调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，O为菱形ABCD对角线的交点，M为棱PD的中点，MA＝MC.‎ ‎(1)求证：PB∥平面AMC；‎ ‎(2)求证：平面PBD⊥平面AMC.‎ 证明　(1)连结OM，‎ 因为O为菱形ABCD对角线的交点，所以O为BD的中点，‎ 又M为棱PD的中点，‎ 所以OM∥PB，‎ 又OM⊂平面AMC，PB⊄平面AMC，‎ 所以PB∥平面AMC.‎ ‎(2)在菱形ABCD中，AC⊥BD，且O为AC的中点，‎ 又MA＝MC，故AC⊥OM，‎ 而OM∩BD＝O，OM，BD⊂平面PBD，‎ 所以AC⊥平面PBD，‎ 又AC⊂平面AMC，所以平面PBD⊥平面AMC. ‎