【数学】2019一轮复习苏教版回归教材纠错例析帮你减少高考失分点2学案

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‎2.函数与导数 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．‎ 对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同．‎ ‎[问题1]　函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是________________．‎ 答案　(－1,1)∪(1，＋∞)‎ ‎2．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．‎ ‎[问题2]　已知函数f(x)＝的值域为R，那么a的取值范围是____________．‎ 答案　 解析　要使函数f(x)的值域为R，‎ 需使所以 所以－1≤a<.‎ ‎3．求函数最值(值域)常用的方法 ‎(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数．‎ ‎(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数．‎ ‎(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数．‎ ‎(4)导数法：适合于可导函数．‎ ‎(5)换元法(特别注意新元的范围)．‎ ‎(6)分离常数法：适合于一次分式．‎ ‎[问题3]　函数y＝(x≥0)的值域为________．‎ 答案　 解析　方法一　∵x≥0，∴2x≥1，∴≥1，‎ 解得≤y<1.∴其值域为y∈.‎ 方法二　y＝1－，‎ ‎∵x≥0，∴0<≤，‎ ‎∴y∈.‎ ‎4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．‎ ‎[问题4]　f(x)＝是_______函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)‎ 答案　奇 解析　由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，‎ f(x)＝＝.‎ ‎∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数．‎ ‎5．函数奇偶性的性质 ‎(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．‎ ‎(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．‎ ‎(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)＝0.‎ ‎“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分又不必要条件．‎ ‎[问题5]　设f(x)＝lg是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数在定义域上单调递________．‎ 答案　增 解析　由题意可知f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，‎ 解得a＝－1，‎ 故f(x)＝lg ，函数f(x)的定义域是(－1,1)，‎ 在此定义域内f(x)＝lg ＝lg(1＋x)－lg(1－x)，‎ 函数y1＝lg(1＋x)是增函数，函数y2＝lg(1－x)是减函数，故f(x)＝y1－y2是增函数．‎ ‎6．判断函数单调性的常用方法 ‎(1)能画出图象的，一般用数形结合法去观察．‎ ‎(2)由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性判断问题．‎ ‎(3)对于解析式较复杂的，一般用导数．‎ ‎(4)对于抽象函数，一般用定义法．‎ ‎[问题6]　函数y＝|log2|x－1||的递增区间是________________．‎ 答案　[0,1)，[2，＋∞)‎ 解析　∵y＝ 作图可知正确答案为[0,1)，[2，＋∞)．‎ ‎7．有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f(x)＝f(x＋a)(a>0)，则f(x)的周期T＝a；(2)f(x＋a)＝(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a.‎ ‎[问题7]　设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2,1)时，f(x)＝则f ＝________.‎ 答案　－1‎ ‎8．函数图象的几种常见变换 ‎(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”．‎ ‎(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．‎ ‎(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；‎ ‎②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；‎ ‎③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0 (y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称．‎ ‎[问题8]　函数y＝的对称中心是________．‎ 答案　(1,3)‎ ‎9．如何求方程根的个数或范围 求f(x)＝g(x)根的个数时，可在同一坐标系中作出函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象，看它们交点的个数；求方程根(函数零点)的范围，可利用图象观察或零点存在性定理．‎ ‎[问题9]　已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．‎ 答案　 解析　先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，‎ 当直线g(x)＝kx与直线AB平行时，斜率为1，当直线g(x)＝kx过点A时，斜率为，故当f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，实数k的取值范围是.‎ ‎10．二次函数问题 ‎(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．‎ ‎(2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．‎ ‎[问题10]　若关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根，则a的取值范围为________．‎ 答案　 ‎11．利用导数研究函数单调性的步骤 ‎(1)确定函数y＝f(x)的定义域．‎ ‎(2)求导数y′＝f′(x)．‎ ‎(3)解方程f′(x)＝0在定义域内的所有实根．‎ ‎(4)将函数y＝f(x)的间断点(即函数无定义点)的横坐标和各个实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间．‎ ‎(5)确定f′(x)在各个小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性．‎ 特别提醒：(1)多个单调区间不能用“∪”连接；‎ ‎(2)f(x)为减函数时，f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.‎ ‎[问题11]　函数f(x)＝ax3－2x2＋x－1在R上是增函数，则a的取值范围是________．‎ 答案　 解析　f(x)＝ax3－2x2＋x－1的导数 f′(x)＝3ax2－4x＋1.‎ 由f′(x)≥0，得解得a≥.‎ 当a＝时，f′(x)＝(2x－1)2≥0，‎ 且只有x＝时，f′(x)＝0，‎ ‎∴a＝符合题意．‎ ‎12．导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．‎ ‎[问题12]　函数f(x)＝x4－x3的极值点是________．‎ 答案　x＝1‎ ‎13．利用导数解决不等式问题的思想 ‎(1)证明不等式f(x)0.‎ 解析　由x2－5x＋6＞0，知x＞3或x＜2.‎ 令u＝x2－5x＋6，则u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是减函数，‎ ‎∴y＝(x2－5x＋6)的单调增区间为(－∞，2)．‎ 答案　(－∞，2)‎ 例2　已知奇函数f(x)是定义在(－3,3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)＋f(x2－3)<0，求x的取值范围．‎ 易错分析　解函数有关的不等式，除考虑单调性、奇偶性，还要把定义域放在首位．‎ 解　由得 故03－x2，即x2＋x－6>0，‎ 解得x>2或x<－3.‎ 综上得20⇒x>或x<－，即定义域为(－∞，－)∪(，＋∞)．‎ ‎2．(2017·江苏泗洪中学月考)若函数f(x)＝ 则满足f(a)＝1的实数a的值为________．‎ 答案　－1‎ 解析　依题意，满足f(a)＝1的实数a必不大于零，于是有由此解得a＝－1.‎ ‎3．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(－1)＝________.‎ 答案　－1‎ 解析　因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)＝－(2－1)＝－1，所以f(0)＋f(－1)＝－1.‎ ‎4．已知函数f(x)＝其中m>0，若函数y＝f(f(x))－1有3个不同的零点，则实数m的取值范围是________．‎ 答案　(0,1)‎ 解析　令f(f(x))＝1，得f(x)＝或f(x)＝m－1<0，‎ 进一步，得x＝或x＝m－<0或x＝.‎ 因为已知m>0，所以只要m<1，即00，且a≠1)对任意x∈(1,100)恒成立，则实数a的取值范围为________．‎ 答案　(0,1)∪(，＋∞)‎ 解析　不等式logax－ln2x<4可化为－ln2x<4，‎ 即<＋ln x对任意x∈(1,100)恒成立．‎ 因为x∈(1,100)，所以ln x∈(0,2ln 10)，＋ln x≥4，‎ 故<4，解得ln a<0或ln a>，‎ 即0.‎ ‎7．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－3)(x0＋1)2，‎ 则该函数的单调减区间为________．‎ 答案　(－∞，3]‎ 解析　由导数的几何意义可知，f′(x0)＝(x0－3)(x0＋1)2≤0，解得x0≤3，即该函数的单调减区间是(－∞，3]．‎ ‎8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集为________．‎ 答案　(－5,0)∪(5，＋∞)‎ 解析　方法一　不等式f(x)>x的解集，即为函数y＝f(x)图象在函数y＝x图象上方部分x的取值范围．因为函数f(x)和y＝x都是R上的奇函数，且方程f(x)＝x的根为±5,0，由图象知，不等式f(x)>x的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．‎ 方法二　令x<0，则－x>0，‎ 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，‎ 所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－4(－x)]＝－x2－4x.‎ 要使f(x)>x，则或或 解得－55，‎ 所以不等式f(x)>x的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．‎ ‎9．已知函数f(x＋1)是偶函数，当10恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为__________．‎ 答案　b0，‎ 知y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，‎ 又f ＝f ，且2<<3，‎ 所以f(2)0，‎ ‎∴sin x>x，即f(x)＝x在(－∞，1)上无根．‎ 设g(x)＝x3－9x2＋24x＋a，‎ 则g′(x)＝3x2－18x＋24，‎ 令g′(x)＝3x2－18x＋24＝0，得x1＝2，x2＝4.‎ 且g(x)在[1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，‎ g(1)＝a＋16，g(2)＝a＋20，g(4)＝a＋16，‎ 故只需g(1)＝g(4)＝a＋16＝0或g(2)＝a＋20＝0，‎ 解得a＝－20或a＝－16.‎ ‎11．已知函数f(x)＝在x＝1处取得极值2.‎ ‎(1)求函数f(x)的表达式；‎ ‎(2)当m满足什么条件时，函数f(x)在区间(m,2m＋1)上单调递增？‎ 解　(1)因为f′(x)＝，‎ 而函数f(x)＝在x＝1处取得极值2，‎ 所以即 解得 所以f(x)＝即为所求．‎ ‎(2)由(1)知，f′(x)＝＝，‎ 由f′(x)>0可知，－10且c≠1，k∈R)恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是 x＝－c.‎ ‎(1)求函数f(x)的另一个极值点；‎ ‎(2)求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求M－m≥1时k的取值范围．‎ 解　(1)f′(x)＝ ‎＝，‎ 由题意知f′(－c)＝0，即得c2k－2c－ck＝0，(*)‎ ‎∵c≠0，∴k≠0.∴c－＝1.‎ 由f′(x)＝0，得－kx2－2x＋ck＝0，‎ ‎∴另一个极值点为x＝c－，即x＝1.‎ ‎(2)由(*)式得k＝，即c＝1＋.‎ 当c>1时，k>0；当00时，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)上是减函数，在(－c,1)上是增函数，‎ ‎∴M＝f(1)＝＝>0，‎ m＝f(－c)＝＝<0，‎ 由M－m＝＋≥1及k>0，解得k≥.‎ ‎②当k<－2时，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)上是增函数，在(－c,1)上是减函数，‎ ‎∴M＝f(－c)＝>0，m＝f(1)＝<0，‎ M－m＝－＝1－≥1恒成立．‎ 综上可知，所求k的取值范围为(－∞，－2)∪[，＋∞)．‎